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Pertumation sigma et lim ?

  1. jackgre

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Messages
    153

    Re : Pertumation sigma et lim ?

    je crois avoir trouve a vrai dire


    Comme la somme est finie , on peut permettuter limite et somme
    donc
    ainsi par definition de p

    Ainsi par definition de la limite il existe N tel que pour tout n superieur ou egale a N:



    or les a_{n,k} et r sont positifs, donc en sommant les termes manquants, pour n plus grand que N


    impossible par hypothèse

    qu'en pensez vous ?
    je pense proceder de la meme maniere pour montrer que

    -----

    Dernière modification par jackgre ; 10/01/2018 à 17h38.
     


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  2. jackgre

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Messages
    153

    Re : Pertumation sigma et lim ?

    je veux dire bien sur
     

  3. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 507

    Re : Pertumation sigma et lim ?

    Citation Envoyé par jackgre Voir le message
    Comme la somme est finie , on peut permettuter limite et somme
    donc
    Cet argument, c'est celui auquel je pensais dans ma réponse #13 en parlant de la continuité de la fonction qui donne la somme partielle en fonction des p+1 coefficients

    Citation Envoyé par jackgre Voir le message

    Ainsi par definition de la limite il existe N tel que pour tout n superieur ou egale a N:

    Hélas non, à cause de l'inégalité large dans la valeur de la limite !
    Il se peut que : avec .

    Comme je te l'ai dit, si tu veux raisonner par contraposition ou par l'absurde, il faut définir le rang p de troncature de la série par : , en introduisant, grâce au « +1 », une marge de manœuvre qui contraint l'existence d'une somme partielle telles que , d'où a fortiori : .

    Tu peux aussi raisonner directement :

    Comme tous les termes sont positifs, pour tout , pour tout :

    .

    Comme la somme est finie, on permute somme et limite :

    .

    La série a :
    1. le terme général positif ;
    2. les sommes partielles majorées, par ;
    donc cette série converge et sa somme satisfait également :.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  4. jackgre

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Messages
    153

    Re : Pertumation sigma et lim ?

    ah oui j'avais d'ailleur mis des inegalité strictes pour contrer le passage a la limite,
    la preuve directe est en effet plus elegante
    Merci
     

  5. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 507

    Re : Pertumation sigma et lim ?

    La preuve directe est généralement la plus élégante.

    Ce qu'il faut retenir de la démarche par contraposition ou par l'absurde, c'est le principe de se prémunir d'un mauvais coup en prenant une marge de manœuvre.
    Le truc de mettre une inégalité stricte peut fonctionner, mais il y a pas mal de cas où on ne pourra pas maintenir l'inégalité stricte :
    soit que l'ait un passage à la limite : an<bn ne permet pas de déduire lim an < lim bn ;
    soit que l'on multiplie par un facteur qui peut s'annuler : de a<b ne permet pas de déduire a|x|<b|x| pour tout x ;
    soit…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     


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