à propos d'une démonstration : famille (cos(t),sin(t),t) libre ?

[bendesarts]

Bonjour,

J'ai un souci pour comprendre une démonstration faite par un enseignant sur l'exercice suivante :

Soit E l’espace des fonctions continues R -> R : E = C(R;R)
Soit (e; f; g) une famille d’éléments de E définis par :
e(t) = sin(t); f(t) = cos(t); h(t) = t:
Cette famille, est-elle libre ?

Reformulation :

Pour montrer que la famille est libre, il faut montrer que :
Si quelque soit (a1,a2,a3) tel que a1*sin(t)+a2* cos(t)+a3*t=0
alors a1= a2=a3=0

Démonstration réalisée par l'enseignant:
Si t=0
a1*0+a2*0+a3*0= d'où a2=0

a1*sin(t)+ a3*t=0

Pour t=Pi/2, on a alors a1+ a3*Pi/2=0

Pour t=Pi/4, on a alors a1*sqrt(2)/2+ a3*Pi/4=0

Avec ces deux relations, on obtient alors que a1 et a3 = 0

Mon problème de compréhension:

Dans ce type de problème, si la famille avait été NON libre (liée), çà ne m'aurait pas gêné de prendre des valeurs particulières de t.

Mais, ici, comme on veut montrer que la famille est libre, il me semble qu'il faut le montrer quelque soit t.

1) ESt-ce que la démonstration proposée par l'enseignant est bien juste ?
2) Si oui, pourriez-vous me dire pourquoi on peut prendre des valeurs particulières de t pour montrer que la famille est libre ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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[Médiat]

Bonjour,

La combinaison linéaire porte sur des fonctions et non des réels, ce que vous devez démontrer, c'est :
a1*sin + a2*cos + a3*Id = Fonction nulle entraine ..., mais pour que cette égalité soit vraie entre fonctions, elle doit être vraie pour tous les réels, sous la forme : pour tous les t ( a1*sin(t)+a2* cos(t)+a3*t=0) alors a1 = a2 = a3 =0

si avec 3 valeurs de t cela marche, cela marchera a fortiori pour tous les t

[gg0]

Bonjour.

La preuve écrite par l'enseignant (si tu l'as bien copiée entièrement) est effectivement peu claire.
On considère une combinaison linéaire nulle de e, f et g, avec e(t) = sin(t); f(t) = cos(t); g(t) = t :
a.e+b.f+c.g=0 (fonction nulle), où a, b et c sont des réels.
On en déduit que quel que soit t, réel,
a e(t)+b f(t)+c g(t)=0
On en déduit ensuite que
a e(0)+b f(0)+c g(0)=0
a e(Pi/2)+b f(Pi/2)+c g(Pi/2)=0
a e(Pi/4)+b f(Pi/4)+c g(Pi/4)=0
puisque 0, Pi/2 et Pi/4 sont des réels.
la résolution de ce système de 3 équations donne
a=0, b=0, c=0,
donc {e,f,g} est libre.

"il me semble qu'il faut le montrer quelque soit t." non, c'est l'hypothèse ("combinaison linéaire nulle de e, f et g") qui dit que l'égalité avec les t est vraie quel que soit t, puisque c'est une hypothèse sur les fonctions.
maintenant, rien ne t'interdit de calculer a e(t)+b f(t)+c g(t) pour d'autres valeurs, mais comme tu as pris comme hypothèse que c'est nul ....

"pourquoi on peut prendre des valeurs particulières de t pour montrer que la famille est libre ?" pads pour montrer qu'elle est libre, pour calculer a, b et c.
"pourquoi on peut prendre des valeurs particulières de t ?" parce que quand c'est toujours vrai, c'est vrai aussi dans les cas particuliers.

Cordialement.

[bendesarts]

Super la dernière explication était très claire.

Je reformule pour m'assurer de ma bonne compréhension.

Pour démontrer que la famille en question soit libre, il faut que je démontre l'implication suivante :
Si la fonction t-->a*e(t)+b*f(t)+c*g(t) est égal à la fonction t->0 Alors a=b=c=0

On a démarre, par hypothèse, sur le fait que l'on a l'égalité a*e(t)+b*f(t)+c*g(t)=0 quelque soit t.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Effectivement

[eudea-panjclinne]

Je dirai que c'est une démonstration par l'absurde.
Pour montrer que la famille est libre, on suppose qu'elle est liée, donc
Il existe a,b,c non tous nuls tels que pour tout t réel a*e(t)+b*f(t)+c*g(t) =0 etc.
on trouve a=b=c=0 par conséquent la supposition faite est fausse c'est son contraire qui est vrai :la famille est libre

[minushabens]

A mon humble avis ce n'est pas une démonstration par l'absurde. Ca le serait si tu supposais explictement que l'un au moins des réels a,b ou c est non-nul et que tu en tires une conséquence contradictoire avec quelque prémisse.

[eudea-panjclinne]

tu supposais explictement que l'un au moins des réels a,b ou c est non-nul

C'est ce que j'ai dit : il existe a, b, c non tous nuls qui provient du fait que je suppose la famille liée,
sinon, je ne vois pas où est le problème.

[Médiat]

Bonjour,

Il n'est pas besoin de raisonnement par l'absurde, si je note , la formule , alors on dois démontrer que ce qui se fait simplement :
QED


On pourrait ajouter a, b et c dans les variables de la formule, mais cela ajouterait de la lourdeur sans rien ajouter

[gg0]

Bonjour Eudea-panjclinne.

En fait, dans la preuve de Bendesart, on ne suppose jamais rien sur a, b et c. Donc on ne part pas de "la famille est liée".
La propriété " Pour toute combinaison linéaire nulle des vecteurs, les coefficients sont nuls" est d'ailleurs une des définitions possibles de "partie libre", et c'est bien ce qu'on démontre ici.

Maintenant, tu peux transformer ça en une preuve par l'absurde, comme tu le dis, "Pour montrer que la famille est libre, on suppose qu'elle est liée", mais comme tu réutilises le schéma de la preuve directe, tu as seulement compliqué la démonstration. Quelle en est l'utilité ?

Par contre, je ne comprends pas la première phrase du message #6 "Je dirai que c'est une démonstration par l'absurde. " Le "c' " ne peut référer qu'à la preuve présentée au dessus, qui n'est absolument pas faite par l'absurde ou par contraposition.

Cordialement.

[minushabens]

C'est ce que j'ai dit : il existe a, b, c non tous nuls qui provient du fait que je suppose la famille liée

tu le dis mais tu n'exploites pas ce fait

[eudea-panjclinne]

@gg0
Tu as raison, la démonstration par l'absurde n'est pas nécessaire ici. J'aurais du dire on peut faire une démonstration par l'absurde.

[eudea-panjclinne]

@minushabens
Désolé, mais je ne comprends pas ta remarque.
Je n'ai ébauché que le début de la démonstration par l'absurde, le reste, noté par etc, étant identique à ce qui a été fait au-dessus. Est-ce à cela que tu fais allusion ?