Géométrie analytique et vectorielle

[Bleyblue]

Bonjour,

Je suis occupé à revoir ma géométrie analytique ( dans et dans ) et j'ai une petite question (et d'autres vont suivres à mon avis )

Dans IR² (pour commencer) :

Pourrier vous me rappeler comme je dois faire pour trouver le point symétrique d'un point :

a) Par rappot à un autre point
b) Par rapport à la première bissectrice des axes Ox et Oy
c) Par rapport à une droite d'équation donnée.

Je ne pense pas que ce soit difficile, mais je ne suis pas parvenu à me souvenir de comment il faut faire

merci
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[Bleyblue]

Pour le c) et donc aussi pour le b) il suffit de trouver le point p' tels que pp' admet la droite en questions pour médiatrice donc ce n'est pas très dur.

Par contre pour le a) je ne vois pas trop ...

merci

[invité576543]

Pour le c) et donc aussi pour le b) il suffit de trouver le point p' tels que pp' admet la droite en questions pour médiatrice donc ce n'est pas très dur.

Par contre pour le a) je ne vois pas trop ...

merci

Pour a), c'est pareil: le centre de symétrie est le centre du segment entre un point et son symétrique...

[Bleyblue]

En effet, j'y suis, merci bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Autre chose :

J'ai un vecteur (dans le plan) dont la norme vaut 13. Si son origine est a(-2,3) et la projection de son extrémitié sur oy est le point (0,8) je dois chercher b et les composantes du vecteur.

J'ai clairement a(-2,3) et b(x, 8) et je cherche x.

Donc

et la je tombe sur x = 10 ou x = - 14 et il me semble qu'aucune des deux solutions n'est à rejeté non ?

Il y a donc deux vecteurs qui sont solutions de ce problème ...

merci

[invité576543]

Il y a donc deux vecteurs qui sont solutions de ce problème ...

Correct. Les deux points sont symétriques par rapport à la droite // à y et passant par a, le problème ayant cette symétrie!

Cordialement,

[Bleyblue]

Ok, merci !

[Bleyblue]

Pourriez-vous me rappelez la définition d'un faisceaux de droites ?

Je dois chercher la droite commune à deux faisceaux de droites donné mais si je ne sais pas ce que c'est qu'un faisceaux ce n'est pas évident, et je ne trouve aucune définition de ça dans mon cours ...

merci

[invitea8d97425]

On définit plus facilement un faisceau d'hyperplans : si Phi1 et Phi2 sont 2 formes linéaires correspondant à ces hyperplans, le faisceau des 2 hyperplans est l'ensemble des hyperplans dont les formes linéaires sont de la forme a*Phi1 + b*Phi2 avec (a,b) dans R^2.

Autrement dit, dans R^2, il suffit de prendre les équations de tes droites, l'équation d'une droite dans le faisceau est du type a*équation1 +b*équation2 (pour faire vite). Pareil pour des plans dans R^3...

[Bleyblue]

Mais un faisceaux ça correspond à quoi exactement ? Un ensemble de droites/plans ?

Et comment dis-tu que je dois faire pour déterminer l'intersection entre deux faisceaux ?

merci

[Bleyblue]

Ah, j'ai trouvé avec google qu'un faisceaux de droites est définit comme étant : "l'ensemble des droites qui passent par un même point"

Si j'ai deux faisceaux :

A1 (d1) + B1(d2) = 0

A2(d3) + B2(d4) = 0

L'intersection c'est la droite qui passe par (d1 inter d2) et par (d3 inter d4) non ?

merci

[Bleyblue]

Oui ça doit être ça.

Dites vous avez une idée sur comment je dois m'y prendre pour déterminer les équations en coordonées polaire du cercle :

(x - a)² + (y - b)² = R²

?

J'ai donc :







Alors je peux déterminer la valeur a partir de l'équation ci dessus mais j'aurais des termes en x, en y, en a, en b, et en R dans la réponse ...

C'est normal ?

merci

[Bleyblue]

Et sinon quelqu'un pourrai il me rappeler comment je dois faire pour trouver toutes les droites d'équation :

y = a(x + 2) - 1 (a étant une constante)

qui sont tangeantes au cercle d'équation x² + y² + 2x - 4y = 0 ?

J'ai bien essayé d'aller chercher dans mes anciens cours de math mais je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider mise à part le fait que si une droite est tangeante au cercle alors elle est perpendiculaire à son rayon ...

merci

[invitea8d97425]

Pour finir sur les faisceaux, un faisceau d'hyperplans est bien un hyperplan. Dans, R^2, un faisceau de droites est donc une droite... Et une intersection d'éléments d'un faisceau fait un EA de dimension strictement plus petite ; dans R^2, il ne reste guère qu'un point... Ceci explique cela. C'est essentiellement de la géométrie affine, que tu vas sans doute traiter plus tard dans l'année.

