Topologie discrète - Topologie grossière

[Anonyme007]

Bonjour,

J'ai deux questions bêtes à vous poser. Je le sais, mais que faire :

Soit un ensemble quelconque.

- Comment démontrer que la topologie discrète sur est celle définie par la distance : pour tout .

- Quelle distance définit-elle la topologie grossière sur ? Pourquoi ?

Merci d'avance.
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[Tryss2]

Pour la 1), il suffit de montrer que les singletons sont des ouverts (pourquoi?). Pour chaque x dans E, peux tu trouver un réel r tel que la boule ouverte de centre x et de rayon r vérifie B(x,r) = {x} ?

Pour la 2), prend des éléments x et y distincts, que peux tu dire de d(x,y) ? et donc est ce que tu peux trouver une boule qui contient x et pas y ?

[Anonyme007]

Bonjour Tryss :

Merci pour ta réponse.

Alors pour la , Il s'agit de montrer qu'il existe telle que : .
Il suffit pour cela de prendre : , non ?
en effet : .

Pour la , je ne sais pas qui est , franchement.

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

- quels sont les ouverts pour une topologie grossière ?
- donc, quelles sont les boules ouvertes ?
- peut-on trouver une boule qui contient x et pas y ?
- si on définit la distance avec les boules, qu'en déduit-on sur la distance entre x et y ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Bonjour,

- quels sont les ouverts pour une topologie grossière ?

et .

- donc, quelles sont les boules ouvertes ?

et .

- peut-on trouver une boule qui contient x et pas y ?

Non.

- si on définit la distance avec les boules, qu'en déduit-on sur la distance entre x et y ?

Que pour tout , non ?

[Tryss2]

Et si d(x,y) = 0, que peux tu dire ?

[Anonyme007]

Que pour tout ?

[Anonyme007]

Or, les points de ne sont pas tous confondus, ce qui est absurde, donc, n'existe pas, non ?

[Médiat]

Sauf si E ne contient qu'un seul point (passionnant )

[Deedee81]

Or, les points de ne sont pas tous confondus, ce qui est absurde, donc, n'existe pas, non ?

En appliquant l'axiome de séparation.

[Deedee81]

Oups, failli dire une bêtise.

Avec la topologie grossière l'espace est non séparé, pas assez d'ouverts pour ça, donc pas de distance. Sauf si :

Sauf si E ne contient qu'un seul point (passionnant )

Que j'ai failli oublier

Ou encore ce n'est pas un espace de Hausdorff.

[Anonyme007]

Merci.
est ce qu'on dit dans ce cas là que n'est pas métrisable ? C'est ça la bonne désignation ?

[Deedee81]

Merci.
est ce qu'on dit dans ce cas là que n'est pas métrisable ? C'est ça la bonne désignation ?

Je ne sais pas si c'est "la" désignation, mais avec la topologie grossière, il est en effet non métrisable puisque sa structure (topologique) n'est pas induite par une distance.