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Geometrie analytique !



  1. #1
    invite52487760

    Geometrie analytique !


    ------

    Bonsoir :
    Voiçi un autre petit exercice sur le même thèse : "Geometrie analytique".
    On considère le point et la droite d'équation paramétrique : et le plan d'équation : .
    On nous demande de :
    Trouver les coordonnées du point , symétrique à par rapport au plan .
    Déterminer l'équation de la droite qui contient le point et qui coupe la droite et qui est parallèle au plan .
    Merci d'avance !

    -----

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  4. #2
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Help svp !!

  5. #3
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    Salut!

    Tu as l'équation du plan, tu peux donc facilement trouver un vecteur normal à ce plan. De là, tu peux trouver la droite perpendiculaire au plan passant par P. Ensuite, trouver le point P'' situé dans le plan et sur cette droite perpendiculaire, écrire le vecteur PP''. Le point P est donné par le vecteur PP' = 2PP''.

  6. #4
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    D'accord :
    le vecteur est un vecteur normal au plan .
    Soit : la droite passant par et perpendiculaire au plan .
    est donc la droite passant par et de vecteur directeur .
    Par conséquent :
    L'équation de la droite est :

    Soit le point intersection de la droite et du plan .
    Les coordonnées du point s'obtiennent en resolvant le système suivant :





    On remplace dans l'équation de la droite et on obtient :

    Par conséquent :

    Puisque :
    Alors :

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  8. #5
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Merci "Calvert" !

  9. #6
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Et pour la deuxième question, comment faire ?!
    Merci d'avance !!

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  11. #7
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    Le plus simple est d'écrire l'équation d'un plan parallèle à , mais contenant le point P. La droite s sera alors contenue dans ce plan. Elle coupe également la droite r. Donc, si tu calcules l'intersection entre r et , tu auras un deuxième point (en plus de P) sur ta droite, qui sera donc complétement déterminée.

  12. #8
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    D'accord :
    Soit le plan passant par le point et parallèle à .
    Alors l'équation du plan s'écrit sous la forme suivante : .
    Puisque : alors : , c'est à dire .
    Par conséquent, l'équation du plan est : .
    Soit le point d'intersection du plan et de la droite .
    Les coordonnées du point s'obtiennent en resolvant le système suivant :



    Par conséquent :

    la droite admet pour vecteur directeur, le vecteur
    D'où , la droite qui contient le point et qui coupe la droite et qui est parallèle à est la droite d'équation :

  13. #9
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Merci "Calvert" !

  14. #10
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Bonjour :
    Voiçi un autre exercice sur la "geometrie analytique" :
    Soient et deux points de l'espace muni d'un repère orthonormé .
    On nous demande de :
    Décrire l'équation de l'ensemble des points équidistants à et à .
    Determiner l'équation que verifient les points dont la distance à est égale à la distance de à .
    Décrire l'équation paramétrique de la droite formée par les points du plan telle que le triangle est rectangle au point .
    Merci d'avance !!

  15. #11
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Pour :
    Soit le milieu du segment .
    Alors : .
    L'ensemble des points équidistants à et est le plan passant par tel que la droite est perpendiculaire à ce plan
    Le plan a pour vecteur directeur le vecteur
    Par conséquent :
    L'équation du plan ,qui est l'ensemble des points équidistants à et ; s'ecrit sous la forme suivante :
    .
    Par conséquent : l'équation du plan est :

  16. #12
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Pour :
    L'ensemble des points dont la distance à est égale à la distance de à est la sphère de centre et de rayon .
    On a :
    Soit la sphère de centre et de rayon
    L'équation de est :

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  18. #13
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Pour la question, c'est un peu difficile ... est ce que vous pouvez m'aider à la resoudre .. !
    Merçi d'avance ..!

  19. #14
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Je pense qu'il faut d'abord, determiner l'équation du plan passant par et tel que : y soit perpendiculaire ... dans ce cas là, l'intersection de ce plan et le plan est la droite concernée .. !

  20. #15
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Soit le plan passant par et tel que la droite y est perpendiculaire ...
    le vecteur est le vecteur normal au plan .
    Par conséquent : l'équation du plan s'ecrit sous la forme suivante : .
    l'équation du plan s'ecrit donc : .
    L'équation paramétrique de la droite formée par les points du plan tel que le triangle est rectangle au point s'obtient en resolvant le système suivant :

    On a :

  21. #16
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Bonjour :

    Discuter selon les valeurs du paramètre réel , la position relative des plans suivants :




    Je n'ai aucune idée sur la manière de resoudre cet exercice ... ! C'est un exercice tiré d'un manuel espagnol de mathematique, et que j'ai essayé de le traduire moi même en français !!
    Merçi d'avance de votre aide !!

