application linéaire : projection sur une droite passant par l'origine

[Oxbow-]

Bonjour !
(je suis un simple étudiant en chimie mais j'ai une bonne partie d'algèbre linéaire)
Question peut-être bête :
Si je veux faire une matrice d'application linéaire (ou transformation dans le plan) d'un point sur une droite passant par l'origine et faisant un angle a avec l'axe des x positif, j'ai :


cos^2(a) sin(a)*cos(a)
sin(a)*cos(a) sin^2(a)


Cependant j'ai constaté qu'elle est valable uniquement de 0 à pi

PREMIERE QUESTION
Quelle est la matrice valable de pi à 2pi (ou quadrants III et IV)? Car je n'arrive pas à la trouver, ou alors je me trompe et la matrice de transformation ci-dessus est valable pour tout angle (0 à 2pi) ?

DEUXIEME QUESTION

Ci-dessus je suis dans le plan. Comme j'ai un examen bientôt j'ai peur que mon prof me demande cette "sorte" de matrice dans l'espace. Existe-il une matrice comme celle-ci mais dans l'espace ? Si j'ai une droite dans le plan je m'en sors avec de la trigo et l'angle entre l'axe des x et la droite, mais dans l'espace...... imaginez si ma droite passe entre les trois axes x y z, ça devient vite plus complexe pour poser de la trigo.....ou faisable ?

Merci infiniment !
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[Resartus]

Bonjour,
1) La droite est la même si vous rajoutez pi à son angle, et donc la projection aussi. Sur votre formule, on peut constater que les sin(a+pi) et cos(a+pi) auront le signe opposé, et donc les carrés et les produits croisés restent inchangés.

2) Il est plus simple d'utiliser des formules vectorielles que trigonométriques pour la projection, mais cela dépasse peut-être vos connaissances actuelles. Je ne peux que vous encourager à trouver des cours de niveau map sup sur ce sujet.

Le principe est que, connaissant un vecteur unitaire directeur de la droite de projection (a, b, c) tq a²+b²+c²=1 , le plan passant par 0 et perpendiculaire à cette droite a pour équation ax+by+cz=0 , et la distance d'un point quelconque x0,y0,y0 à ce plan vaut ax0+by0+cz0
Ensuite, il suffit de reporter cette longueur le long de la droite. Donc le point projection a pour coordonnées (ax0+by0+cz0)*(a, b, c) et la matrice de transformation est simplement
( a², ab, ac)
(ab, b2, bc)
(ac, bc, c²)

A noter que vous pouvez aussi utiliser cette méthode dans le plan : sachant que le vecteur directeur unitaire de la droite d'angle a vaut (cos(a), sin(a)), on retrouve bien votre formule