Question sur le signe d'une dérivée seconde.

[slimy4]

Bonjour à tous,

en cours de calculs économiques aujourd'hui, le prof nous a exposé un théorème portant sur la recherche du maximum global ou minimum global d'une fonction.

Le théorème dit que si la fonction f est de classe C2 (sa dérivée seconde est continue) et que la dérivée seconde n'est jamais nulle sur son ensemble de définitions, alors la fonction f a au plus 1 point stationnaire dans l'ensemble de définition de f.
De plus le théorème rajoute que si la dérivée seconde f " (x) est positive quel que soit x, alors le point est un minimum global et si la dérivée seconde f " (x) est négative quel que soit x, alors le point est un maximum global.

Je voudrais savoir dans un premier comment détermine-t-on l'ensemble de définition de la fonction ? Quand un intervalle est donné dans l'énoncé il n'y a pas de problème mais quand seule la fonction est donnée sans intervalle, comment sait-on ? (est-ce que c'est en regardant s'il y a le cas du dénominateur qui doit être différent de 0, le cas du nombre sous la racine carré qui doit être positif ou nul, etc ... ?)

Et surtout j'aimerais savoir comment trouver le signe de la dérivée seconde ? Comment savoir si elle est positive ou négative afin d'appliquer le théorème ensuite ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[gg0]

Bonjour.

L'ensemble de définition est à priori donné avec la fonction (sinon, on ne la connaît pas). Cependant, on admet que si la fonction est donné par un calcul sur la variable, l'ensemble de définition n'a pas besoin d'être précisé, c'est l'ensemble des valeurs de la variable qui permettent de faire le calcul. Donc on examine le calcul pour voir s'il y a des problèmes.

Pour le signe de laz dérivée seconde, on applique les règles de signe vues au collège et au lycée. Sans oublier la définition de croissant et décroissant, car croissant à partir de zéro donne positif, par exemple.

Cordialement.

[slimy4]

Merci pour ta réponse !

Par exemple si j'ai une fonction f(x) = 2x³ - 45x² + 300x + 500

Je la dérive pour obtenir f ' (x) = 6x² - 90x + 300 .

Puis je calcule la dérivée seconde : f " (x) = 12x - 90.

Ici, comment je sais si la dérivée seconde est positive ou négative ?

Merci d'avance.

[gg0]

Règle de seconde sur le signe d'un binôme : Avec a non nul, le binôme ax+b est du signe de a si x est supérieur à la racine -b/a, du signe contraire ailleurs.

Peut-être réviser les maths du lycée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

De façon générale, il s'agit de résoudre résoudre l'inéquation f''(x) > 0

Donc ici, 12x-90 > 0, qui est plutôt simple

[azad]

Et gare aux points d'inflexions (décelables en dérivant une troisième fois) qui peuvent annuler la dérivée seconde sans pour autant être des extréma.