  22. #17
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    Salut!

    Des plans peuvent être soit:

    - confondus (c'est-à-dire qu'ils sont superposés l'un sur l'autre). C'est le cas par exemple des plans x+y+2 = 0 et 2x+2y+4 = 0.

    - parallèles (c'est-à-dire que des vecteurs normaux à chaque plan sont parallèles). C'est le cas par exemple des plans x+y+2 = 0 et x+y+3 = 0.

    - sécants (tous les autres cas).

    Ici, en choisissant judiceusement certaines valeurs pour , tu te trouveras dans un cas ou l'autre.

  23. #18
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Bonjour :
    Merci "Calvert" pour toutes ces precisions là ... !!
    Est ce qu'il y'a un lien entre la position relative des plans , et et la résolution du système définie par ces équations ( Calcul du determinant ... etc ) ?
    Merci d'avance !!

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  25. #19
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    Oui, tout à fait!

  26. #20
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Bonjour "Calvert" :
    La matrice correspondante au système formé par les équations des plans , et est :

    On calcule son determinant : :


    Alors, "Calvert" , si c'est à dire si , alors, la matrice est inversible, et donc, de point de vue geometrique, les plans , et se coupent en un seul point en fonction de ...n'est ce pas ?!
    Maintenant, si , on remplace par sa valeur dans le système, et on compare les plans , et ... est ce que c'est correcte ça, "Calvert" ?
    Merci d'avance !!

  27. #21
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    Oui, jusque-là, ça me semble correct. Donc, si , les plans sont tous sécants.

    Reste à discuter le cas , c'est-à-dire le système:


  28. #22
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Oui, voilà .. c'est ça.. !!
    Donc :
    et sont parallèles .. !
    coupent et en deux droites parallèles !!

  29. #23
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Oui, mais, il y'a un truc que je ne comprend pas bien ... !!
    Dans cet exemple là, on est tombé sur un cas où les plans se coupent en un point unique suivant la valeur de ,c'est à dire quant le "determinant" est different de ...
    Mais, dans le cas général, quant est ce qu'on peut avoir des situations ou les trois plans se coupent deux à deux en trois droites distincts ... Que serait la forme de cette matrice dans ce cas là ...?
    Merci d'avance !!

  30. #24
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    C'est la même chose: le déterminant de ta matrice est nul car les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants dans ce cas-là. Prends par exemple les plans:



    Dans ce cas, le déterminant de la matrice est nul.

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  32. #25
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Merci beaucoup "Calvert" !!

  33. #26
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Bonjour :
    On considère la famille des plans : definie par :

    Déterminer la droite commune à tous les plans de la famille .
    Déterminer le plan de la famille qui passe par le point .
    Déterminer le plan de la famille qui est parallèle à la droite :

    Comment faire pour la première question .. ?!
    Merci d'avance de votre aide !!

  34. #27
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    Salut!

    Une idée serait de trouver l'intersection de deux plans "simples" de ta famille de plans (m=0 et m=-1, par exemple), de trouver la droite d'intersection de ces deux plans, puis de vérifier que cette droite est contenue dans tous les plans de la famille.

  35. #28
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Oui, bonne idée "Calvert" .. !
    Alors :


    Soit la droite intersection des deux plans et .
    L'équation de la droite s'obtient en résolvant le systme d'équations suivant :

    En effet :

    Par conséquent :
    L'équation paramétrique de la droite est :

    Maintenant, il reste à verifier que :
    Soit :
    On remplace les composantes de l'équation paramétrique dans l'équation de et on trouve :


    Par conséquent :
    Merci "Calvert" !

  36. #29
    invite52487760

    Re : Geometrie analytique !

    Pour :

    Le plan de la famille passant par le point est le plan contenant et le point .
    D'abord, déterminons un vecteur normale au plan .
    D'après l'équation paramétrique de la droite , le vecteur est un vecteur directeur de .. Donc, le vecteur est parallèle à ..
    D'autre part :
    ( est un point dont les coordonnées verifient l'équation de la droite , donc du plan ).
    Le vecteur est un vecteur parallèle au plan ..
    Par conséquent :
    Le vecteur : est un vecteur normal au plan .
    Alors l'équation du plan s'écrit sous la forme suivante :


    Par conséquant :
    L'équation du plan est :

    C'est à dire :

  37. #30
    Calvert

    Re : Geometrie analytique !

    Remarque pour la deuxième question: ta méthode, qui est correcte puisque tu trouves le bon résultat, est il me semble plutôt assez compliquée:

    il te suffisait d'introduire les coordonnées du point dans l'équation de ton plan et de résoudre pour :



    qui donne immédiatement , et qui mène à la même équation de plan que celle que tu as trouvée.

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