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Analyse complexe : calcul d'intégrale

  1. jossrandal2002

    Date d'inscription
    novembre 2006
    Âge
    39
    Messages
    52

    Analyse complexe : calcul d'intégrale

    Bonjour,

    Cartan (Théorie élémentaire des fonctions analytiques ... page 203) demande de calculer l'intégrale en intégrant la forme différentielle correspondant sur un circuit contournant 1, j et j2 en passant par 0.
    Qui peut me dire comment faire.

    Merci d'avance.

    -----

    Joss
     


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  2. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    110

    Re : Analyse complexe : calcul d'intégrale

    Bonjour
    J'ai pensé à un contour qui emprunte (une partie) du cercle unité. Si on regarde les intégrales qui lie 0 à 1 , 0 à j et 0 à j^2, il me semble qu'elles sont liées.

    Malheureusement, l'intégrale sur la partie du cercle unité ne me dit rien.

    Est-ce que par hasard tu connais le circuit exactement?
     

  3. jossrandal2002

    Date d'inscription
    novembre 2006
    Âge
    39
    Messages
    52

    Re : Analyse complexe : calcul d'intégrale

    Le circuit part de 1 (en l'évitant) va vers 0 (segment avec partie imaginaire positive) puis petit arc de cercle autour de 0 pour rejoindre j avec un segment "par la droite" puis arc de cercle autour de j pour rejoindre 0 par un segment puis petit arc de cercle autour de 0 et segment pour rejoindre j^2 "par le haut" ; on tourne un peu autour de j^2 puis on rejoint 0 (segment par le bas) et enfin on rejoint 1 par un segment à partie imaginaire négative et un petit arc de cercle. Je ne sait pas si je suis très clair ...
    Une sorte d'hélice à trois pales.
    Dernière modification par jossrandal2002 ; 28/08/2017 à 10h12.
    Joss
     

  4. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    110

    Re : Analyse complexe : calcul d'intégrale

    Rebonjour
    C'est clair. Je vais regarder.
     

  5. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    110

    Re : Analyse complexe : calcul d'intégrale

    Rebonjour
    C'est clair pour le parcours.
    Cependant je ne vois pas comment l'intégrale sur ce parcours va conduire au résultat. En effet
    moralement l'intégrale sur le chemin qui va de 0 à 1 va tendre vers moins l'intégrale cherchée.
    mais sur le retour (i.e on est en dessous de l'axe mais dans le sens des x positifs) l'intégrale va tendre vers l'intégrale cherchée.
    Autrement dit par passage à la limite notre intégrale va disparaître.

    Pour l'instant quelque chose m'échappe, peut être quelqu'un d'autre peut nous apporter une aide
     


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  6. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    110

    Re : Analyse complexe : calcul d'intégrale

    Bonjour, si on pose le calcul se ramène à celui de l'intégrale où encore à celui de


    Or le calcul de J peut se faire par la méthode des résidus. C'est un peu long donc je ne détaille pas les calculs et donne simplement l'idée de la démarche.

    1. Soit une coupure de . Pour on définit
    . Ainsi définit une fonction analytique
    sur

    2. Pour on vérifie que F ne présente pas de discontinuité. Ainsi F est prolongeable par continuité sur

    3. Par contre pour il y a discontinuité (faire les calculs car on les utilise pour le résultat final.

    4. Pour |z|>1, on calcule le développement en série de Laurent et surtout le résidu de F.
    On obtient donc pour tout lacet entourant [0,1] la valeur de l'intégrale

    5. Puis la valeur de l'intégrale cherchée grâce à 3 et avec des lacets de plus en plus proche de [0,1]..


    Si on ne veut pas faire le changement de variable on peut surement procéder de même en partitionnant le plan complexe en 3 parties, les coupures formant des angles de
    Considérer la fonction ou bien et montrer qu'il n'y a pas de discontinuité sur les coupures en les points de module >1.
    J'ai essayé de le faire mais sans succès à cause d'erreurs de calculs (surement).
     


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