Nature de série numérique

[al bachi]

donc qu'est ce que tu me propose de faire ?? stp
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[ansset]

pour p=1 par exemple : comme on a

U(n+1)=Un/(n+p+1) +(n+1)!/(n+p+1)! soit

donc U(n+1)>(n+1)!/(n+2)!=1/(n+2)
la série numérique des Un est > sigma(1/k)-1 ( donc diverge )

[al bachi]

oui oui ans et je suis tout a fait d'accord avec toi. mais explique moi pour le cas ou P=1 j'ai pas bien compris

[al bachi]

parce-que je vois que tu as laisser le Un/n+p+1
et tu as travailler tout simplement avec (n+1)! /(n+p+1)!

[ansset]

oui la serie est strictement supérieure au second membre qui diverge, c'est tout.
un peu plus complexe pour n=2 ( même si le second membre converge dans ce cas )

[al bachi]

donc P=0
je dois utilisé aussi (n+1)! / (n+p+1)! ????

[al bachi]

mais est ce que tu peux me mettre un peu sur la voie pour P≥ 2 parce-que j'ai tout essayer mais je ne trouve pas

[al bachi]

Mais le calcul devient encore bizarre avec P≥ 2. Donc aide moi a pouvoir le calculer. Car j'ai beau faire mais ces devenu très compliquer

[ansset]

re-
désolé pour hier, je devais partir.
non, ce n'est pas immédiat pour n=2 (*)
voilà ce que je propose (le plus simple que j'ai sous la main )
pou p quelconque :

donc pour p=2
1)
par ailleurs
On commence par montrer ( en utilisant U_2(1) et la formule 1) ) que
(**)
En reprenant la formule on en déduit ensuite que

ce qui revient avec le terme n


Donc la serie de terme général est inférieure à une série convergente. ( de type sigma(1/k²) )

(*) car il me semble qu'on ne peut appliquer d'Amembert facilement même pour U2
(**) qu'on peut voir aussi facilement en regardant les premier termes de la suite.

[al bachi]

Ansset bonjour :
J'ai trouver enfin le calcul pour P=2.
Voici la procédure
(n+1)! / (n+p+1)!
(n+1)! / (n+p)!(n+p+1)
(n+1)! / (n+2)!(n+2+1)
(n+1)! / (n+1)!(n+2)(n+3)
1 / (n+2)(n+3)
1/n² + 5n +6
Donc je prend
1 / n² qui est une série de Riemann convergente car a>1 c'est-à-dire le qui est sur le n
Donc j'attends ta confirmation a moins que je me suis tromper encore.

[ansset]

Oui c'est juste, mais ce que tu montres c'est que le second terme ( uniquement ) converge .
ce qui est assez évident.
tu ne le démontres pas pour l'ensemble.
as tu lu ce que j'ai mis plus haut ?

[al bachi]

Donc si je comprend bien tu as fais un encadrements de Un. Mais pourquoi avoir calculer encore U2(1) car a ce que je sache nous somme en P=2. Et lorsque tu met (★★) qu'iest ce que cela signifie

[al bachi]

Mon problème ces le Un/ n+p+1
Qui me fatigue beaucoup parce-que on a Un au numérateur donc ça me fatigue pleinement

[ansset]

non, ce n'est pas un encadrement , c'est une majoration de U2(n) dans sa formulation totale, alors que tu ne le fais que pour une partie.
j'ai écrit U2 pour signifier que l'on prenais p=2
le reste ( le calcul des premiers termes ) c'est juste pour voir et aider à démontrer au début que U2(n)< 1/(n+2)
exemple
U2(1)=1/(2*3) <1/3
U2(2)=1/(2*3*4)+1/(3*4) < 1/4
U2(3)=1/(2*3*4*5)+1/(3*4*5)+1/(4*5) < 1/5

[al bachi]

D'accord je vais essayer

[al bachi]

Dit ansset quand tu met ce symbole * (étoile) est une multiplication ???

[ansset]

oui le * est une multiplication , mais je réécris ma démo.

je vais le redire ( refaire ) plus simplement et directement
On a

On montre par récurrence que

c'est vrai pour U2(1)=1/(2*3) et
par récurrence à partir de n=2
on suppose que c'est vrai pour n , puis






donc par récurrence

et U(n) est inf à une serie convergente.

[al bachi]

Moi je trouve 1 au numérateur pas 2 parce-que en simpliant par n+3 il reste 1 au numérateur et
(n+1)(n+2) au dénominateur ???

[ansset]

oui, si tu simplifies,
On doit pouvoir faire la récurrence avec 1/(n+1)(n+2) (*), j'ai pris 2 pour simplifier, et cela suffit à montrer la convergence.