Pour le cercle en polaire, tu dois trouver une expression avec seulement du rho et du thêta... Il faut encore bidouiller un peu.

Pour la dernière question, est-ce qu'un paramétrage en (x(t), y(t)) ne pourrait pas aider ? C'est une question fréquente pour les coniques, et on passe souvent par là.

[Bleyblue]

Pour le cercle en polaire, tu dois trouver une expression avec seulement du rho et du thêta... Il faut encore bidouiller un peu.

Tu n'aurais pas une indication sur la manière dont je dois m'y prendre ? Il est impossible d'isoler x² + y² dans cette expression, idem pour x et y donc je ne vois pas comment faire ...

Pour la dernière question, est-ce qu'un paramétrage en (x(t), y(t)) ne pourrait pas aider ?

Je vais voir ça

merci

[invitea8d97425]

Utilise ton équation pour trouver rho^2 : on arrive à une équation de degré 2 en rho, tu résouds...

[Bleyblue]

Je ne comprend pas.

J'ai rho² = x² + y² = 2ax + 2by - a² - b² - R² mais avec ça je ne sais rien faire non ?

merci

[Bleyblue]

Ah mais peut être qu'en utilisant les formules que j'ai données ci dessus ?

Dans ce cas je tombe sur :



C'est ça ?
Ma parole, c'est super pratique comme équation

merci

[invitea8d97425]

OK, sauf que ca serait plutôt +R^2 que - ...

[Bleyblue]

Ah oui en effet ...

Sinon quelqu'un sait il comment faire pour vérifier qu'une droite est tangeante à un cercle ?
J'ai bien essayé avec ta proposition Ithilian_bzh mais je ne vois pas trop en quoi cela pourrait m'aider.

Je pourrais bien évidemment essayer d'utiliser les dérivées mais je pense qu'il y a moyen d'y arriver sans ...

merci

[Bleyblue]

Je cherche l'aire dans l'espace d'un triangle de sommets (1,3,2), (2,-1,1) et (-1,2,3).

Apparament je dois faire un produit vectoriel entre deux de ces vecteurs (ce qui me donnera l'aire du parallélogramme) que je dois diviser par deux.

Mais pourtant le produit vectoriel de deux vecteurs c'est un autre vecteur, et non pas un scalaire non ?

Je ne comprend pas bien, vous avez une piste ?

meci

[Bleyblue]

Bon en fait il s'agit de la norme du vecteur résultant qui correspond à l'aire du paralléogramme.

Mais comme dois-je faire pour connaître les deux vecteurs (parmis les trois) donc je dois prendre le produit vectoriel ?

merci

[nissart7831]

Peu importe, cela donnera le même résultat. Heureusement !

[Bleyblue]

Ah oui.

Donc si A = (1,3,2), B = (2,-1,1) et C = (-1,2,3).

Donc il suffit que je calcule les composantes de AB et AC. Après ça je calcule la norme de leur produit vectoriel et je divise par deux ...

C'est bien ça ?

merci

[nissart7831]

Oui. Et pour t'en convaincre, calcule les autres produits vectoriels et tu verras par toi-même.

[Bleyblue]

D'accord, merci bien

[Bleyblue]

Dites si je vous donne l'équation suivante (dans R³) :



Vous êtes bien d'accord avec moi pour dire qu'il s'agit de l'équation d'une demi-sphère de centre (0,0,0) et de rayon 4 ?

Ou je me trompe ?

merci

[Bleyblue]

Quelqu'un peut il me rappeler comment faire pour trouver l'équation d'un plan passant par un point A = (3,4,-5) et parallèle aux vecteurs de composantes (3,1,-1) et (1,-2,1) ?

merci

[invitea8d97425]

Pour l'équation, c'est celle d'une sphère entière... L'expression en racine représente la norme euclidienne d'un vecteur de R^3, ce qui donne bien ce que l'on veut...

Pour l'autre, trouve un vecteur normal au plan, ca devrait aider.

[Bleyblue]

Ah, mais je pensais que l'équation d'un sphère entière centrée en (0,0,0) c'était :

x² + y² + z² = R²

donc si je prend la racine carrée positive du membre de gauche il n'y a plus qu'une demi sphère non ?

Sinon pour l'autre je peux trouver un vecteur normal en calculant le produit vectoriel de deux vecteurs donnés ci dessus mais en quoi cela m'aide t'il ?

merci