Géométrie analytique (sphères tangentes)
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Géométrie analytique (sphères tangentes)



  1. #1
    syens

    Géométrie analytique (sphères tangentes)


    ------

    Bonjour à tous,

    Je vous post mon petit problème en espérant que vous pourrez me donner quelques pistes.
    Voilà, l'objectif est de trouver les cordonnées cartésiennes d'une 5ième sphère de façon à ce qu'elle soit toujours
    tangente à 4 autres, quelques soient leur emplacement dans l'espace 3D et leur rayon.
    Pour cela il suffit de résoudre le système d'equations non linéaires (equ1, equ2,equ3,equ4).
    Sous MATLAB la fonction solve marche mais elle est itérative et donc longue.
    Je voudrais obtenir une solution analytique de mes coordonnées pour ma 5ième sphère

    Voici les équations dont on dispose (equations sphères):

    (x-x1)²+(y-y1)²+(z-z1)²-(r+r1)²=0 (equ1)
    (x-x2)²+(y-y2)²+(z-z2)²-(r+r2)²=0 (equ2)
    (x-x3)²+(y-y3)²+(z-3)²-(r+r3)²=0 (equ3)
    (x-x4)²+(y-y4)²+(z-z4)²-(r+r4)²=0 (equ4)

    La forme developpée d'une des ces equations est:
    (x²+y²+z²-r²)-2(x*xi)-2(y*yi)-2(z*zi)-2(r*ri)+(xi²+yi²+zi²-ri²)=0

    Si on fait (equ2-equ1);(equ3-equ1)et(equ4-equ1) avec la forme developpée on obtient:

    a1*x+b1*y+c1*z+d1*r=e1 (equ5)
    a2*x+b2*y+c2*z+d2*r=e2 (equ6)
    a3*x+b3*y+c3*z+d3*r=e3 (equ7)

    Avec:
    a1=2*(x1-x2)
    b1=2*(y1-y2)
    c1=2*(z1-z2)
    d1=2*(r1-r2)
    e1=2*(x1²+y1²-r1²)+(x2²+y2²-r2²)

    a2=2*(x1-x3)
    b2=2*(y1-y3)
    c2=2*(z1-z3)
    d2=2*(r1-r3)
    e2=2*(x1²+y1²-r1²)+(x3²+y3²-r3²)

    a3=2*(x1-x2)
    b3=2*(y1-y2)
    c3=2*(z1-z2)
    d3=2*(r1-r2)
    e3=2*(x1²+y1²-r1²)+(x4²+y4²-r4²)


    Une fois toutes ces equations posées très méthodiquement on peut à l'aide des equations (equ5,equ6,equ7) trouver x,y,z analytiquement tels que:

    x=[(b2*e1-b1*e2)+(b1*d2*r-b2*d1*r)+(b1*c2*z-b2*c1*z)]/(a1*b2-b1*a2)

    y=[(-a2*e1+a1*e2)+(-a1*d2*r+a2*d1*r)+(-a1*c2*z+a2*c1*z)]/(a1*b2-b1*a2)

    z=[-a3*((b2*e1)-(b1*e2)-(b2*d1*r)+(b1*d2*r))-b3*((a1*e2)-(a2*e1)+(a2*d1*r)-(a1*d2*r))+(e3-(d3*r))*((a1*b2)-(a2*b1))]/[c3*((a1*b2)-(a2*b1))+a3*(-(b2*c1)+(b1*c2))+b3*(-(a1*c2)+(a2*c1))]

    J'ai obtenu ces coordonnées mais le seul problème c'est que je les ai testé et je n'obtiens pas ma 5ième sphère tangente.
    A savoir que j'ai basé mon dévellopement à partir d'une méthode en 2D (http://mathworld.wolfram.com/ApolloniusProblem.html) qui marche bien.

    Si vous avez une autre approche pour solutionner mon enigme de manière direct. Je suis preneur.

    Merci beaucoup à tous

    -----

  2. #2
    Sylvestre

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Salut,

    Je peux t'expliquer une méthode qui permet de simplifier grandement les calculs. Elle fait intervenir une transformation appelée inversion de l'espace.

