Espace tangent d'un moduli-space en un point.

**Anonyme007** · 13/09/2017, 01h10

Bonsoir à tous,

Je débute tout juste en théorie des déformations et théorie des moduli-spaces ( Même pas 2 ans ), et j'ai une question vague à vous poser à ce propos :
Soit $\text{[math]}$ une variété algébrique complexe projective lisse de dimension $\text{[math]}$ .
Est ce que vous connaissez quels moduli spaces $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ vérifiant : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ ?
$\text{[math]}$ : Groupes de cohomologie de $\text{[math]}$ à coefficients rationnels ( Espaces vectoriels )
$\text{[math]}$ : Groupes de Chow rationnels ( Espace vectoriels )

Merci d'avance.

invite5357f325 · 13/09/2017, 11h23

Deux choses sont étranges dans ta question :
1) Tu devrais écrire M_1(X,k) puisque cet espace dépends à la fois de X et de k, (mais bon c'est plutôt une question de notation).
2) À priori M est un schéma sur C disons, et son espace tangent en X devrait aussi être un espace vectoriel sur C, contrairement à tes groupes de cohomologie/de Chow qui par définition sont des espaces vectoriels sur Q.
Modulo ces remarques je ne vois pas comment répondre en général (à part quelques cas triviaux).

**Anonyme007** · 13/09/2017, 15h52

Bonjour,

Effectivement petrifie, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dépendent de $\text{[math]}$ , mais pas de $\text{[math]}$ , car $\text{[math]}$ varie à priori à l'intérieur de $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ dépendait de $\text{[math]}$ , on aurait une famille de moduli spaces $\text{[math]}$ , ce qui n'est pas le cas ici.
Sauf erreur de ma part, par exemple, si $\text{[math]}$ est un schéma de Hilbert qui contient tous les sous schémas fermes d'un $\text{[math]}$ via les polynômes de Hilbert ( i.e : à polynôme de Hilbert près ), alors, $\text{[math]}$ est un sous schéma fermé quelconque de $\text{[math]}$ qui est un point qu'on fixe au préalable dans $\text{[math]}$ . Mais ici, on travaille pour des $\text{[math]}$ qui sont des sous variétés projectives complexes d'un $\text{[math]}$ , et non des sous schémas projectives fermés de $\text{[math]}$ . Je ne sais pas s'il y'a une différence.

D'autre part, pourquoi dis tu que $\text{[math]}$ est un schéma sur $\text{[math]}$ et non sur $\text{[math]}$ , je n'ai pas compris ça ? Quant c'est un schéma sur $\text{[math]}$ ?
Cordialement.

**Anonyme007** · 13/09/2017, 16h04

De toute façon, comme j'ai pu le constater seul en lisant quelques articles, on aura : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ( Mais, je ne sais pas encore pour les groupes de Chow rationnels ).
P.S : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

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**Anonyme007** · 13/09/2017, 17h47

Envoyé par Anonyme007

De toute façon, comme j'ai pu le constater seul en lisant quelques articles, on aura : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ( Mais, je ne sais pas encore pour les groupes de Chow rationnels ).
P.S : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Il semble que j'ai mal abordé la situation.
En général, si $\text{[math]}$ et on sait que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un espace vectoriel peu importe sa nature, alors : $\text{[math]}$ . Or, ceci n'est valable que dans des cas particulier ( Par exemple, lorsque $\text{[math]}$ est une variété abélienne ). Alors, excusez moi, c'est faux ce que j'ai dit dans mon précédent poste.

**Anonyme007** · 13/09/2017, 23h01

Je corrige et reformule ma question :

Est ce qu'il existe une référence bibliographique standard pour le fait que, dans un contexte algebro - géométrique approprié, l'espace tangent en un point $\text{[math]}$ d'un Moduli space $\text{[math]}$ , à déterminer, est un truc comme $\text{[math]}$ ou un truc comme : $\text{[math]}$ ?
$\text{[math]}$ est une variété complexe projective lisse de dimension $\text{[math]}$ fixé dans $\text{[math]}$ .
Malheureusement, je suis novice en théorie des déformations, si vous connaissez un ouvrage sympa qui établit un truc comme : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , je suis preneur.

