Changement de variable dans un DL

[sleinininono]

Bonjour !
Auriez vous une demonstration ( J ai beau chercher je trouve pas ) pour les changement de variable dans un DL ?

Cad que si je fais le DL de par exemple (1+x)^1/2 pourquoi je peux remplacer simplement les x par des x^2 ?

De même pourquoi si j'ai une fonction u je peux faire le dl de u puis de 1/(1+u) par exemple ?

Merci
Bonne journée!
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[gg0]

Bonjour.

A priori, tu peux faire les changements de variables que tu veux, mais déjà, si l'expression qui remplace la variable n'a pas le bon comportement, ça n'aura aucun sens. Et à priori, il n'y a aucune raison que ça donne un DL.

Par exemple au voisinage de 0, ln(1+x)=x+o(x); le o(x) voulant dire qu'on ajoute une quantité dont la seule chose qui importe est qu'elle est négligeable en 0 par rapport à x.
Si tu fais le changement de variable x=t²+1, tu obtiens ln(1+t²+1)=t²+1+o(t²+1); le o(t²+1) n'a pas de sens puisque t²+1 ne tend jamais vers 0.
Plus gênant, tu remplaces x pas sin(t), tu obtiens ln(1+sin(t))=sin(t) + o(sin(t) . Ce n'est plus un développement limité.

Pour les règles, voir un cours sur les DL. Il y en a plein les manuels de L/prépa et Internet.

Cordialement.

[God's Breath]

Bonjour,

Auriez vous une demonstration ( J ai beau chercher je trouve pas ) pour les changement de variable dans un DL ?

Tu ne trouves pas de démonstration parce qu'il n'y en a pas, du fait qu'il n'y a rien à démontrer.

Un développement limité n'est pas une formule approchée, c'est une ÉGALITÉ entre deux fonctions, c'est-à-dire une écriture de la forme : f(x)=g(x).

Tu peux donc évaluer cette égalité pour la valeur de x qui te convient : 0, 36, 421, 10^10, -15, x^2, a^3+3a-7, …, tu obtiendras toujours une égalité.

La seule question à se poser : l'égalité obtenue permet-elle de progresser dans la compréhension de la situation étudiée ?

L'important est d'avoir compris que dans l'égalité :



intervient une fonction inconnue notée , au sujet de laquelle on dispose d'un unique renseignement :



L'égalité :

est vraie, mais sans intérêt du fait qu'on ne sait rien sur

L'égalité :



est également vraie, et fournira un renseignement dès que sera de limite nulle, c'est-à-dire lorsque tendra vers 1, 2 ou -3.

[sleinininono]

Ouais je vois ça a du sens. Merci pour vos reponses.

Juste une petite aparté. Ecrire un DL : une expr = x + o(x)
Ce n'est pas bizarre ? Le x "ne rentre pas dans le petit o"? D'habitude un DL d'ordre 1 en 0 s'écrit = a_0 + a_1 * x + o(x^2) non ?


D'accord c'est logique mais le truc qui m'embête c'est que les DL se calculent grâce à des dérivés successives. Donc oui logiquement on peut evaluer en x ou x^2 c'est fondamentalement pas diffèrent mais sur le plan des dérivés il y en a une grosse si je ne m'abuse ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Un développement limité est une somme de termes dont chacun est négligeable devant le précédent.

Dans le cas général, il y a des termes de tous les degrés et le monôme dans le petit a le degré du terme précédent.



Il peut se faire que les degrés des termes du développement ne soient pas consécutifs, soit de façon systématique pour les fonctions paires ou impaires comme le sinus ou le cosinus, soit pour un cas particulier, comme dans cet exemple où il n'y a pas de terme en :



D'ailleurs, un développement limité de la forme assure qu'il n'y a pas de terme en , c'est-à-dire que, si l'on peut pousser le développement plus loin, on obtiendra :

le truc qui m'embête c'est que les DL se calculent grâce à des dérivés successives.

Attention, la formule de Taylor-Young assure l'existence du développement limité à l'ordre n pour une fonction de classe Cⁿ, mais il existe des fonctions admettant des développements limités sans être plusieurs fois dérivables. Il n'y a qu'au premier ordre que le développement limité assure la dérivabilité au point considéré.

Dans la pratique, l'utilisation de la formule de Taylor pour calculer un développement limité est exceptionnelle.

[sleinininono]

Comment ça ? j'avais retenu limplication inverse. I.e. on a que si la fonction admet un DL elle admet une derive

par contre si elle admet une dérivé cela ne signifie pas quelle a un DL?

L'exemple que je pourrais citer est lexponentiel de -1/x^2, ou tout autre fonction non analytique (je crois quon les appelle comme ca)



Et sinon je vois pas pourquoi c'est un argument qu'on ne peut alors pas faire de demonstration :/

Merci pour votre temps
Cordialement

[gg0]

Ouais je vois ça a du sens. Merci pour vos reponses.

