Geometrie analytique !

invitecbade190 · 17/09/2007, 01h49

Bonsoir :
Voiçi un autre petit exercice sur le même thèse : "Geometrie analytique".
On considère le point $\text{[math]}$ et la droite d'équation paramétrique : $\text{[math]}$ et le plan d'équation : $\text{[math]}$ .
On nous demande de :
$\text{[math]}$ Trouver les coordonnées du point $\text{[math]}$ , symétrique à $\text{[math]}$ par rapport au plan $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Déterminer l'équation de la droite $\text{[math]}$ qui contient le point $\text{[math]}$ et qui coupe la droite $\text{[math]}$ et qui est parallèle au plan $\text{[math]}$ .
Merci d'avance !

invitecbade190 · 17/09/2007, 19h36

Help svp !!

**Calvert** · 17/09/2007, 20h41

Salut!

Tu as l'équation du plan, tu peux donc facilement trouver un vecteur normal à ce plan. De là, tu peux trouver la droite perpendiculaire au plan passant par P. Ensuite, trouver le point P'' situé dans le plan et sur cette droite perpendiculaire, écrire le vecteur PP''. Le point P est donné par le vecteur PP' = 2PP''.

invitecbade190 · 18/09/2007, 00h04

D'accord :
le vecteur $\text{[math]}$ est un vecteur normal au plan $\text{[math]}$ .
Soit : $\text{[math]}$ la droite passant par $\text{[math]}$ et perpendiculaire au plan $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est donc la droite passant par $\text{[math]}$ et de vecteur directeur $\text{[math]}$ .
Par conséquent :
L'équation de la droite $\text{[math]}$ est :
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ le point intersection de la droite $\text{[math]}$ et du plan $\text{[math]}$ .
Les coordonnées du point $\text{[math]}$ s'obtiennent en resolvant le système suivant :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On remplace $\text{[math]}$ dans l'équation de la droite $\text{[math]}$ et on obtient :
$\text{[math]}$
Par conséquent :
$\text{[math]}$
Puisque : $\text{[math]}$
Alors : $\text{[math]}$

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invitecbade190 · 18/09/2007, 00h06

Merci "Calvert" !

invitecbade190 · 18/09/2007, 00h07

Et pour la deuxième question, comment faire ?!
Merci d'avance !!

**Calvert** · 18/09/2007, 10h16

Le plus simple est d'écrire l'équation d'un plan $\text{[math]}$ parallèle à $\text{[math]}$ , mais contenant le point P. La droite s sera alors contenue dans ce plan. Elle coupe également la droite r. Donc, si tu calcules l'intersection entre r et $\text{[math]}$ , tu auras un deuxième point (en plus de P) sur ta droite, qui sera donc complétement déterminée.

invitecbade190 · 18/09/2007, 17h27

D'accord :
Soit $\text{[math]}$ le plan passant par le point $\text{[math]}$ et parallèle à $\text{[math]}$ .
Alors l'équation du plan $\text{[math]}$ s'écrit sous la forme suivante : $\text{[math]}$ .
Puisque : $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ , c'est à dire $\text{[math]}$ .
Par conséquent, l'équation du plan $\text{[math]}$ est : $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ le point d'intersection du plan $\text{[math]}$ et de la droite $\text{[math]}$ .
Les coordonnées du point $\text{[math]}$ s'obtiennent en resolvant le système suivant :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Par conséquent : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ la droite $\text{[math]}$ admet pour vecteur directeur, le vecteur $\text{[math]}$
D'où , la droite $\text{[math]}$ qui contient le point $\text{[math]}$ et qui coupe la droite $\text{[math]}$ et qui est parallèle à $\text{[math]}$ est la droite d'équation : $\text{[math]}$

invitecbade190 · 18/09/2007, 17h29

Merci "Calvert" !

invitecbade190 · 18/09/2007, 18h04

Bonjour :
Voiçi un autre exercice sur la "geometrie analytique" :
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux points de l'espace muni d'un repère orthonormé $\text{[math]}$ .
On nous demande de :
$\text{[math]}$ Décrire l'équation de l'ensemble des points équidistants à $\text{[math]}$ et à $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Determiner l'équation que verifient les points $\text{[math]}$ dont la distance à $\text{[math]}$ est égale à la distance de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Décrire l'équation paramétrique de la droite formée par les points $\text{[math]}$ du plan $\text{[math]}$ telle que le triangle $\text{[math]}$ est rectangle au point $\text{[math]}$ .
Merci d'avance !!