(*) essaye de le faire tiens, bon execice
attention il faut partir de U(n)<=1/((n+1)(n+2)) et montrer
U(n+1) <=1/((n+2)(n+3))

[ansset]

ps : ça ne marche pas en cherchant à majorer par 1/(n+1)(n+2)
en bref, si
f(n) =2/(n+1)(n+2) et
g(n)=1/(n+1)(n+2)
on montre que si
Un < f(n) alors u(n+1)< g(n+1)<f(n+1)
mais si on part de
Un < g(n) alors on ne montre pas que
u(n+1) < g(n+1)
donc recurrence pas possible avec g(n)

[ansset]

correction de mon post précédent, j'ai mélangé les indices ( erreur au dénominateur ou les valeurs était pour U(n+1))
toi, tu semble vouloir chercher finalement U(n)< 1/(n*(n+1))
car tu trouvais U(n+1)< 1/((n+1)(n+2)) après simplification.
ce qui est déjà faux pour n=1, et je pense que même après la recurrence ne va pas de soi.

[al bachi]

Oui ansset j'ai fais et je trouve
U(n+1)< 1/ (n+2)(n+3)
Mais ces la démarche que je ne suis pas sur que ces juste j'ai d'abord calculer U(0) que je trouve 1/2 donc je dis U(0)< 1 ensuite j'ai calculer U(n+1) que je trouve
1/ (n+2)(n+3) mais je t'assure que je ne sais pas si ces juste. Je suis vraiment décourager ça fais maintenant trois jours que je m'archane a trouver ce exercice dont je suis bloquer sur U(n+1) = [Un/n+p+1] + (n+1)! / (n+p+1).

[ansset]

d'abord U(0)=1/2 certes , mais n'est pas inférieur à 1/(0+2)(0+3)=1/6
donc il faut initialiser à minima à U(1)=1/6
ensuite

mais je t'assure que je ne sais pas si ces juste

je n'en sais rien, puisque tu n'écris pas ce que tu as fait.

par ailleurs, dans un post précédent je t'ai proposé une demo complète d'une recurrence qui marche avec un 2.
il semble que tu voulais "l'améliorer" en trouvant un majorant plus petit.
libre à toi, c'est une bonne initiative.(*)
mais il faut la démontrer proprement soit
1) une initialisation au rang k avec U(k)<= f(n) ( ou tu proposes ta fonction f(n) qui correspond à une serie convergente)
2) tu montres que si U(n)<= f(n) alors U(n+1) <= f(n+1)

(*) mais te plains pas si cela te semble fatiguant maintenant , puisque c'est toi même qui souhaite améliorer ma démonstration qui fonctionne.

[al bachi]

Y'a pas de soucis je vais encore essayer encore ta démonstration

[ansset]

Une explication sur la logique de la démo pour que cela soit clair
on a

tu as vu et toi même démontré que le second membre donnait lieu à une serie convergente.
je suis parti du même constat
on peut l'écrire (puisqu'il s'agit du rang n+1)

d'où l'idée de partir pour le rang n d'une base du type

(a constante )
car il faut tenir compte du premier membre ( qui est plus petit )
donc j'ai pris comme base

et vérifié que la recurrence se faisait facilement à la fin parce que
(n+3)/(n+1) < 2 à partir du rang 2, (et est =2 pour n=1)

[al bachi]

Donc si je comprend bien notre base qui est ici
2/(n+1)(n+2) sera appelé U(n) et non U(n+1)???
Ensuite je dois faire la récurrence de.
U(n)= 2/(n+1)(n+2)

[ansset]

non pas = , mais <=
donc montrer que
SI U(n) <= 2/((n+1)(n+2))
ALORS U(n+1) <=2/((n+2)(n+3))
j'ai utiliser pour cela la formule du début ( ici p=2 bien sur )

[al bachi]

Comme je dois rendre ça ce lundi 02 octobre, donc je vais faire jusqu'à ce que je trouve

[al bachi]

Et pour P=1 et P=2
Qu'est-ce que tu me propose alors

[ansset]

Et pour P=1 et P=2
Qu'est-ce que tu me propose alors

c'est une blague ??????
cela fait plus de deux pages qu'on parle du cas p=2 et de la démo qui montre la convergence.
cette démo s'appuie sur le fait que pour p=2

la série de terme général converge , donc la série converge puisqu'elle est majorée par une série convergente.

le cas p=1 a été très peu abordé , mais à l'inverse on montre avec la même méthode par récurrence (*)

ici la série de terme général diverge , donc la série diverge puisqu'elle est minorée par une série divergente.

(*)méthode qui a été réexpliquée plusieurs fois lors des derniers échanges
ps: ce qui veut dire que ta dernière question me conduit à stopper ici .
ps2: évidement comme la série converge pour p=2 ,elle converge pour tout p>2 car pour q>2