Nature d'une série numérique

[ArtusV]

Bonjour,

Dans mon cours de séries, nous avons étudier différentes méthodes pour connaitre la nature d'une série à terme positifs / série numériques
( CV, DIV, CV abs, Semi CV ), dont
-le règle de Cauchy
-la règle de D'Alembert
-la règle de Duhammel-Raabe
-la règle de Raabe
-la règle des séries alternée
-et les équivalences
Mais jusque là nous étions guidés sur la méthode à utiliser, or dans nos futurs examens les exercices ne seront plus guidés, donc je me demandes, comment savoir quel méthode utiliser ?

Merci pour vos explications !
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[feanorel]

Ben... une qui va te donner le résultat !

Il n'y a pas de recette miracle, avec le temps tu vas apprendre à reconnaître les règles adaptées à telle ou telle situation. Typiquement la série alternée devrait être assez
facile à repérer. D'Alembert est plutôt grossière et facile à vérifier pour des suites positives (en gros il te faut des puissances dans le tas) et si ça ne marche pas Duhammel
est une piste, etc.

Le mieux est de faire des exercices pour prendre ses marques !

[gg0]

Bonjour ArtusV,

lorsqu'on peut employer des équivalences, ça simplifie le problème. Donc une première chose à regarder est cela. Comme ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...-complexe.html.

Corfdialement.

[ArtusV]

Pour exemple, dans l'un de mes livres on demande d'étudier les séries de termes générales
U_n = (n*sqrt(n)^{^(1/3)} - sqrt(n+1)) / (n²-n+1) et V_n = ( n^{^5} +1) / ( 2^{^sqrt(n)} - n )
J'ai essayer de faire le critère de D'Alembert ainsi que celui de Raabe mais aucun résultat au final, je ne réussis pas à simplifier suffisamment ..
Pensez vous qu'il faille procéder par équivalences ?? Par développement limité peut-être ?? Ou une autre méthode ??

Il y a également la suite W_n = sqrt( (2n)! ) / n!*2^{^n
J'ai utiliser le critère de d'Alembert mais j'ai obtenue W_n+1 / Wn = sqrt ( 2n+1/2n+2 ) -> 1 en l'infini donc pas de conclusion, puis j'ai tenté Raabes mais j'ai obtenue lim n(Un / Un+1 - 1 = infini*0 qui est une forme indéterminée, donc doit je passer au équivalences ? ou ais je fais une erreur de calcul ?}

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

dans les cas que tu proposes , il "suffit" d'isoler haut et bas les termes de plus haut niveau et de les comparer ensuite. ( pour Vn, on peut faire un petit calcul de plus pour la comparaison )
le cas Wn est plus complexe : On trouve facilement avec la formule de Stirling, mais je ne sais pas si tu la connais ( équivalent de n! pour n grand)

[gg0]

C'est très exactement ce que je disais : prendre des équivalents. D'où la nécessité d'avoir bien compris ces notions de négligeables et d'équivalents.

Prendre systématiquement la règle de D'Alembert est une mauvaise idée, ça peut donner des calculs compliqués pour rien.

[ArtusV]

ansset : alors pour Un j'ai :
U_n = n³ [ sqrt(n) - (sqrt n)/n³ ] / n² [1 - 1/n + 1/n²]
= n [ sqrt(n) - sqrt(n+1)/n³ ] / [ 1 -1/n + 1/n² ]
= n [ sqrt(n) - [sqrt(n) * sqrt(1+1/n) / n³ ] ] / [ 1-1/n +1/n² ]
= n*sqrt(n) [ 1 - sqrt(1+1/n) /n³ ] / [ 1 - 1 /n + 1/n² ]

or lim en infini de 1 - 1/n + 1/n² = 1
et lim en infini de n * sqrt(n) = infini
et lim en infini de sqrt(1+1/n) / n³ = 0
Donc par produit et quotient de limite, lim en infini Un = infini donc la série diverge ? Est ce bon ?

[ArtusV]

gg0 , tu as sûrement raison à propos du critère de d'Alembert, le truc est que durant nos trois fiches de TD on nous demandait toujours de commencer avec ça puis d'enchainer si ça ne fonctionnait pas, mais merci du conseil

[ArtusV]

Pour V_n en revanche, en isolant les termes du plus haut degré, pour le numérateur ça donne n⁵ ( 1 + 1 / n⁵) mais pour le terme du dénominateur je ne vois pas par quoi factoriser ?

[ansset]

@Arthus.
ce n'est pas ainsi que je lis le numérateur de Un !!!!!! ( ton calcul et manipulation de la puissance 1/3 sont faux )
pour Vn : la question est d'abord sur son dénominateur
pour voir lequel est prépondérant il suffit d'en prendre les log par exemple
à comparer avec
le second terme devient négligeable pour n grand.
reste à comparer les numérateurs et dénominateurs soit ici

là encore, on peut utiliser les log.....

[ArtusV]

En effet, je me suis trompé dans la formule , je reessaye


Est ce correcte ?


Pour le cas de Vn je ne connais pas vraiment les négligeances avec logarithme , pourquoi ln (n) est négligeable face à racine(nl*ln(2) ?
Je suppose que si c'est vrai, on peut dire que ln(n^5 ) = 5 ln(n) est négligeable face à racine(n)*ln(2) ? Et donc Un équivaut à 1 / racine(n) ln(2) donc la série CV ?

Pour le cas de Wn il me semble que la formule de stirling est que n! equivaut à racine(2*pi*n) * (n/e)^n ?

[ansset]

Pour le ln, je pensais que c'était vu en cours , à savoir que pour tout a>0 ln(x)/x^a tend vers 0quand x tend vers l'inf.
Pour Un, le résultat est correct lim =0 , mais que ta démonstration est compliquée , d'ailleurs je ne l'ai pas lu.
comment écrire directement par exemple.
Pour n! , c'est OK.