Juste une petite aparté. Ecrire un DL : une expr = x + o(x)
Ce n'est pas bizarre ? Le x "ne rentre pas dans le petit o"? D'habitude un DL d'ordre 1 en 0 s'écrit = a_0 + a_1 * x + o(x^2) non ?

Un conseil d'ami : Apprends vraiment le cours sur négligeables et équivalents. Il n'est pas normal que tu croies que x est lui-même un o(x).

D'accord c'est logique mais le truc qui m'embête c'est que les DL se calculent grâce à des dérivés successives. Donc oui logiquement on peut evaluer en x ou x^2 c'est fondamentalement pas diffèrent mais sur le plan des dérivés il y en a une grosse si je ne m'abuse ?

Les DL se trouvent de tas de façons pas nécessairement en dérivant. par exemple celui de 1/(1-x) se trouve avec les sommes de termes d'une suite géométrique !! Et n'importe comment, quelle que soit la façon d'obtenir une formule exacte, elle est vraie, dérivée ou pas.

on a que si la fonction admet un DL elle admet une dérivée

1) tu n'es pas dispensé d'écrire les accents. "dérive" n'est pas "dérivée"
2) C'est faux, la fonction x-->|x| admet un DL d'ordre 0 en 0, alors qu'elle n'y est pas dérivable.

par contre si elle admet une dérivé cela ne signifie pas quelle a un DL?

La définition de la dérivée en a d'une fonction f est justement qu'elle a un DL d'ordre 1 en a : f est dérivable en a si, au voisinage de a, f(x)= f(a)+(x-a)f'(a)+o(x-a).

Cordialement.

[God's Breath]

Et sinon je vois pas pourquoi c'est un argument qu'on ne peut alors pas faire de demonstration

Lorsqu'on a prouvé que l'égalité :

est vraie pour tout nombre réel , cela signifie que l'on peut, SANS DÉMONSTRATION, remplacer par ce toute expression dont la valeur est réelle, par exemple par , par ou par .

Lorsque l'on a prouvé que l'égalité:

est vraie pour tout nombre réel , cela signifie que l'on peut, SANS DÉMONSTRATION, remplacer par ce toute expression dont la valeur est réelle, par exemple par , par ou par .

Il n'y a aucune différence entre les deux situations, « identité remarquable » et « développement limité ».

[sleinininono]

Les DL se trouvent de tas de façons pas nécessairement en dérivant. par exemple celui de 1/(1-x) se trouve avec les sommes de termes d'une suite géométrique !! Et n'importe comment, quelle que soit la façon d'obtenir une formule exacte, elle est vraie, dérivée ou pas.

oh merci je ne savais pas ça.

Par contre oui quand je parle de dérivée je dis à un ordre suffisamment élevé ÉVIDEMMENT. Un DL d'ordre 0 implique la continuité, DL ordre 1 la dérivé première, etc... mais on est d'accord d'après la ligne que vous avez écrit en dessous.


merci God's Breath l'explication est claire. Dans ce cas, le fait de choisir de développer une expression composée ( f o g ) de l'intérieur vers l'extérieur n'est qu'une convention? on pourrait décomposer de l'extérieur vers l'intérieur ? dans votre exemple,

(x+1)^2 = ...

on écrit le DL, on remplace x par exp(sin(x)), et on refait un DL?

merci pour vos réponses,

sleinininono

[God's Breath]

Premier point : développement limité et dérivabilité.

L'existence d'un développement limité à l'ordre 0 au voisinage du point a est équivalent à la continuité de la fonction en a.
L'existence d'un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point a est équivalent à la dérivabilité de la fonction en a.

Mais c'est tout : l'existence d'un développement limité à l'ordre 2 au voisinage du point a n'apporte aucun renseignement supplémentaire quant à la dérivabilité.
Il y a deux obstructions possibles à l'existence d'une dérivée seconde au point a malgré l'existence du développement limité à l'ordre 2:

1. La fonction peut n'être dérivable qu'au point a ; c'est par exemple pour la fonction définie sur par : où désigne la fonction indicatrice des rationnels (qui vaut 1 sur les rationnels, 0 sur les irrationnels).

La fonction n'est continue qu'en 0 : la dérivée est définie au plus en 0, et il n'y a pas à envisager de dérivée seconde. Pourtant, pour non nul :

donc admet un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 : .
Au passage, ce développement limité prouve que est dérivable en 0 avec : .

2. La dérivée peut être discontinue, donc non dérivable au point a ; c'est par exemple pour la fonction définie sur par :

pour non nul et : .

Sur , il n'y a aucun problème, est de classe , et la dérivée est donnée par :



D'autre part pour non nul :

donc admet un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 : .
Au passage, ce développement limité prouve que est dérivable en 0 avec : .

Mais, si je considère la suite de terme général (pour non nul) : , je trouve que :



ce qui prouve que est discontinue en 0, donc qu'il n'y a pas de dérivée seconde en 0.

Second point : Ordre des calculs.