    Soit C, un point de R^3 appelé centre d'inversion et r, un nombre réel positif appelé rayon d'inversion. L'inversion est une opération i:R^3->R^3 qui a chaque point P associe i(P), le point situé sur le segment commençant en C et passant par P tel que d(C,P)*d(C,i(P))=r^2.

    Cette transformation possède les propriétés suivantes :
    1) elle transforme les sphères ne passant pas par C en des sphères ne passant pas par C
    2) elle transforme les sphères passant par C en des plans ne passant pas par C
    3) elle transforme les plans ne passant pas par C en des sphères passant pas par C
    4) elle transforme les plans passant par C en des plans passant par C.
    5) elle est involutive

    C'est très utile pour résoudre ton problème.

    Soit S^1,S^2,S^3 et S^4, tes quatre sphères ,C^1,C^2, C^3 et C^4 leurs centres et r_1,r_2,r_3 et r_4 leurs rayons.

    La sphère solution S est tangente à ces quatre sphères. On peut augmenter (ou diminuer suivant la position de S) le rayon de S de r_1, de manière à obtenir une sphère passant par C^1. Tu observeras que cette nouvelle sphère est tangente à des sphères S'^3,S'^3 et S'^4 de rayon r_2-r_1, r_3-r_1,r_4-r_1 (attention suivant la position de S, cela peut aussi être r_2+r_1,...) et de centre C^2,C^3,C^4.

    Maintenant si on fait une inversion de centre C^1, on obtient un nouveau problème, mais cette fois-ci, c'est plus simple. Comme la sphère que nous cherchons passe par C^1, elle est transformée en un plan et le problème revient à trouver un plan tangent à
    aux images par i des trois sphères que nous avons construites. On peut alors faire l'inversion dans l'autre sens et trouver la solution du problème original.

    Il faut noter que ce problème possède plusieurs solutions, suivant qu'il faut augmenter ou diminuer le rayon de S, pour qu'il passe par les différentes centres C^1,C^2,C^3 et C^4.

    Voilà, de cette manière, la méthode est plus difficile à mettre en oeuvre puisqu'il faut programmer tout ce que j'ai dit, mais par contre, la résolution est très rapide.

    J'espère avoir pu être clair
    Programming is understanding

  3. #3
    martini_bird

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Salut,

    4) elle transforme les plans passant par C en des plans passant par C.
    Petite erreur de copier/coller je suppose : elle transforme les plans passant par C en des sphères passant par C.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #4
    syens

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Bonjour,

    Tout d'abord un grand merci pour ta réponse très rapide. Je ne connaissais pas le principe d'inversion mais avec ces sites (http://melusine.eu.org/syracuse/texp.../inversion.pdf
    http://www.bibmath.net/dico/index.ph...inversion.html)
    J'ai compris toutes les transformations que l'on peut faire via l'inversion.
    Ce qu'il me reste à faire c'est de trouver la bonne combinaison (ri±r1) pour i variant de 2 à 4 et de savoir trouver l'équation d'un plan tangent à trois sphères. Puis par l'inversion de ce plan par la pole C1 (centre de la sphère 1), je devrais obtenir une sphère tangente à mes 4 autres sphères.
    Je programme cette routine sur MATLAB et je te tiens au courant. Je t’adresse un grand merci encore pour ta réponse.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Sylvestre

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Petite erreur de copier/coller je suppose : elle transforme les plans passant par C en des sphères passant par C.
    Il me semble que non. La phrase est correcte.

    Pour Syens, je suis content d'avoir pu t'aider. Pour les combinaisons de plus et de moins à trouver, je pense qu'il doit être possible d'essayer toutes les possibilités.
    Pour pouvoir trouver le plan tangent à trois sphères, il faut recommencer avec la même méthode. C'est-à-dire, en "dégonflant" une des sphères en un point et en ajustant les rayons des autres. J'attends avec impatience tes résultats avec matlab...
    Programming is understanding

  7. #6
    martini_bird

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Salut,

    Il me semble que non. La phrase est correcte.
    Au temps pour moi, j'avais lu elle transforme les plans ne passant pas par C... Désolé pour le post inutile.

