Espace tangent d'un moduli-space en un point.

**AncMath** · 11/10/2017, 12h36

La définition que j'ai prise de courbe elliptique complexe, c'est un tore complexe de dimension 1 avec un point marqué. Quelle définition veux tu prendre ?

**Anonyme007** · 11/10/2017, 12h46

La définition que prends d'une courbe elliptique est celle définie par l'équation : $\text{[math]}$
Attention, il y'a un autre nouveau message que je viens d'envoyer juste avant celui là que tu viens de poster dans la nouvelle page qui apparait sur l'écran : Page : $\text{[math]}$

**AncMath** · 11/10/2017, 12h52

Un telle équation défini un tore complexe pour peu qu'elle soit lisse, c'est la formule que j'ai donné plus haut.
Pour montrer qu'on tore complexe est algébrique il faut un peu plus de travail. On regarde la dimension de l'espace des sections de $\text{[math]}$ avec p le point marqué de la courbe elliptique, à l'aide du théorème de Riemann-Roch, à partir de là on montre qu'il y a une application vers une cubique lisse planaire, c'est un isomorphisme. Si l'on se place sur C ou un corps de caractéristique différente de 2 ou 3, c'est une trivialité de montrer qu'une telle cubique a une équation de la forme donnée.

Les coubes elliptiques correspondent donc aux tores complexes et tu peux te rebrancher sur le raisonnement précédent.

**Anonyme007** · 11/10/2017, 13h15

Tu parles de manière très vague AncMath. Je suis un apprenti, pas un chercheur. Difficile de pouvoir te suivre.

**AncMath** · 11/10/2017, 13h16

Qu'y a-t-il de vague dans ce que je dis ?

**Anonyme007** · 11/10/2017, 13h32

On avance tout doucement :
Lorsque tu dis :
Un telle équation défini un tore complexe pour peu qu'elle soit lisse, c'est la formule que j'ai donné plus haut.
Tu construis en effet une application : $\text{[math]}$ , que tu cherches à montrer son injectivité grâce à la formule du genre que tu utilises, c'est ça ? C'est de cette manière que je préfère que tu m'expliques. Plus rigoureusement en effet.

**AncMath** · 11/10/2017, 13h37

Ce que tu écris n'est pas plus rigoureux, ça le serait même moins notamment parce que c'est faux et ça n'est même pas le seul problème !
Si tu prend une courbe elliptique complexe disons $\text{[math]}$ , donc une cubique projective lisse définie sur le corps des complexes, avec un point marqué dont on a pas trop grand chose à faire ici, alors ses points complexes sont une surface de Riemann compacte. La formule du genre que j'ai donnée plus haut assure que c'est un surface de genre 1, un tore donc. Il n'y a rien de plus à dire ni de manque de rigueur.

**AncMath** · 11/10/2017, 13h55

Bien sûr en théorie il faudrait montrer qu'une surface de Riemann de genre 1 est le quotient de $\text{[math]}$ par un réseau de celui-ci. Mais c'est pas bien difficile et surtout traité dans à peu près n'importe quel ouvrage d'introduction à la topologie algébrique.

**Anonyme007** · 11/10/2017, 15h00

D'accord, je prend note, je comprends la méthode que tu utilises : celle présenté ici : http://www.les-mathematiques.net/pho...366566,1368596
Alors, $\text{[math]}$
On construit ainsi le morphisme : $\text{[math]}$ qui est une bijection. Il reste à montrer que : $\text{[math]}$ , c'est à dire qu'il faut montrer que : $\text{[math]}$
Comment le faire ?
Merci d'avance.

**Anonyme007** · 11/10/2017, 15h12

D'accord :
On a : $\text{[math]}$
car les automorphismes entre plans projectifs sont les homographies présentés par : $\text{[math]}$ , non ?
Pourquoi, tu introduis genre et degré d'une courbe, théorème de Riemann Roch ... etc ? On n'en a pas besoin ici. Tu me déroutes. Tu me compliques les choses dans ta manière d'expliquer.

