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Espace tangent d'un moduli-space en un point.

  1. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Bonsoir à tous,

    Je débute tout juste en théorie des déformations et théorie des moduli-spaces ( Même pas 2 ans ), et j'ai une question vague à vous poser à ce propos :
    Soit une variété algébrique complexe projective lisse de dimension .
    Est ce que vous connaissez quels moduli spaces et vérifiant : et avec : ?
    : Groupes de cohomologie de à coefficients rationnels ( Espaces vectoriels )
    : Groupes de Chow rationnels ( Espace vectoriels )

    Merci d'avance.

    -----

     


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  2. petrifie

    Date d'inscription
    janvier 2015
    Messages
    231

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Deux choses sont étranges dans ta question :
    1) Tu devrais écrire M_1(X,k) puisque cet espace dépends à la fois de X et de k, (mais bon c'est plutôt une question de notation).
    2) À priori M est un schéma sur C disons, et son espace tangent en X devrait aussi être un espace vectoriel sur C, contrairement à tes groupes de cohomologie/de Chow qui par définition sont des espaces vectoriels sur Q.
    Modulo ces remarques je ne vois pas comment répondre en général (à part quelques cas triviaux).
     

  3. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Bonjour,
    Effectivement petrifie, et dépendent de , mais pas de , car varie à priori à l'intérieur de . Si dépendait de , on aurait une famille de moduli spaces , ce qui n'est pas le cas ici.
    Sauf erreur de ma part, par exemple, si est un schéma de Hilbert qui contient tous les sous schémas fermes d'un via les polynômes de Hilbert ( i.e : à polynôme de Hilbert près ), alors, est un sous schéma fermé quelconque de qui est un point qu'on fixe au préalable dans . Mais ici, on travaille pour des qui sont des sous variétés projectives complexes d'un , et non des sous schémas projectives fermés de . Je ne sais pas s'il y'a une différence.
    D'autre part, pourquoi dis tu que est un schéma sur et non sur , je n'ai pas compris ça ? Quant c'est un schéma sur ?
    Cordialement.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 13/09/2017 à 14h55.
     

  4. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    De toute façon, comme j'ai pu le constater seul en lisant quelques articles, on aura : ou ( Mais, je ne sais pas encore pour les groupes de Chow rationnels ).
    P.S : et .
    Dernière modification par Anonyme007 ; 13/09/2017 à 15h09.
     

  5. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    De toute façon, comme j'ai pu le constater seul en lisant quelques articles, on aura : ou ( Mais, je ne sais pas encore pour les groupes de Chow rationnels ).
    P.S : et .
    Il semble que j'ai mal abordé la situation.
    En général, si et on sait que avec un espace vectoriel peu importe sa nature, alors : . Or, ceci n'est valable que dans des cas particulier ( Par exemple, lorsque est une variété abélienne ). Alors, excusez moi, c'est faux ce que j'ai dit dans mon précédent poste.
     


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  6. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Je corrige et reformule ma question :

    Est ce qu'il existe une référence bibliographique standard pour le fait que, dans un contexte algebro - géométrique approprié, l'espace tangent en un point d'un Moduli space , à déterminer, est un truc comme ou un truc comme : ?
    est une variété complexe projective lisse de dimension fixé dans .
    Malheureusement, je suis novice en théorie des déformations, si vous connaissez un ouvrage sympa qui établit un truc comme : ou , je suis preneur.

    Merci d'avance.
     

  7. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Bonjour à tous,

    Dans la deuxième réponse qui appartient à : Temo Keller sur le lien suivant : https://mathoverflow.net/questions/2...les-why/242310 , il dit que : there is no fine moduli space if the objects in question have nontrivial automorphisms.
    Qu'est ce que cette phrase voudrait dire exactement ?

    Merci d'avance.
     

  8. petrifie

    Date d'inscription
    janvier 2015
    Messages
    231

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Un espace de module fin c'est quand M est représentable, M étant le "moduli functor".

    Maintenant je ne suis pas expert, mais voilà un exemple : disons que si M doit représenter les familles de segments du plan de longueur 1, à action de SE(2) près. Comme n'importe quel segment est équivalent au segment [0,1] x {0}, M est un point. Par conséquent, n'importe quelle famille de segments devrait s'obtenir comme pullback d'une application constante, i.e toute les familles devraient être triviales. Mais seulement il existe des automorphismes non-triviaux du segment (un seul, qui échange les deux sommets) et grâce à ça on peut obtenir une famille non-triviale (indice : Ruban de Moebius), par conséquent M n'existe pas. On peut rendre M fin en coloriant les sommets d'une couleur différentes par exemple.

    Comme je ne suis pas expert, j'ajoute ici les notes (sur les espaces de modules de courbes) d'où vient mon exemple : http://www.math.colostate.edu/~renzo...duli-space.pdf
     

  9. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Ah, d'accord. Bravo à toi petrifie. Merci.
     

  10. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Merci aussi petrifie pour m'avoir répondu sur www.mathstackexchange.com à propos du sujet portant sur le moduli space représentant le foncteur :
    Si cela ne te dérange pas :
    Comment établir cette fois çi rigoureusement que : est un fine moduli space pour le moduli problem : ?
    Merci infiniment.
     

  11. petrifie

    Date d'inscription
    janvier 2015
    Messages
    231

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Je ne sais pas mais j'ai trouvé ça pour n=1 : https://math.stackexchange.com/quest...li-scheme?rq=1
     

  12. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    @petrifie :
    Ici se trouve la réponse pour le cas de l'espace projectif : : https://userpage.fu-berlin.de/hoskins/M15_Lecture2.pdf
    Tu regardes l'exemple : , page : et :
    On trouve aussi ce genre de construction dans le Hartshorne par exemple, mais pas dans le cadre des moduli spaces, mais dans le cadre des linear systems si ma mémoire est bonne.
    Cordialement.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 16/09/2017 à 00h58.
     

  13. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Bonjour à tous,

    Dans le , page : , paragraphe : Morphisms to . , l'auteur du livre affirme :
    Lets a fixed ring, and consider the projective space over .
    On , we have the invertible sheaf and the homogeneous coordinates give rise to global sections .
    One sees easily that the sheaf is generated by the global sections

    Alors ma question est tout simplement, comment montre -t-on que : the sheaf is generated by the global sections

    Ma question s'inscrit dans le cadre de montrer que : où : est un faisceau inversible sur , et sont des sections qui engendrent .

    Merci d'avance.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 17/09/2017 à 17h53.
     

  14. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Ta question initiale, un espace de module c'est quoi ? A priori rien. Un espace de module fin c'est un espace qui représente un foncteur, mais tout espace représente un foncteur : celui de ses propres points. Donc potentiellement tout espace est un espace de module. Quelle est donc ta question ?
     

  15. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Espace tangent d'un moduli-space en un point.

    Ici on travaille avec des espaces tangent à un moduli space à déterminer en un point , et non avec des espaces moduli eux meme . Bref, qui est tels que : ? Un schéma de Hilbert ? un schéma de Picard ? Un schéma de Chow ? Je sais qu'aucun de ces objets, mais c'est quoi exactement ? ça doit etre un nouveau moduli space à construire à mon sens, non ?
    Pour infos, je ne suis qu'un débutant en théorie des moduli spaces. Alors si vous repérez qu'il y'a des incohérences dans mon bagage scientifique, veuillez m'excuser. Je ne suis pas encore familier avec tout ce langage nouveau pour moi.
    Merci.
     


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