    Bonne journée !
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #7
    syens

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Bonjour à tous,

    J'ai programmé sur MATLAB, la routine ( voir les images jointes 'important'):

    1) J'ai augmenté le rayon de 3 sphères (S2,S3,S4) de r1.
    2) J'ai trouvé l'équation du plan tangent grâce aux sphères p1a, p2a, p3a.
    3) L'intersection du plan et de la droite tangente au plan passant par le centre de la sphère S1 me donne un 4ième point sur le plan.
    4) Je diminue le de r1 le rayon des sphères (S2,S3,S4).

    Image1-2-3: on a les 4 sphères initiales (S1,S2,S3,S4); avec p1a,p2a,p3a qui défini le plan.
    Image 4: on a les sphères (S2,S3,S4) qui ne sont pas encore dégonflées et on voit bien que le plan est tangent à ses 3 sphères.

    Le problème est que mon pôle étant le centre de la sphère 1, on s’aperçoit vite que par inversion, la 5ième sphère obtenue sera trop proche de la sphère 1 pour être tangente aux autres sphères. Car la distance entre le plan et le centre de la sphère 1 est trop éloigné.
    De plus je pense que dans ce cas très précis, il faut bien augmenter les rayons (S2,S3,S4) pour que le plan soit le plus proche possible du centre de la sphère 1.

    Donc je pense qu'il y a sûrement une étape que je n'ai pas intégrée. Laquelle??

    Si vous pouvez m'aider, merci d'avance.
    Fichiers attachés Fichiers attachés

  9. #8
    Sylvestre

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Citation Envoyé par syens Voir le message
    1) J'ai augmenté le rayon de 3 sphères (S2,S3,S4) de r1.
    2) J'ai trouvé l'équation du plan tangent grâce aux sphères p1a, p2a, p3a.
    3) L'intersection du plan et de la droite tangente au plan passant par le centre de la sphère S1 me donne un 4ième point sur le plan.
    4) Je diminue le de r1 le rayon des sphères (S2,S3,S4).
    Comme je ne suis pas tout à fait sûr de ce que tu fais, je vais décrire, ce que je ferais.

    1) Augmenter les rayons des 3 sphères (S2,S3,S4) de r1. (Cela veut dire que la 5e sphère aura celles-ci dans son intérieur et S1 dans son extérieur ou vice versa).
    2) trouver les centres et les rayons des images par une inversion de centre C1 (le rayon de l'inversion peut être quelconque) de S2,S3 et S4.
    3) trouver un plan tangent à ces 3 sphères images.
    4) trouver l'image par inversion de ce plan (c'est une sphère)
    5) Dégonfler ou gonfler cette sphère de r1 suivant que S2,S3 et S4 sont à l'intérieur ou à l'extérieur
    Programming is understanding

  10. #9
    syens

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Salut Sylvestre,

    Merci pour ton dernier post, il m'a beaucoup éclairé sur quelques étapes oubliées.

    Citation Envoyé par Sylvestre Voir le message
    2) trouver les centres et les rayons des images par une inversion de centre C1 (le rayon de l'inversion peut être quelconque) de S2,S3 et S4.
    Il semble que cette partie, je ne l'ai pas intégrée. En effet en amont tu m'as parlé de S'2, S'3,S'4, je pensais que c'etait juste les sphères S1,S2,S3 augmenté du rayon r1.Donc je ferai l'inversion de ces sphères avec le même rayon d'inversion r' pour chacune des sphères et un pôle d'inversion qui sera C1. (Pas de soucis)

    Citation Envoyé par Sylvestre Voir le message
    4) trouver l'image par inversion de ce plan (c'est une sphère).
    Ici, Dois je prendre comme rayon d'inversion r1 ou r'??

    Voilà, j'espère vraiment réussir aujourd'hui. Je te tiens au courant et merci encore pour les explications.