**Anonyme007** · 11/10/2017, 21h29

Pardon, j'ai lu trop rapidement :

Envoyé par AncMath

Pour montrer qu'on tore complexe est algébrique il faut un peu plus de travail. On regarde la dimension de l'espace des sections de $\text{[math]}$ avec p le point marqué de la courbe elliptique, à l'aide du théorème de Riemann-Roch, à partir de là on montre qu'il y a une application vers une cubique lisse planaire, c'est un isomorphisme. Si l'on se place sur C ou un corps de caractéristique différente de 2 ou 3, c'est une trivialité de montrer qu'une telle cubique a une équation de la forme donnée.

J'ai établi le volet analytique. Tu es d'accord que c'est correct ? mais pas le volet algébrique, comment on fait en détail pour le cas des tores algébriques ?
Merci.

**Anonyme007** · 12/10/2017, 02h58

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
D'où :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
non ?
Je ne sais pas appliquer les étapes restantes de ton message.

**AncMath** · 12/10/2017, 17h33

Regarde les fonctions meromorphes ayant au plus un pole d'ordre 6 en p. Quel est la dimension d'un tel espace ? Ne vois tu pas des fonctions qui vivent dans un tel espace, construites a partir des fonctions ayant un pole d'ordre au plus 2 ou 3 en p ?

**Anonyme007** · 12/10/2017, 23h30

Tu considères alors l'espace : $\text{[math]}$ . D'après un résultat de mon cours :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un diviseur en toute généralité. Par conséquent : $\text{[math]}$ . D'où : $\text{[math]}$ , non ?. A quoi cela servira-t-il ?
On a : $\text{[math]}$ , non ?. Je n'arrive pas à faire la suite de tes questions. Avant, il faut que je m'assure que j'ai correct lorsque j'écris : $\text{[math]}$ . Est ce correct : $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

**AncMath** · 13/10/2017, 08h32

Bon, ca ne va pas. Le but n'est pas de te faire réaliser que $\text{[math]}$ ce qui est évident ici. Ce sont simplement deux notations différentes.
Le reste de ce que tu écris est un peu n'importe quoi.

Il va être difficile de parler un peu sérieusement de courbes elliptique si tu ne sais pas le B-A-BA sur les courbes algébriques. Tu devrais lire un cours d'introduction aux courbes algébriques, le petit livre de Fulton algebraic curves est très bien pour ça, il est accessible sans problème à un étudiant de 2nde anneé. Lis-le, fais une part substantielle des exercices et ensuite nous pourrons parler un tout petit peu sérieusement de courbes elliptiques.

**Anonyme007** · 13/10/2017, 08h58

Sur quoi je dois me pencher plus exactement dans le Fulton ?, parce que je l'ai parcouru pas mal de fois dans ma vie.
Quel paragraphe je dois voir pour pouvoir poursuivre la discussion à l'aise ?.
stp, je n'aime pas qu'on me traite avec humiliation lorsque je suis entrain d'apprendre des choses nouvelles ? Tu n'as pas à ajouter dans tes propos des paroles du style : c'est du n'importe quoi ... je sais que c'est n'importe quoi ... Au lieu de n'importe quoi tu me corriges et tu me dis voilà comment on corrige ça. Si cela ne te dérange pas bien sûr.
Merci.

**AncMath** · 13/10/2017, 09h05

Je ne parle pas du bouquin de théorie de l'intersection, je parle du livre sur les courbes algébriques. Tu le lis en entier, il est très court et abordable. Il doit y avoir une centaine de pages. Fais une bonne partie des exercices également. Ils sont faciles.
Je ne vois pas en quoi c'est humiliant de dire quand on écrit n'importe quoi. Mais j'éviterai la formule si elle te blesse. Je te présente mes excuses.

**Anonyme007** · 13/10/2017, 09h18

D'accord. Alors, rendez vous dans 2 ou 3 jours.

et merci pour ta gentillesse et ton caractère humble

Je ne vais pas faire beaucoup d'exercices dans le Fulton parce que je n'ai pas le temps. J'aimerais aller plus vite.

**AncMath** · 13/10/2017, 09h20

Il te faudra bien plus de 2 jours. Compte un petit mois. Et si tu ne fais pas les exercices lire le livre se servirait à rien.

**Anonyme007** · 13/10/2017, 09h23

Non un mois c'est beaucoup, parce que mon but ce n'est pas la théorie des courbes algébriques ou elliptiques, mais la théorie des moduli.

Le Fulton algebraic curves, je l'ai lu aussi pas mal de fois.

