Plan tangent en un point

[invite1dd55c7e]

Bonjours à tous,

j'ai une question qui peut paraître très facile, mais ce n'est pas le cas pour moi.

"Trouvez une équation du plan tangent à la surface décrite par l'équation suivante au point P=(1,0,e)

f(x,y)=exp(x²+y)

Merci d'avance!
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[NicoEnac]

Bonjour,

Je suppose que la surface est définie par z=f(x,y). Pour ma part, j'utiliserais le vecteur gradient qui est le vecteur normal à ta surface.

La surface peut également être définie par : g(x,y,z) = f(x,y) - z = 0.

Le vecteur gradient s'exprime alors : (dg/dx,dg/dy,dg/dz) (dérivées partielles).
=> (2x.exp(x²+y);exp(x²+y);-1)
=> (2e;e;-1)

Ceci étant le vecteur normal à la surface, le plan tangeant lui est orthogonal (le produit scalaire est nul) :
2e.x+e.y-z = constante.
De plus, on sait que P appartient au plan => constante = e

=> 2e.x+e.y-z = e si je ne me suis pas trompé

[invitea0b22930]

La méthode proposée fonctionne, mais pourquoi rajouter une troisième variable z artificielle, et une notion de gradient.
N'est-il pas plus logique (simple) de dire que le plan tangent est engendré par les vecteurs df/dx, df/dy (pour peu qu'ils soient linéairement indépendants), et qu'un point M appartient au plan trangent en P ssi Det(PM,df/dx(P),df/dy(P))=0

[NicoEnac]

f n'est pas un vecteur donc comment peut-on obtenir un vecteur en calculant df/dx(P) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Peut-être en disant que la surface S est définie par les triplets M(x,y,f(x,y)) et en le dérivant par rapport à x et y :

dM/dx = (1;0;df/dx)
dM/dy = (0;1;df/dy)

N appartient au plan tangeant ssi det(NP, dM/dx, dM/dy) = 0 ?

[invitea0b22930]

f n'est pas un vecteur donc comment peut-on obtenir un vecteur en calculant df/dx(P) ?

formellement tu as parfaitement raison.
c'est F: (x,y) ---->(x,y,f(x,y))
qu'il faut prendre et non f.