Bonjour,
J'ai 2 questions sur l'expression de la métrique dans les coordonnées géodésiques.
Question 1: Comment sais t on qu'à l'ordre 1 la métrique est l'identité ?
Question 2: Pourquoi à l'ordre 2 les coefficients sont donnés par une perturbation de 1/3 Rijkl avec R le tenseur de Riemann-Christoffel ?
Est-ce que https://math.stackexchange.com/quest...ic-coordinates, et/ou le lien indiqué, http://www.rose-hulman.edu/mathjourn...Rmn_Metric.pdf, répond à la question?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Si cela répond à ma question, mais ca a l'air compliqué. Je pensais qu'on pouvait donner un argument rapide.
En fait je comprend pas bien le rapport entre cette formule et le "rescaling" de la métrique. Je comprend pas pourquoi on veut "rescaler" la métrique et ce que cette formule apport dans ce cas?
Mes questions sont un peu flous mais je suis peniblement une serie d'exposé la dessus. Et je comprend pas ce à quoi sert ce "rescaling".
Salut,
Pour la question 1, une réponse plutôt intuitive est simple :
à l'ordre 1 c'est la métrique identité = métrique espace plat de Minkowski, car :
- à cet ordre on ignore les variations (on linéarise)
- la variété est différentiable (partout ou presque partout au sens de la mesure)
Mais pour la question 2, difficile d'échapper aux calculs plus élaborés. Les documents donnés ci-dessus me semblent parfaits.
Excuse-moi, mais qu'est-ce que tu entends par "rescaling" ? Je n'ai pas vu ça dans les deux documents.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je ne vois pas bien ce que l'espace de Minkowski vient faire ici.
Le rescaling de la métrique c'est le fait de multiplier la métrique par un paramètre t. Je n'en vois pas l'interet.
À l'ordre 0, c'est l'identité. La linéarisation n'implique pas la nullité du coefficient suivant, et donc pas l'identité à l'ordre 1.
(La fonction cosinus en 0 s'approche par 1 à l'ordre 0, 1 à l'ordre 1, 1-x²/2 à l'ordre 2 ; la fonction sinus s'approche par 0 à l'ordre 0, x à l'ordre 1 et x à l'ordre 2).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Rien.Envoyé par Oss118
Confusion entre forum de math et forum de physique?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Ah oui, en effet, j'aurais dû tilter. Merci.
Je suppose que ton espace a une signature lorentzienne ? (c'est vrai que ce n'était pas précisé)
Dans ce cas, en l'absence de courbure, on a Minkowski.
(pour une signature positive on a se bon vieux Euclide)
Mais où as-tu vu ça ???
EDIT suis presque parti. Je passe la main. bon week end.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Ben c'est ce que j'essaie de comprendre. J'essaie de comprendre quel est l'interet de "recalibrer" la métrique selon ce paramètre t. Apparemment c'est un phénomène crucial. Mais je ne comprend pas comment la formule plus haut permet de comprendre ce rescaling.
Ni en fait ce que ca va nous apporter de recalibrer la métrique.
Pourquoi fais t on ca?
Faudrait préciser le texte dans lequel "rescaling" a été rencontré.
Peut-être (c'est juste une proposition sans connaître le contexte) changer les unités des coordonnées pour avoir une matrice unité pour la métrique, et non une matrice multiple de l'unité ou diagonale quelconque.Ni en fait ce que ca va nous apporter de recalibrer la métrique.
Par exemple pour les coordonnées latitude-longitude sur la sphère, les coordonnées locales (non géodésiques en dehors de l'équateur) doivent être "rescaled" (pour la latitude) pour que la matrice de la métrique soit l'identité (ou du moins comme sur l'équateur).
Dernière modification par Amanuensis ; 05/05/2017 à 15h12.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Ca n'est pas un texte precis, c'est une spring school de géométrie.
Les premieres lectures étaient sur l'effet d'un rescaling de la métrique et comment on peut prouver tout un tas de choses avec ce rescaling. Mais j'ai pas compris grand chose malheureusement.