invitecbade190 · 18/09/2007, 18h23

Pour $\text{[math]}$ :
Soit $\text{[math]}$ le milieu du segment $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ .
L'ensemble des points $\text{[math]}$ équidistants à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est le plan $\text{[math]}$ passant par $\text{[math]}$ tel que la droite $\text{[math]}$ est perpendiculaire à ce plan $\text{[math]}$
Le plan $\text{[math]}$ a pour vecteur directeur le vecteur $\text{[math]}$
Par conséquent :
L'équation du plan $\text{[math]}$ ,qui est l'ensemble des points équidistants à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ; s'ecrit sous la forme suivante : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
Par conséquent : l'équation du plan $\text{[math]}$ est : $\text{[math]}$

invitecbade190 · 18/09/2007, 18h31

Pour $\text{[math]}$ :
L'ensemble des points $\text{[math]}$ dont la distance à $\text{[math]}$ est égale à la distance de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ est la sphère de centre $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$ .
On a : $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ la sphère de centre $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$
L'équation de $\text{[math]}$ est : $\text{[math]}$

invitecbade190 · 18/09/2007, 18h34

Pour la $\text{[math]}$ question, c'est un peu difficile ... est ce que vous pouvez m'aider à la resoudre .. !
Merçi d'avance ..!

invitecbade190 · 19/09/2007, 01h15

Je pense qu'il faut d'abord, determiner l'équation du plan passant par $\text{[math]}$ et tel que : $\text{[math]}$ y soit perpendiculaire ... dans ce cas là, l'intersection de ce plan et le plan $\text{[math]}$ est la droite concernée .. !

invitecbade190 · 19/09/2007, 01h35

Soit $\text{[math]}$ le plan passant par $\text{[math]}$ et tel que la droite $\text{[math]}$ y est perpendiculaire ...
le vecteur $\text{[math]}$ est le vecteur normal au plan $\text{[math]}$ .
Par conséquent : l'équation du plan $\text{[math]}$ s'ecrit sous la forme suivante : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ l'équation du plan $\text{[math]}$ s'ecrit donc : $\text{[math]}$ .
L'équation paramétrique de la droite formée par les points $\text{[math]}$ du plan $\text{[math]}$ tel que le triangle $\text{[math]}$ est rectangle au point $\text{[math]}$ s'obtient en resolvant le système suivant :
$\text{[math]}$
On a :
$\text{[math]}$

invitecbade190 · 20/09/2007, 08h29

Bonjour :
$\text{[math]}$
Discuter selon les valeurs du paramètre réel $\text{[math]}$ , la position relative des plans suivants :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Je n'ai aucune idée sur la manière de resoudre cet exercice ... ! C'est un exercice tiré d'un manuel espagnol de mathematique, et que j'ai essayé de le traduire moi même en français !!
Merçi d'avance de votre aide !!

**Calvert** · 20/09/2007, 09h12

Salut!

Des plans peuvent être soit:

- confondus (c'est-à-dire qu'ils sont superposés l'un sur l'autre). C'est le cas par exemple des plans x+y+2 = 0 et 2x+2y+4 = 0.

- parallèles (c'est-à-dire que des vecteurs normaux à chaque plan sont parallèles). C'est le cas par exemple des plans x+y+2 = 0 et x+y+3 = 0.

- sécants (tous les autres cas).

Ici, en choisissant judiceusement certaines valeurs pour $\text{[math]}$ , tu te trouveras dans un cas ou l'autre.

invitecbade190 · 20/09/2007, 20h08

Bonjour :
Merci "Calvert" pour toutes ces precisions là ... !!
Est ce qu'il y'a un lien entre la position relative des plans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et la résolution du système définie par ces $\text{[math]}$ équations ( Calcul du determinant ... etc ) ?
Merci d'avance !!

**Calvert** · 20/09/2007, 20h41

Oui, tout à fait!

invitecbade190 · 21/09/2007, 20h21

Bonjour "Calvert" :
La matrice correspondante au système formé par les équations des $\text{[math]}$ plans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est :
$\text{[math]}$
On calcule son determinant : $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Alors, "Calvert" , si $\text{[math]}$ c'est à dire si $\text{[math]}$ , alors, la matrice est inversible, et donc, de point de vue geometrique, les $\text{[math]}$ plans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ se coupent en un seul point en fonction de $\text{[math]}$ ...n'est ce pas ?!
Maintenant, si $\text{[math]}$ , on remplace $\text{[math]}$ par sa valeur $\text{[math]}$ dans le système, et on compare les $\text{[math]}$ plans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ... est ce que c'est correcte ça, "Calvert" ?
Merci d'avance !!