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 15/09/2017, 17h30

Bonjour à tous,

Dans la deuxième réponse qui appartient à : Temo Keller sur le lien suivant : https://mathoverflow.net/questions/2...les-why/242310 , il dit que : there is no fine moduli space if the objects in question have nontrivial automorphisms.
Qu'est ce que cette phrase voudrait dire exactement ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 15/09/2017, 18h06

Un espace de module fin c'est quand M est représentable, M étant le "moduli functor".

Maintenant je ne suis pas expert, mais voilà un exemple : disons que si M doit représenter les familles de segments du plan de longueur 1, à action de SE(2) près. Comme n'importe quel segment est équivalent au segment [0,1] x {0}, M est un point. Par conséquent, n'importe quelle famille de segments devrait s'obtenir comme pullback d'une application constante, i.e toute les familles devraient être triviales. Mais seulement il existe des automorphismes non-triviaux du segment (un seul, qui échange les deux sommets) et grâce à ça on peut obtenir une famille non-triviale (indice : Ruban de Moebius), par conséquent M n'existe pas. On peut rendre M fin en coloriant les sommets d'une couleur différentes par exemple.

Comme je ne suis pas expert, j'ajoute ici les notes (sur les espaces de modules de courbes) d'où vient mon exemple : http://www.math.colostate.edu/~renzo...duli-space.pdf

**Anonyme007** · 15/09/2017, 18h28

Ah, d'accord. Bravo à toi petrifie. Merci.

**Anonyme007** · 15/09/2017, 21h30

Merci aussi petrifie pour m'avoir répondu sur www.mathstackexchange.com à propos du sujet portant sur le moduli space $\text{[math]}$ représentant le foncteur : $\text{[math]}$
Si cela ne te dérange pas :
Comment établir cette fois çi rigoureusement que : $\text{[math]}$ est un fine moduli space pour le moduli problem : $\text{[math]}$ ?
Merci infiniment.

invite5357f325 · 15/09/2017, 23h29

Je ne sais pas mais j'ai trouvé ça pour n=1 : https://math.stackexchange.com/quest...li-scheme?rq=1

**Anonyme007** · 16/09/2017, 01h55

@petrifie :
Ici se trouve la réponse pour le cas de l'espace projectif : $\text{[math]}$ : https://userpage.fu-berlin.de/hoskins/M15_Lecture2.pdf
Tu regardes l'exemple : $\text{[math]}$ , page : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :

On trouve aussi ce genre de construction dans le Hartshorne par exemple, mais pas dans le cadre des moduli spaces, mais dans le cadre des linear systems si ma mémoire est bonne.

Cordialement.

**Anonyme007** · 17/09/2017, 18h51

Bonjour à tous,

Dans le $\text{[math]}$ , page : $\text{[math]}$ , paragraphe : Morphisms to $\text{[math]}$ . , l'auteur du livre affirme :
Lets $\text{[math]}$ a fixed ring, and consider the projective space $\text{[math]}$ over $\text{[math]}$ .
On $\text{[math]}$ , we have the invertible sheaf $\text{[math]}$ and the homogeneous coordinates $\text{[math]}$ give rise to global sections $\text{[math]}$ .
One sees easily that the sheaf $\text{[math]}$ is generated by the global sections $\text{[math]}$

Alors ma question est tout simplement, comment montre -t-on que : the sheaf $\text{[math]}$ is generated by the global sections $\text{[math]}$

Ma question s'inscrit dans le cadre de montrer que : $\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$ est un faisceau inversible sur $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ sont des sections qui engendrent $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

**AncMath** · 18/09/2017, 12h56

Ta question initiale, un espace de module c'est quoi ? A priori rien. Un espace de module fin c'est un espace qui représente un foncteur, mais tout espace représente un foncteur : celui de ses propres points. Donc potentiellement tout espace est un espace de module. Quelle est donc ta question ?

**Anonyme007** · 18/09/2017, 16h13

Ici on travaille avec des espaces tangent à un moduli space $\text{[math]}$ à déterminer en un point $\text{[math]}$ , et non avec des espaces moduli eux meme $\text{[math]}$ . Bref, qui est $\text{[math]}$ tels que : $\text{[math]}$ ? Un schéma de Hilbert ? un schéma de Picard ? Un schéma de Chow ? Je sais qu'aucun de ces objets, mais c'est quoi exactement ? ça doit etre un nouveau moduli space à construire à mon sens, non ?
Pour infos, je ne suis qu'un débutant en théorie des moduli spaces. Alors si vous repérez qu'il y'a des incohérences dans mon bagage scientifique, veuillez m'excuser. Je ne suis pas encore familier avec tout ce langage nouveau pour moi.
Merci.

