Dimension sur ... et notation

[Romain-des-Bois]

Bonjour (ou plutôt bonsoir !)

toujours dans ma quête de comprendre le théorème de Wantzel, j'ai été confronté à un petit problème :

Si E est un K-ev et si L est inclus dans E, on peut considérér la dimension de E sur K, la dimension de L sur K, et la dimension de L sur E.

Je le comprends comme ça : la dimension de E sur K, c'est le nombre de vecteurs d'une base de E, ces vecteurs étant dans K. A ce moment là, la dimension de L sur E, c'est le nombre de vecteurs d'une base de L, ces vecteurs étant dans E.

Ai-je bien compris ?

Est-ce que c'est ceci qu'on note : [L:E] ? (dimension de L sur E)


merci beaucoup !


Romain
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[indian58]

Attention. Kest un corps inclus dans L qui est inclus dans E. A part ça, [L:K] désigne bien la dimension de L en tant que K-espace vectoriel.

[GuYem]

Ouille.

Si E est un K-ev et L une partie de E, alors la "dimension de L sur E" ça ne veut pas dire grand chose.

Il me semble qu'il doit y avoir des extensions de corps dans ce que tu regardes, L doit par exemple être un souscorps de K auquel cas on peut considérer :
-la dimension de E sur K
-la dimension de E sur L
-la dimension de K sur L

Edit : croisement avec Indian, attention ce fil peut faire mal à la tête, il serait souhaitable qur Romain re précise ce que sont E, K et L !

[martini_bird]

Salut,

en fait dès l'instant que tu as une extension de corps , tu peux voir L comme un K-espace vectoriel et le degré de l'extension est par définition la dimension de L en tant que K-espace vectoriel. On note ce degré (lorsqu'il est fini) .

Cordialement.

EDIT : carambolage ! Y a pas beaucoup de fils en ce moment alors quand y en a un tout le monde se jète dessus !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

merci pour vos réponses, même si j'ai pas tout compris

je sais pas ce que sont les extensions de corps, et dans mon papier, on n'en parle pas.

J'ai IK un corps.

K, L et E trois sous-corps inclus l'un dans l'autre (avec K le plus petit).

Là, on considère la dimension de E sur K, la dimension de E sur L et la dimension de L sur K (pour la première : [E:K]).

Alors... ?

merci

Romain

[Edit]Désolé, j'avais mélangé avec autre chose... d'où la grosse confusion...[/Edit]

[GuYem]

Ah là c'est plus clair.

Eh bien relis le message #4 de Martini, tout y est :
Si tu as deux corps l'un dans l'autre, tu peux considérer le plus gros comme un espace vectoriel sur le plus petit. Si cet EV est de dimension finie, c'est ce qu'on appelle le degré de l'extension.
Dans ton cas : K C L C E tu peux considérer :
-la dimension de E sur K
-la dimension de E sur L
-la dimension de L sur K

Et il y a même une formule magique entre ces dimensions: [E:K] = [E:L].[L:K]

[Romain-des-Bois]

merci GuYeM

d'accord, mais en terme de nombre de vecteurs de base... ???

La dimension de E, c'est le nombre de vecteurs d'une base de E.

La dimension de E sur K ([E:K]), c'est quoi en terme de nombre de vecteurs ?

merci encore une fois

Romain

[martini_bird]

Salut,

je crois que ça ira mieux sur des exemple : si est une racine n-ième de l'unité (n premier), car une base est par exemple : tout nombre de s'écrit de manière unique comme une somme .

De même est une extension de de degré 2 et est une extension de de degré infini.

Cordialement.

[Romain-des-Bois]

Je crois que ça m'embrouille plus que ça m'aide... désolé Martini...


Je vais essayer de mettre de l'ordre dans mes pensées (embrouillées)

E est un Kev signifie qu'on a : (E,+) un groupe abélien
et une loi externe qui va de KxE dans E et qui à (l,x) associe l.x

Si on a K inclus dans L,
je ne vois pas pourquoi la dimension de E en tant que Kev est différente de la dimension de E en tant que Lev. Parce que si on a une base de E dans K, elle est aussi dans L !


merci

Romain, embrouillé

[martini_bird]

Un truc tout simple : est de dimension 1 en tant que -ev mais est de dimension 2 en tant que -ev.

En d'autres termes, la dimension dépend du corps de base.

[Romain-des-Bois]

Mais oui ! Bien sûr Martini ! Merci...

J'essaye de montrer la formule magique de GuYem :

On va dire que K est inclus dans L inclus dans E,
et E est de DF sur K.
On peut donc trouver une famille génératrice (avec un nombre fini de vecteurs) de E en tant que K-ev.

Comme K est dans L, cette famille continue à être génératrice de E (on pourrait prendre IR et C).

Donc E est de DF en tant que L-ev (et sa dim est au plus le nombre de vecteurs cité plus haut).



Si on voit L en tant que K-ev, on va nommer la base (l_i) avec n vecteurs, et si on voit E en tant que L-ev, on prend la base (e_j) avec p vecteurs.

On doit montrer que (l_i . e_j) avec les bonnes conditions sur les bons indices, est base de E en tant que K-ev.

Je vois pas comment faire...

Romain (qui commence à s'inquiéter sérieusement là)

[martini_bird]

E est de DF sur K

Euh c'est quoi de DF ?