Comme on ne manipule que des égalités, on se contente de transformer un objet mathématique en lui même, mais en lui donnant une apparence différente : on peut donc faire les calculs dans n'importe quel ordre ; ce qui importe, c'est que l'apparence que l'on donne à l'objet étudié permette d'en discerner les propriétés intéressantes.
Toutefois, il y a généralement une façon de procéder plus pratique que les autres, et qui a de ce fait la préférence.

On sait par exemple que :



On peut donc évaluer le premier développement limité pour et remplacer par son développement limité, puisque c'en est une valeur exacte :



Mais on aurait aussi bien pu commencer par remplacer par son développement limité dans et commencer en écrivant :



et il resterait à continuer le développement en substituant à dans le développement de .

Le résultat final sera le même (sauf erreurs de calcul…), mais il me semble que la première méthode est plus pratique.

[sleinininono]

merci beaucoup pour ce super message très complet et très convaincant.




Donc pour remettre les choses au clair dans ma tête:

1.
j'avais l'impression que f analytique sur I => f Cinfinie sur I
c'est donc faux avec l'exemple de (j'avais dans le cours x^2 sin(1/x^2) je crois ) ?
2.
l'implication inverse est aussi fausse en prenant l'exemple de exp(-1/x^2) qui est non analytique mais Cinf
3.
c'est pas parce que l’approximation d'ordre n existe que la fonction est dérivable n fois.



ce serait possible de rajouter des conditions pour avoir les implications? qu'est ce qu'il manque?
j'ai un théorème qui dit que si f est dérivable n + 1 fois et avec une dérivée n+1 ième bornée alors elle admet un DL d'ordre n. Cette condition serait suffisante?





d'accord pour l'ordre des calculs ! merci. Quand j'avais commencé les DL je croyais que l'autre sens ne marchait pas (je devais me tromper dans les calculs).


merci encore pour ces détails

[ansset]

j'ai un théorème qui dit que si f est dérivable n + 1 fois et avec une dérivée n+1 ième bornée alors elle admet un DL d'ordre n. Cette condition serait suffisante?

pourquoi n+1 ( par rapport à un DL d'ordre n ) et pourquoi "bornée". Si une dérivée n'est pas bornée en un point , elle n'est pas considérée comme dérivable en ce point.
rac(x) n'est pas dérivable en 0 par exemple.

[sleinininono]

eu... je sais pas c'est le théorème qui est comme ça et à ce moment la preuve est plutôt simple avec la formule de Taylor Young...

[God's Breath]

j'avais l'impression que f analytique sur I => f Cinfinie sur I

Ton impression était bonne : une fonction analytique est de classe , mais le fait d'être analytique n'a rien à voir avec les développements limités, c'est un problème de série entière.

l'implication inverse est aussi fausse en prenant l'exemple de exp(-1/x^2) qui est non analytique mais Cinf

C'est cela, il n'y a pas de réciproque.

Le truc qu'il faut comprendre, c'est qu'on augmente pas nécessairement la précision d'un développement limité en augmentant le nombre de termes. L'exemple de met bien en évidence ce phénomène, puisque le développement est le même à tous les ordres : il est nul.

c'est pas parce que l’approximation d'ordre n existe que la fonction est dérivable n fois.

Tout à fait. L'approximation d'ordre n donne une idée sur la forme générale de la courbe, du genre «les variations sont de faible amplitude» alors que la dérivabilité à l'ordre n donne une idée sur la régularité des variations : on peut très bien avoir un phénomène archi-irrégulier (du type brownien), mais d'amplitude excessivement faible, donc avec un développement à un ordre important, c'est ce qui se passe avec .

ce serait possible de rajouter des conditions pour avoir les implications? qu'est ce qu'il manque?
j'ai un théorème qui dit que si f est dérivable n + 1 fois et avec une dérivée n+1 ième bornée alors elle admet un DL d'ordre n. Cette condition serait suffisante?

Il y a des conditions suffisantes à l'existence des développements limités, mais on s'y intéresse peu dans la pratique : l'important n'est pas de savoir que le développement existe, mais de le calculer effectivement ; et une fois qu'on l'a calculé, on a prouvé son existence !! Il est donc inutile de savoir à l'avance qu'il existe ; il serait plus utile de savoir qu'il n'existe pas afin de ne pas se lancer dans un calcul qui n'aboutira pas !!!

[sleinininono]

merci pour l'aide apportée. Je vois bien mieux de quoi il s'agit

une dernière question pour que ce soit totalement au propre dans ma tête :

comment tu deriverais ça ? et pourquoi il y aurait pas de dérivé seconde en 0?

[God's Breath]

Soient :

• un nombre réel ;
• une suite de rationnels, convergente de limite (une telle suite existe…) ;
• une suite d'irrationnels, convergente de limite (une telle suite existe…);

alors, pour tout entier naturel : et .

Si est continue en :



On prouve ainsi que est discontinue en tout non nul.

Comme la fonction indicatrice de ne prend que les valeurs 0 et 1, on a, pour tout nombre réel non nul :



et cette majoration prouve que :



c'est-à-dire que est dérivable, et par suite continue, en 0 avec : .