**Anonyme007** · 04/10/2017, 19h32

Bonjour,

J'entends souvent parler d'une sorte de classification d'objets au moyen du quotient $\text{[math]}$ par l'action propre et discontinue libre d'un groupe de Lie $\text{[math]}$ sur une variété $\text{[math]}$ . Quelle est cette méthode de classification ? et est ce qu'on peut lui trouver une interprétation utilisant les foncteurs moduli problèms représenté par $\text{[math]}$ ou un truc qui ressemble à ça ? Je ne sais pas où j'ai vu ça, mais ce que j'ai vu est qu'on peut par exemple classifier les courbes elliptiques au moyen de quotient d'un groupe modulaire, mais, je n'ai pas vraiment pris au sérieux de retenir cette méthode, c'est pourquoi j'ai fini par ne plus m'en souvenir. Pouvez vous me dresser une récapitulation qui résume cette méthode ?

Merci d'avance.

**AncMath** · 06/10/2017, 16h58

Tu fais allusion aux catégories de faisceaux équivariantes ? De quoi parles tu ?

**Anonyme007** · 06/10/2017, 19h44

Non, je cherche seulement à voir comment on classifie une classe d'objets à l'aide de quotients $\text{[math]}$ . Qu'est ce qui n'est pas claire ?

Peut-on aussi reformuler cette classification en utilisant le langage des moduli problems, afin d'organiser bien les idées circulant dans mon esprit ?
Que vient faire faisceau ou catégorie dans le problème que j'ai décrit ?.

**AncMath** · 07/10/2017, 10h41

Ta question est tout sauf claire. Tu as "entendu parler" d'une classification d'une "classe d'objets" à l'aide de quotients. Quels objets? Quelle classification? Ça n'est pas sérieux.

L'invariant modulaire permet de voir la droite comme l'espace de module grossier des courbes elliptiques. Une courbe elliptique a en général des automorphismes, il est impossible d'en construire un espace de module fin qui soit un schéma.

**Anonyme007** · 07/10/2017, 11h30

D'accord, on oublie pour l'instant l'idée de reformulation en termes de moduli problems, je sais que pour le cas des courbes elliptiques la formulation s'appuie sur la notion de moduli stacks qui est une extension de celle des moduli space, j'ai pu lire ça sur le net il n'y'a pas longtemps, mais généralement, comment on fait pour classifier des objets à l'aide de quotient X/G ? J'apprends d'abord ça puis je passe à la suite. Ce serait beaucoup mieux si on illustre ce phénomène de classification à l'aide d'un exemple : Par exemples : courbes elliptiques / quotient d'un groupe modulaire. J'ai pu lire sur ce sujet il y'a longtemps, je ne sais où, j'ai perdu le document, mais je suis sûr d'après ce que je m'en souviens en ayant parcouru de vue un bel article bien présenté et attrayant pour la lecture

Je l'ai perdu malheureusement, la classification des courbes elliptiques se fait à l'aide du quotient d'un groupe modulaire. Comment ? Je ne me souviens pas.

**AncMath** · 07/10/2017, 13h13

Mais enfin, tu te rend compte que cette question

généralement, comment on fait pour classifier des objets à l'aide de quotient X/G ?

n'appelle aucune réponse ?

Maintenant parlons de courbe modulaire. Plaçons nous dans le champ complexe pour simplifier mais tout ceci est algébrique.

Une courbe elliptique c'est un tore complexe de dimension 1 avec un point distingué, en l'occurence le neutre de l'addition sur le tore. Une courbe elliptique c'est donc un quotient $\text{[math]}$ . C'est un petit exercice de prouver qu'entre deux tels tores toute application holomorphe est la composition d'une translation et d'un morphisme de groupe et un tel morphisme est nécéssairement la multiplication par un certain $\text{[math]}$ .

Du coup les courbes elliptiques correspondent bijectivement aux quotients des réseaux par la relation donnée par "être homothétique".

