Bonjour à tous,
Voilà, je voudrais savoir si quelqu'un peut m'indiquer une démarche pour trouver l’équation du plan tangent extérieur à 3 sphères de coordonnées et de rayons connus.
N’hésitez pas à me donner des pistes de travail. Je vous remercie d’avance.
Cordialement
Salut!
Commence par faire un dessin avant d'écrire la moindre équation.
Tu remarqueras que les vecteurs formés par le centre d'une sphère et le point de contact entre le plan et cette sphère sont tous trois parallèles et correspondent à chacun à un vecteur normal au plan.
Ensuite tu peux décrire ces points de contact plan/sphère en prenant en compte cette condition de parallélisme.
Une fois ces points décrits (c'est à dire une fois que tu as pris des inconnues pour les décrire, je te conseille 2 angles en sphérique en prenant le repère centré sur l'une des sphères), tu écris pour chacun l'équation du plan tangeant en ces derniers. Tu auras trois équations différentes pour ces plans dès lors qu'elles ne correspondront à la solution de ton problème : Le but les égaliser en résolvant le système.
En modifiant un seul des points liés par la condition de parallélisme, tu modifies en même temps les deux autres car c'est les deux mêmes angles inconnues qui interviennent.
J'espère que tu y comprendras quelques chose, car sans dessin, c'est pas facile de faire de la géométrie.
@+
Ps : tu as 2 plans solutions apparement...
Je traite le cas général où les trois centres ne sont pas alignés, sinon il peut ne pas y avoir de solutions. Soient O, O1 et O2 les trois centres et R1, R2 et R3 les trois rayons. On prend comme repère O (origine), et les axes et unités tels que O1(1,0,0) (pour l'axe des x), O2(alpha, beta,0) (beta non nul) et donc O(0,0,0). Le plan xOy est donc le plan (O,O1,O2). Notons aussi n(a,b,c) la normale au plan cherché, que l'on supposera normée (a^2+b^2+c^2=1).
L'équation du plan est de la forme ax+by+cz+d=0 et on doit avoir égalité entre les distances des centres des sphères à ce plan avec les rayons (condition de tangence), d'où le système :
d^2=R1^2, (a+d)^2=R2^2, (alpha a+beta b)^2=R3^2 et a^2+b^2+c^2=1.
Donc d=R1 (quitte à changer d en -d et n en -n, cela donnera le même plan) et ensuite, on a facilement a = +/- R2 - R1, puis b (rappel beta non nul) et enfin c. Je trouve donc 8 possibilités.
Bonjour à tous,
Je vous remercie vivement de vous êtes intéressés à mon problème.
Je suis tout à fait d'accord avec toi.Envoyé par neqer
Ensuite, j'ai noté que tu traites les cas où les centres des sphères sont sur le plan xOy avec une des 3 sphères centrée sur l'origine. Effectivement dans la suite de ton raisonnement cela simplifie énormément les choses.
Ensuite, tu utilises la distance d'un point à un plan R=|ax+by+cz+d|/sqrt(a²+b²+c²) pour faire un système d'équation qui te permet de trouver tes inconnues.
Je pense que c'est imparable, tu m'as vraiment beaucoup aidé. Je me débrouillerais pour le changement de repère de mes sphères.
Info: Sur cet article p6-p7 (http://axis.u-strasbg.fr/schreck/Pub...ig_2003PS.pdf), il y a une autre méthode qui est basée sur la construction des centres d’homothéties des 3 sphères. Je pense avoir plus d'explications par l'auteur dans la semaine et je verrai si elle est encore plus directe.
Allez, merci encore à tous les deux et bonne continuation
