Estimation de l'intervalle support d'une loi uniforme

[bon prof math]

Bonjour

voici le sujet qui me préoccupe :
soit X1, ..., Xn des variables iid suivant une loi uniforme dont le support est un intervalle I=[a;b] inconnu.

L'objectif est de donner un "encadrement de confiance" de l'intervalle I=[a,b] en grâce aux Xi.

Il est évident que le (petit) intervalle J=[min(X1,...,Xn) ; max(X1,...,Xn)] est inclus dans I=[a,b]. Cela donne un intervalle minorant.

Mais il me faudrait également un intervalle K (intervalle aléatoire, dépendant des Xi) qui contiendrait I=[a,b] avec une certaine probabilité p fixée à l'avance :
Prob( K > I) = p

J'ai pensé à définir le (gros) intervalle K de manière barycentrique par rapport à m= min(X1,...,Xn) et M= max(X1,...,Xn) de la sorte
K= [ t.m + (1-t)M ; t.M + (1-t).m ]
où le réel t>1 est à déterminer de sorte que Prob( K > I) = p.

Dans cette situation, la valeur de t (fonction de n et p) est indépendante de l'intervalle I=[a,b].

Numériquement, j'arrive très bien à trouver t (j'ai un abaque liant n,p,t), mais je n'y arrive pas formellement en fonction de n et p !

Je n'ai pas trouvé de référence sur ce sujet. Quelqu'un peut-il m'aider (dans ce sens ou un autre) ? Merci à vous.
-----

[gg0]

Bonjour.

J'ai vu un jour une estimation du maximum d'une variable uniforme (donc ton b); Il me semble qu'elle utilisait les statistiques d'ordre (plus exactement la loi du maximum. C'est d'ailleurs l'idée que je poursuivrais si j'avais ton problème à traiter.

Cordialement.

[minushabens]

Une méthode qui avait été proposée par Jean Geffroy, puis développée entre autres par Luc Devroye consiste à utiliser un estimateur à noyau de la densité (c'est en fait une méthode d'estimation du support d'une densité quelconque, pas nécessairement uniforme). La question qui se pose est comme d'habitude celle du choix optimal de la largeur du noyau. Il faudrait que tu cherches les papiers de Devroye, le sujet doit s'appeller quelque-chose comme "distribution support estimation".

[bon prof math]

Bonjour.

J'ai vu un jour une estimation du maximum d'une variable uniforme (donc ton b); Il me semble qu'elle utilisait les statistiques d'ordre (plus exactement la loi du maximum. C'est d'ailleurs l'idée que je poursuivrais si j'avais ton problème à traiter.

Cordialement.

Merci gg0.
En effet, ce genre d'étude existe. Par exemple http://foucart.thierry.free.fr/StatP...e_continue.htm
Mais pour estimer la borne b, on fixe la borne a (et réciproquement). Du coup, cela ne me convient pas.

En fait, avec l'histoire de l'intervalle barycentrique, on peut supposer sans perte de généralité que l'intervalle I = [0,1]. Le tout est déterminer la relation entre les trois paramètres p,n et t.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bon prof math]

Une méthode qui avait été proposée par Jean Geffroy, puis développée entre autres par Luc Devroye consiste à utiliser un estimateur à noyau de la densité (c'est en fait une méthode d'estimation du support d'une densité quelconque, pas nécessairement uniforme). La question qui se pose est comme d'habitude celle du choix optimal de la largeur du noyau. Il faudrait que tu cherches les papiers de Devroye, le sujet doit s'appeller quelque-chose comme "distribution support estimation".

Merci minushabens, je vais chercher cela... j'espère pouvoir comprendre (je ne suis pas probabiliste )