Théorème de Lindemann

[jossrandal2002]

Bonjour,

Dans le fichier joint, je ne comprends pas la conclusion (les trois dernières lignes ) : « Or V(X) appartient à Q(X) donc les pôles non nuls ... »

Qui peut expliquer ?
Remerciements anticipés.

Joss
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[raymolk]

Comme V(X) est une fonction rationnelle, elle se décompose en éléments simples dans les complexes sous la forme , où P est un polynôme et .
Par linéarité de l'équation différentielle du pdf, lorsque tu injectes cette décomposition dedans, il te suffit de calculer ce que cela donne pour un des V_i (le polynôme redonne quant à lui un polynôme).
Or on obtient
Le numérateur et le dénominateur étant premiers entre eux (vérifier que le numérateur ne s’annule jamais en b_i), on voit donc qu'on a au minimum un pôle d'ordre 2 pour .

[jossrandal2002]

Merci beaucoup pour cette explication.
Très cordialement.

[jossrandal2002]

Après (surement mauvaise) réflexion il y a un point qui me pose encore problème :
Pourquoi le numérateur ne s'annule pas en ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[raymolk]

Parce que .

[jossrandal2002]

Merci encore pour ces explications qui m'ont débloqué.
Cependant, je crois que ceci n'est pas tout à fait exact car est un nombre complexe donc la relation d'ordre ne convient pas.

En fait, on obtient .

Le numérateur prend la valeur en donc n'est pas nul sauf si car est un entier supérieur ou égal à 1.
Tout ça, sauf erreur de ma part.
Cordialement.

[raymolk]

Il n'y a aucune erreur de ta part, mais bien deux de la mienne, comme tu l'as très justement vu :
- une erreur de calcul en #2 ;
- un argument complètement à côté de la plaque en #5, alors que j'ai dit en #2 qu'on était dans les complexes !
Désolé pour ces erreurs