Si on regarde une base intégrale du réseau $\text{[math]}$ on peut normaliser le réseau pour que $\text{[math]}$ . On note en général $\text{[math]}$ une telle base, deux bases définissent le même réseau ssi elles sont conjuguées sous l'action de $\text{[math]}$ et plus généralement deux bases définissent la même courbe ssi elles sont conjuguées sous l'action de $\text{[math]}$ . Cette action s'identifie si on regarde simplement l'action sur tau en normalisant la base image, à l'action par homographie de $\text{[math]}$ sur le plan complexe comme on voit immédiatement. On regarde donc le quotient en question qui est la courbe modulaire ouverte. C'est une surface de Riemann ouverte que l'on peut compactifier. Cela correspond à ajouter dans la bijection une cubique dégénérée.

En parallèle on peut montrer qu'une telle courbe est nécessairement algébrique, cela résulte de Riemann-Roch ou du théorème de plongement Kodaira.

**Anonyme007** · 07/10/2017, 17h05

Oui, merci beaucoup AncMath.

Alors, je vais essayer de décortiquer doucement ce que j'ai compris de tes explications en utilisant un peu de signes et de symboles mathémaques.

Alors, on a :
$\text{[math]}$

avec ; $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$
Pourquoi : $\text{[math]}$ ?
Puis, on définit : $\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$ .
Par conséquent : $\text{[math]}$ , non ?

Pourquoi stp : $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 08/10/2017, 15h18

De manière plus naïve, X/G classifie tout bêtement les G-orbites ... Mais en général si on veut des "bonnes propriétés" on est obligé de modifier un peu la construction, par exemple compactifier comme l'a expliqué AncMath si on veut faire de la théorie de l'intersection, enlever certains points "instables" si on veut que X/G soit séparé, etc ... Voir Mukai, Introduction to Invariant and Moduli pour plus de détails.

**Anonyme007** · 10/10/2017, 23h17

Merci petrifie. Je vais lire le livre que tu m'indiques.

Est ce que quelqu'un peut m'aider à comprendre pourquoi :
$\text{[math]}$
?
Merci.

**AncMath** · 11/10/2017, 08h37

La réponse est déjà dans mon message

C'est un petit exercice de prouver qu'entre deux tels tores toute application holomorphe est la composition d'une translation et d'un morphisme de groupe et un tel morphisme est nécéssairement la multiplication par un certain $\text{[math]}$ .

Du coup les courbes elliptiques correspondent bijectivement aux quotients des réseaux par la relation donnée par "être homothétique".

**Anonyme007** · 11/10/2017, 11h49

Merci AncMath.

J'ai vu dans un document sur le net comment on construit une fonction holomorphe entre deux tores : Une fonction holomorphe entre deux tores : $\text{[math]}$ s'identifie à $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et est celle qui s'écrit sous la forme : $\text{[math]}$ ,
Mais, je vois mal comment relier à l'aide d'un isomorphisme ou une bijection, une courbe elliptique $\text{[math]}$ définie par une équation ( que vous connaissez d'ailleurs à quoi elle ressemble ) et un Tore. Pouvez vous m'aider là dessus svp ?
Je sais aussi que la fonction elliptique de Weiestrass $\text{[math]}$ vérifie l'équation définissant une courbe elliptique, alors comment on va faire ?
On a : $\text{[math]}$ est l'équation d'une courbe elliptique $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ une fonction elliptique.
Merci d'avance.

**AncMath** · 11/10/2017, 12h50

Une cubique planaire lisse a un genre valant (3-1)(3-2)/2, c'est la formule donnant le genre d'une courbe planaire lisse en fonction de son degré, venant elle-même de la formule d'adjonction et de la résolution de Dolbeault. C'est bien un tore.

Il n'y a pas de fonction dans l'équation de Weierstrass d'une courbe elliptique.

**Anonyme007** · 11/10/2017, 13h20

Oui, mais j'aimerais écrire ça plus rigoureusement pour bien m'organiser. Je ne sais pas le faire.

**AncMath** · 11/10/2017, 13h28

Ecrire quoi plus rigoureusement ?

**Anonyme007** · 11/10/2017, 13h34

Pardon, on s'est un peu gouré du vrai sens qu'il faut suivre : on cherche plutôt à établir une bijection entre la classe à isomorphisme près des courbes elliptiques et la classe des tores par la relation d'équivalence définie plus haut, et non une bijection entre une courbe elliptique et un Tore. C'est différent en principe.

Pardon.

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