Analyse complexe : calcul d'intégrale

[jossrandal2002]

Bonjour,

Cartan (Théorie élémentaire des fonctions analytiques ... page 203) demande de calculer l'intégrale en intégrant la forme différentielle correspondant sur un circuit contournant 1, j et j² en passant par 0.
Qui peut me dire comment faire.

Merci d'avance.
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[JB2017]

Bonjour
J'ai pensé à un contour qui emprunte (une partie) du cercle unité. Si on regarde les intégrales qui lie 0 à 1 , 0 à j et 0 à j^2, il me semble qu'elles sont liées.

Malheureusement, l'intégrale sur la partie du cercle unité ne me dit rien.

Est-ce que par hasard tu connais le circuit exactement?

[jossrandal2002]

Le circuit part de 1 (en l'évitant) va vers 0 (segment avec partie imaginaire positive) puis petit arc de cercle autour de 0 pour rejoindre j avec un segment "par la droite" puis arc de cercle autour de j pour rejoindre 0 par un segment puis petit arc de cercle autour de 0 et segment pour rejoindre j^2 "par le haut" ; on tourne un peu autour de j^2 puis on rejoint 0 (segment par le bas) et enfin on rejoint 1 par un segment à partie imaginaire négative et un petit arc de cercle. Je ne sait pas si je suis très clair ...
Une sorte d'hélice à trois pales.

[JB2017]

Rebonjour
C'est clair. Je vais regarder.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Rebonjour
C'est clair pour le parcours.
Cependant je ne vois pas comment l'intégrale sur ce parcours va conduire au résultat. En effet
moralement l'intégrale sur le chemin qui va de 0 à 1 va tendre vers moins l'intégrale cherchée.
mais sur le retour (i.e on est en dessous de l'axe mais dans le sens des x positifs) l'intégrale va tendre vers l'intégrale cherchée.
Autrement dit par passage à la limite notre intégrale va disparaître.

Pour l'instant quelque chose m'échappe, peut être quelqu'un d'autre peut nous apporter une aide

[JB2017]

Bonjour, si on pose le calcul se ramène à celui de l'intégrale où encore à celui de


Or le calcul de J peut se faire par la méthode des résidus. C'est un peu long donc je ne détaille pas les calculs et donne simplement l'idée de la démarche.

1. Soit une coupure de . Pour on définit
. Ainsi définit une fonction analytique
sur

2. Pour on vérifie que F ne présente pas de discontinuité. Ainsi F est prolongeable par continuité sur

3. Par contre pour il y a discontinuité (faire les calculs car on les utilise pour le résultat final.

4. Pour |z|>1, on calcule le développement en série de Laurent et surtout le résidu de F.
On obtient donc pour tout lacet entourant [0,1] la valeur de l'intégrale

5. Puis la valeur de l'intégrale cherchée grâce à 3 et avec des lacets de plus en plus proche de [0,1]..


Si on ne veut pas faire le changement de variable on peut surement procéder de même en partitionnant le plan complexe en 3 parties, les coupures formant des angles de
Considérer la fonction ou bien et montrer qu'il n'y a pas de discontinuité sur les coupures en les points de module >1.
J'ai essayé de le faire mais sans succès à cause d'erreurs de calculs (surement).