**AncMath** · 13/10/2017, 09h27

Mais... tu ne pourras jamais comprendre quoique ce soit à la théorie des espaces des modules, si tant est qu'il existe une telle chose, sans connaitre le B-A-BA sur les courbes hein !
Tu peux compter un bon semestre, voire 2 si tu veux aborder sereinement par exemple la notion d'espace de module des variétés abéliennes principalement polarisées.
Lis le bouquin de Fulton, passe du temps dessus, fais les exercices. Ensuite tu pourras passer au niveau d'après.

**Anonyme007** · 13/10/2017, 12h17

AncMath :
J'ai survolé le Fulton, algebraic curves, tout à l'heure, et il n'y'a rien d'étrange pour moi dans ce livre, car je suis déjà un peu familier avec toutes les notions qui figurent dans ce livre sans exception. Je ne comprends pas ce qui se trouve de particulier dans ce livre que je ne connais pas, et sans lequel on ne peut pas avancer dans le problème qui fait l'objet de ce fil. Tu peux m'expliquer stp ?
Merci.

**AncMath** · 13/10/2017, 15h16

Il ne s'agit pas d’être "un peu familier" mais de maîtriser parfaitement ce qui est dans ce livre. Ce qui ne peut pas être ton cas vu ce que tu écris par exemple au message 44 !

**Anonyme007** · 13/10/2017, 15h30

A mon avis, ce n'est pas Fulton qui est censé m'aider à me rendre compte de l'erreur ou erreurs commises dans le message 44 mais un autre livre plus adapté à ce cas là. Fulton ne s'occupe pas de ce sujet là, ou bien tu m'indiques le paragraphe ou le chapitre que je dois réviser pour réussir la suite de discussion sur ce fil.

**Anonyme007** · 13/10/2017, 19h56

Ici : https://www.math.u-psud.fr/~merker/E...ffiths-SdR.pdf , page : 170, on appuie fortement l'idée que j'ai voulu mettre en évidence, et qui a eu une action oppressive de ta part. L'auteur affirme que : $\text{[math]}$ , c'est pas identique à ce que j'ai écrit, c'est sûr, mais, presque, je suis convaincu que ce que j'ai écrit n'est pas du n'importe quoi comme il te plaît de l'appeler.

Je ne comprends pas pourquoi tu résistes à toujours me contrarier ou à ridiculiser ou à te moquer de ce que j'écris. Tout le monde est d'accord que tu es bien en maths. Depuis que tu es venu ici, je n'entends de toi que, ça c'est très facile, ( ... alors que c'est compliqué au fond : rappelle toi l'histoire des modules projectifs ), tu surestimes tes connaissances au détriment des autres ( Rappelle toi l'histoire des faisceaux équivariantes qui n'ont rien à avoir mon sujet autour du groupe modulaire ) afin de dire, oui j'ai plus de connaissance que toi, tu n'es rien. Tu ne respectes pas les autres : Les autres passent leur temps à se forcer à comprendre pour qu'à la fin grosso modo ( avec une pseudo gentillesse qui cache derrière elle un ton de mauvaise foi ) afin de les faire comprendre que c'est inutile ce qu'ils font malgré l'effort faramineux pour comprendre, et qu'il vaut mieux qu'ils retournent au primaire d'abord, en disant tu apprends d'abord Fulton. C'est pas gentil ce que tu fais.

Excuse moi d'utiliser cette manière de parler, mais il est temps pour toi que tu changes.

**AncMath** · 16/10/2017, 10h29

Cette discussion devient totalement ubuesque.

Je n'ai pas spécialement envie de perdre mon temps, et toi n'a pas l'air d'avoir spécialement envie de faire des maths aussi je préfère m’arrêter là.

**Anonyme007** · 16/10/2017, 11h15

A ton avis, est ce raisonnable de demander à un apprenti qui a besoin de manière urgente une information qui apparemment n'est pas disponible sur le net. Reviens dans deux mois pour te donner l'information. Qui rend la discussion ubuesque ? Je n'ai pas besoin de tes conseils. J'ai seulement besoin d'information qui apparemment, tu les détiennent, mais tu ne veux pas les partager.

**Médiat** · 16/10/2017, 20h57

Bonsoir,

Le ton de ce fil m'y oblige : on ferme !

Médiat

Espace tangent d'un moduli-space en un point.

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