Par exemple j'ai cru comprendre qu'on pouvait prouver le théorème de Gauss-Bonnet en "rescalant" la métrique. Comment?
C'est au-delà de mes maigres connaissances. Confronté à cela je ferais une recherche sur le Web en anglais. Cela donne par exemple
https://math.stackexchange.com/quest...caling-metrics
https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_transformation
Dans ce que je comprends du deuxième, cela consiste à changer de problème (de métrique) pour obtenir quelque chose de plus facile à gérer mais restant applicable aux quantités "conformally invariant". Un peu comme on peut démontrer que les médianes d'un triangle s'intersectent en un seul point au tiers en appliquant un "skew" et une homothétie pour obtenir un triangle équilatéral et en montrant que le problème est "invariant" par ce genre de transformation (qui ne changent ni les intersections, ni les rapports de longueurs sur une même droite).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Je ne sais pas ce que tu entend exactement prouver par rescaling de métrique, mais ce genre de méthode est effectivement en général très puissant.
Déjà comme exemple facile tu peux prouver l’indépendance de la classe de cohomologie des formes de Chern d'un fibré hermitien sur une variété par ce genre de méthode.
Je te rappelles que l'espace des connexions sur un fibré forme un espace affine sur les sections des 1-formes à coefficient dans les endomorphismes du fibré. Tu as donc une structure naturelle de groupe de Lie dessus.
Si tu prend une famille à un paramètre de connexionsalors tu peux prouver une formule de transgression pour le caractère de Chern par exemple
En particulier ceci prouve que les formes de Chern associés à une connexion ne dépendent de la métrique ou de la connexion qu'à un cobord près.
Bien sûr cet exemple est relativement trivial, mais on peut faire des choses plus sérieuses.
En étudiant de manière fine le noyau de la chaleur associé à un opérateur laplacien généralisé tu peux interpoler entre des quantité de nature topologique et géométrique ou analytique.
Par exemple il est possible de prouver le théorème de l'indice de cette façon.
Si tu prend l'opérateur de Dirac
Ce qui est plus dur à prouver c'est que la limite de la super trace du noyau de la chaleur en temps petit donne ce qu'on attend, à savoir la forme de Chern de ton fibré twisté par le multiplicateur de Todd de ta variété. Ceci nécessite des estimées obtenues par rescaling de la métrique. Je dois avouer ne jamais avoir eu le courage de les lires autrement qu'en diagonale. C'est assez technique mais conceptuellement très simple.
Tu te retrouves in fine avec la formule de Riemann-Roch de Hirzebruch.
Bien sûr là encore pour prouver cette formule on peut faire plus simple.
Dernière modification par Médiat ; 06/05/2017 à 12h32.
Merci de vos reponses. Je vais voir ce que je peux en faire. En fait j'arrive pas à comprendre comment vous faire pour appréhendr tout ca, jarrive a avoir aucune intuition sur le sujet, alors que ca fait des années que je plache dessus.
Faut pas te décourager sur ça. En général une théorie mathématique est "packagée" pour être jolie, bien huilée et maligne. Cela donne l'impression que les gens qui l'ont mise au point sont de véritables génies. Parfois c'est vrai. Mais souvent ce sont des gens qui ont simplement sué sang et eau dessus.
Ils te montrent la voie toute tracée qu'ils ont réussi à établir mais cela demande du temps d'être à l'aise sur cette piste.
Rappelle toi quand tu as appris l'addition tu devais aussi trouver que ceux qui arrivent a faire 2356+513 de tête étaient véritablement très forts.
Avec le temps tu sauras t'adapter beaucoup plus vite parce que tu auras emprunté beaucoup de pistes. Sans doute en auras tu construit toi même certaines.
On oublie souvent avec le temps que les choses qu'on trouve triviales à un moment donné nous ont un jour semblé difficiles.
Un conseil vis a vis de ta question d'origine. Essaie d'écrire proprement ce que tu veux démontrer. Ça n'a pas besoin d’être une formule tu peux écrire simplement une question mais dans tous les cas écris-la proprement. Puis essaie de voir comment toi tu procéderais. Passe du temps dessus. Ne lis le papier qu'en dernier recours.
