plan tangent à une surface

[invite7a09cace]

bonjour, j'aimerais savoir si quelqu'un sait comment trouver un plan tangent à une surface (-4x^2+2y^2-5z^2=8) qui soit parallèle à un autre plan (3x+6y+4z=4). Merci d'avance..
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[invitea41c27c1]

Tu cherches quand le gradient de (-4x^2+2y^2-5z^2=8) vaut celui de (3x+6y+4z=4).

[invite7a09cace]

je dois y aller par essai et erreurs ou il y a une façon de les mettre égale parce que l'énoncé nous dit qu'il peut y avoir plus d'un plan tangent à la surface t parallèle a l'autre plan...

[cedbont]

Bonjour, procédons par étapes :

comprends-tu pourquoi on te demande d'égaliser les gradients ?

Si oui, peux-tu calculer ces gradients ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7a09cace]

on cherche le gradient parce que si on arrive a trouver deux gradients égaux c'est donc dire que les deux surfaces sont parallèle mais je ne suis pas sur de la démarche pour y arriver...

[cedbont]

OK, donc maintenant, il faut que tu calcules les gradients.

[invite7a09cace]

je suis capable de calculer le gradient de (3x+6y+4z=4) mais comment je fais pour trouver celui équivalent de la surface (-4x^2+2y^2-5z^2=8) ?

[cedbont]

De la même façon :

grad(-4x^2+2y^2-5z^2) = [d(-4x^2+2y^2-5z^2)/dx,d(-4x^2+2y^2-5z^2)/dy,d(-4x^2+2y^2-5z^2)/dz]

[invite7a09cace]

après avoir trouvé les 2 gradients, comment je trouve le plan tangent et comment savoir s'il en existe un seul? merci

[cedbont]

Peux-tu faire les calculs et les écrire ? Merci.

[invite7a09cace]

Les deux vecteurs gradients sont
[3,6,4] et [-8x,4y,-10z]

[cedbont]

Bien !

Maintenant, tu sais que les points de l'espace de coordonnées (x,y,z) qui vérifient qu'un plan parallèle à ton plan de référence est aussi tangent à la surface, vérifient aussi le fait que ces deux gradients sont colinéaires.

En effet, ces deux gradients sont des vecteurs orthogonaux à leur surface respective. Si ces surfaces sont localement parallèles (attention, ceci est sûrement mal dit), alors les gradients sont colinéaires.

Donc tu dois chercher l'ensemble des points (x,y,z) tels qu'il existe k pour que :

[3,6,4] = k*[-8x,4y,-10z] sachant que le triplet (x,y,z) doit aussi être sur la surface.

Tu calcules les solutions ?

[invite7a09cace]

est-ce que tu pourrais me donner un exemple pour illustrer ton propos j'ai de la difficulté avec l'équation.. merci

[cedbont]

Je vais partir du principe que tu a compris cette équation (dis-moi si ce n'est pas le cas) :

[3,6,4] = k*[-8x,4y,-10z]

Ce qui est équivalent à :

3 = -8kx
6 = 4ky
4 = -10kz

Ce qui est équivalent à :

-3/(8k) = x
3/(2k) = y
-2/(5k) = z

Tu mets ces valeurs dans l'équation de la surface :

(-4x^2+2y^2-5z^2=8)

Ce qui te permet de trouver k et donc x, y et z.

[invite7a09cace]

C'est ok mais comment je fais pour metttre ces valeurs dans l'équation de la surface?

[cedbont]

Tu remplaces !

[invite7a09cace]

OK c bon pour l'équation dsl j'avais mal regardé. La résolution de l'équation avec les nouvelles valeurs de x,y,z devrait me donner k mais à quoi équivaut cette valeur?

[cedbont]

Ca correspond au facteur de proportionnalité entre les deux vecteurs. Mais c'est pas important.

[invite7a09cace]

Je dois laisser l'équation avec des variables de k dedans ou je dois la solver pour trouver les valeurs de k?

[invite7a09cace]

Comment je fais pour savoir s'il existent plusieurs plan tangents qui sont parallèle au plan donné?

[cedbont]

S'il y en a plusieurs, alors il y aura plusieurs triplets.

[invite7a09cace]

Le plan tangent correspond à l'équation obtenue à la fin avec le k à l'intérieur? Comment peut-il y avoir plusieurs triplets?

[cedbont]

En remplaçant comme je te l'ai dit, tu obtiens :

251/(80*k^2) = 8

Tu résous et obtiens deux valeurs de k.

Tu obtiens donc deux triplets (x,y,z) différents.

[invite7a09cace]

good sa marche .. une petite dernière: avec les deux triplets trouvés, comment je trouve l'équation des plans tangents?

[invite7a09cace]

bon sa marche j'ai trouvé merci beaucoup pour ton aide cedbon