**Calvert** · 21/09/2007, 20h32

Oui, jusque-là, ça me semble correct. Donc, si $\text{[math]}$ , les plans sont tous sécants.

Reste à discuter le cas $\text{[math]}$ , c'est-à-dire le système:

$\text{[math]}$

invitecbade190 · 21/09/2007, 22h18

Oui, voilà .. c'est ça.. !!
Donc :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont parallèles .. !
$\text{[math]}$ coupent $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en deux droites parallèles !!

invitecbade190 · 21/09/2007, 22h26

Oui, mais, il y'a un truc que je ne comprend pas bien ... !!
Dans cet exemple là, on est tombé sur un cas où les $\text{[math]}$ plans se coupent en un point unique suivant la valeur de $\text{[math]}$ ,c'est à dire quant le "determinant" est different de $\text{[math]}$ ...
Mais, dans le cas général, quant est ce qu'on peut avoir des situations ou les trois plans se coupent deux à deux en trois droites distincts ... Que serait la forme de cette matrice dans ce cas là ...?
Merci d'avance !!

**Calvert** · 21/09/2007, 22h54

C'est la même chose: le déterminant de ta matrice est nul car les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants dans ce cas-là. Prends par exemple les plans:

$\text{[math]}$

Dans ce cas, le déterminant de la matrice est nul.

invitecbade190 · 21/09/2007, 23h06

Merci beaucoup "Calvert" !!

invitecbade190 · 23/09/2007, 20h00

Bonjour :
On considère la famille des plans : $\text{[math]}$ definie par :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Déterminer la droite commune à tous les plans de la famille $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Déterminer le plan de la famille $\text{[math]}$ qui passe par le point $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Déterminer le plan de la famille $\text{[math]}$ qui est parallèle à la droite :
$\text{[math]}$
Comment faire pour la première question .. ?!
Merci d'avance de votre aide !!

**Calvert** · 24/09/2007, 09h32

Salut!

Une idée serait de trouver l'intersection de deux plans "simples" de ta famille de plans (m=0 et m=-1, par exemple), de trouver la droite d'intersection de ces deux plans, puis de vérifier que cette droite est contenue dans tous les plans de la famille.

invitecbade190 · 25/09/2007, 01h24

Oui, bonne idée "Calvert" .. !
Alors :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ la droite intersection des deux plans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
L'équation de la droite $\text{[math]}$ s'obtient en résolvant le systme d'équations suivant :
$\text{[math]}$
En effet :
$\text{[math]}$
Par conséquent :
L'équation paramétrique de la droite $\text{[math]}$ est :
$\text{[math]}$
Maintenant, il reste à verifier que : $\text{[math]}$
Soit : $\text{[math]}$
On remplace les composantes de l'équation paramétrique $\text{[math]}$ dans l'équation de $\text{[math]}$ et on trouve :

$\text{[math]}$
Par conséquent : $\text{[math]}$
Merci "Calvert" !

invitecbade190 · 25/09/2007, 02h11

Pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
Le plan de la famille $\text{[math]}$ passant par le point $\text{[math]}$ est le plan $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ et le point $\text{[math]}$ .
D'abord, déterminons un vecteur normale au plan $\text{[math]}$ .
D'après l'équation paramétrique de la droite $\text{[math]}$ , le vecteur $\text{[math]}$ est un vecteur directeur de $\text{[math]}$ .. Donc, le vecteur $\text{[math]}$ est parallèle à $\text{[math]}$ ..
D'autre part :
$\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est un point dont les coordonnées verifient l'équation de la droite $\text{[math]}$ , donc du plan $\text{[math]}$ ).
Le vecteur $\text{[math]}$ est un vecteur parallèle au plan $\text{[math]}$ ..
Par conséquent :
Le vecteur : $\text{[math]}$ est un vecteur normal au plan $\text{[math]}$ .
Alors l'équation du plan $\text{[math]}$ s'écrit sous la forme suivante :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Par conséquant :
L'équation du plan $\text{[math]}$ est :
$\text{[math]}$
C'est à dire :
$\text{[math]}$

**Calvert** · 25/09/2007, 09h11

Remarque pour la deuxième question: ta méthode, qui est correcte puisque tu trouves le bon résultat, est il me semble plutôt assez compliquée:

il te suffisait d'introduire les coordonnées du point $\text{[math]}$ dans l'équation de ton plan et de résoudre pour $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

qui donne immédiatement $\text{[math]}$ , et qui mène à la même équation de plan que celle que tu as trouvée.

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