  11. #10
    syens

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Re-bonjour Sylvestre,

    Je te propose un raisonnement, peux-tu me corriger (s'il te plaît).
    Dans le cas où l'on a une 5ième sphère tangente extérieure à 4 autres sphères dans l'espace en:

    1) Augmentant le rayon de la sphère 5 (S5) de r1 (rayon sphère1). Puis en réalisant l'inversion de rayon r'(quelconque) de centre C1 (centre de la sphère1) on obtiendra un plan P1.

    2) Diminuant le rayon de sphères S2,S3,S4 de r1. Puis en réalisant l'inversion de ces 3 sphères par le rayon r' et le centre C1; on obtient 3 sphères: (S'2,r'2); (S'3,r'3) et (S'4,r'4) qui seront donc tangente au plan P1.

    Note: je diminue le rayon des sphères S2,S3,S4 pour que celles-ci soient tangentes extérieurs à la sphère S5 quand on augmente son rayon de r1 (avant que S5 devienne le plan P1).

    C'est le phase 2 de mon raisonnement qui ne semble pas très exact. Mais je pense que cela correspond à ce que tu m'as dit tout au long des discussions.

  12. #11
    syens

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Bonjour,

    Comme je n'arrivais pas à répondre à toutes mes interrogations, j'ai fait quelques exercices en 2D. L'inversion est une fonction mathématique très puissante (je tiens à remercier Sylvestre de m'avoir mis sur cette piste). Il semble que des disques ou des sphères tangentes avant inversion resteront tangentes après inversion. Donc si vous avez un plan tangent à des sphères, après inversions vous obtiendrez une sphère tangente à toutes ses sphères et vis versa.

    Remarque: De plus, si vous voulez faire l'inversion d'un cercle sachez qu'il ne faut pas faire l'inversion du centre du cercle et d'un point du contour de celui-ci pour définir le cercle image. Il faut faire l'inversion de deux points (p1, p2) du contour qui sont sur la droite passant par le centre du cercle et par le centre de l'inversion. Vous aurez ainsi l'image de deux points (p'1,p'2), le centre du segment définit par ces 2 points [p'1 p'2] est le centre de l'image du cercle que l'on veut obtenir avec un diamètre=|p'1 p'2|.

    Toutefois une véritable difficulté subsiste toujours, dans le cas où l’on veut trouver un quatrième cercle tangent à 3 autres ou une cinquième sphère tangente à 4 autres. Il faut savoir définir l’équation d’une droite tangente à 2 cercles quelconques ou l’équation d’un plan tangent à 3 sphères quelconques.

    Il se trouve que dans mon cas, je me trouve bloqué à cette étape. Donc, je voudrais savoir si quelqu’un sait déterminer l'équation des plans tangents à trois sphères de coordonnées et de rayons connus. Au pire je pense lancer cette question directement sur le forum car elle sort du thème initial.

    En tout cas merci à tous

  13. #12
    Sylvestre

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Citation Envoyé par syens Voir le message
    Ici, Dois je prendre comme rayon d'inversion r1 ou r'??
    Tu dois prendre r', car l'inversion est involutive.

    2) Diminuant le rayon de sphères S2,S3,S4 de r1. Puis en réalisant l'inversion de ces 3 sphères par le rayon r' et le centre C1; on obtient 3 sphères: (S'2,r'2); (S'3,r'3) et (S'4,r'4) qui seront donc tangente au plan P1.
    Ce raisonnement m'a l'air tout à fait correct.

    Donc, je voudrais savoir si quelqu’un sait déterminer l'équation des plans tangents à trois sphères de coordonnées et de rayons connus.
    On doit pouvoir le faire facilement avec un raisonnement sur les plans polaires aux sphères, mais en ce moment, je ne retrouve pas toute l'idée. Renseigne toi sur les polaires, je crois que c'est une bonne notion lorsque l'on a des plans et des sphères.
    Programming is understanding

  14. #13
    syens

    Re : Géométrie analytique (sphères tangentes)

    Bonjour sylvestre,

    Je te remercie d'avoir corrigé mon raisonnement. En ce qui concerne l'inversion, je maîtrise ce concept. Maintenant je vais suivre tes indications pour l'équation du plan tangent aux sphères.
    Merci encore, ton aide m’a été d’un très grand secours

    @++

    @++

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