Sinon pour la démo, c'est assez simple en faisant l'inverse : pars d'une base de E en tant que L-ev, écris les vecteurs de cette base sur une base de K, compte, c'est fini.

Cordialement.

[Romain-des-Bois]

Euh c'est quoi de DF ?


Sinon pour la démo, c'est assez simple en faisant l'inverse : pars d'une base de E en tant que L-ev, écris les vecteurs de cette base sur une base de K, compte, c'est fini.

Cordialement.

Je vais essayer de faire comme tu dis. Merci pour ton aide.

De DF, c'est simplement de Dimension Finie


Romain

[Romain-des-Bois]

C'est encore moi,

je viens de faire comme tu m'as dit, c'est effectivement très simple

Maintenant, ça devrait être bon en ce qui concerne la théorie des corps (j'ai encore une preuve à rédiger mais ça devrait aller - sinon, je reviens vous voir )

Je me pose quand même quelques questions là.

C'est vrai que ça fait un petit moment que je n'avais pas revu tout ce qui est corps, ev, etc mais je me suis trouvé fort dépourvu (comme la cigale) devant mon bouquin de théorie des corps, et vous avez pu voir que j'étais pas mal dans le flou.
Est-ce que c'est normal docteur ?

En sup, j'avais l'impression de commencer à maitriser les notions d'algèbre, mais finalement c'était bien différent de ce que je fais là (j'ai lu quelque part que c'était niveau CAPES). Alors, est-ce que c'est normal, c'est quelque chose de nouveau pour moi, et il faut le temps de digérer (sur-corps, dimension sur ... , ou bien je n'ai pas bien digéré le cours de sup ?



merci encore

Romain

[martini_bird]

Est-ce que c'est normal docteur ?

Mais oui ne t'inquiète pas !

En sup, c'est essentiellement de l'algèbre linéaire. Tu vas voir un peu plus d'algèbre commutative en spé.

Cordialement.

[Romain-des-Bois]

Ca va alors, je m'inquiète pas !

Et vivement septembre


Il y a un autre théorème que je dois montrer sur les dimensions. A l'intérieur de la preuve, il y a une démo que je ne comprends pas. Maintenant, je suis plus à l'aise, ça devrait aller !

On considère K un sous corps de IK, et a un élément qui n'est pas dans K (mais qui est dans IK).

Ensuite on considère K(a), et L qui est le K-ev engendré par 1, a et a².

Mon objectif est de montrer K(a) = L (en fait, je sais dimL = 3 et j'aimerais avoir dim K(a) = 3)

Il est évident que L est inclus dans K(a). C'est l'inclusion contraire qu'il me faut montrer.
Et là, c'est très bizarre : dans sa preuve, le gars dit qu'il suffit de voir que K(a) est stable par produit et différence, puis que L est stable par inverse (?)

Alors, j'ai bien compris la preuve que L est stable par inverse (je l'ai faite hier soir), mais pourquoi cela suffit-il ?

merci

(au fait, quand on considère un sous-corps, c'est stable par les deux lois non ?)


Romain

[invite986312212]

si je puis me permettre une suggestion: tu devrais peut-être essayer d'apprendre des choses sur les polynômes, c'est très lié aux extensions de corps. A propos, un exercice simple mais sur lequel je me souviens d'avoir peiné (en spé ou en licence?): montrer de façon élémentaire que l'ensemble des nombres algébriques sur Q est un corps; En d'autres termes, montrer que si x et y sont racines (non nulles) de polynômes à coefficients rationnels, il en est de même de x-y et x/y.

[Romain-des-Bois]

Salut,

justement, l'exercice que tu me proposes intervient dans mon travail


Sinon, ben oui, il y a pas mal de polynômes dans mon papier (notamment pour prouver que d°L = 3), mais je pense qu'il n'y a pas besoin de les faire intervenir pour la preuve qui m'intéresse.


merci quand même

Romain

[invite6b1e2c2e]

On considère K un sous corps de IK, et a un élément qui n'est pas dans K (mais qui est dans IK).

Ensuite on considère K(a), et L qui est le K-ev engendré par 1, a et a².

Mon objectif est de montrer K(a) = L (en fait, je sais dimL = 3 et j'aimerais avoir dim K(a) = 3)

Il est évident que L est inclus dans K(a). C'est l'inclusion contraire qu'il me faut montrer.
Alors, j'ai bien compris la preuve que L est stable par inverse (je l'ai faite hier soir), mais pourquoi cela suffit-il ?

Salut !
J'ai l'impression que tu ne nous dis pas tout Il doit manquer quelque part quelque chose comme IK est de dimension 3 sur K, ou alors, que a annule un polynôme de degré 3... Sinon, je ne vois aucune raison pour que ça marche.

J'en profite pour signaler un exercice parmi tant d'autres, facile pour ceux qui connaissent déjà bien ces notions, mais fondamental.
Soit K inclus dans L une extension de corps, a un élément de L.
Soit le morphisme
, qui à tout polynôme P de K[X] associe P(a).
1 / Montrer que c'est un morphisme. (Ca, ça devrait pas poser de problème)
2 / Montrer que le noyau de est un idéal, engendré par le polynôme minimal de a sur K. Si ce polynôme minimal est nul, on dit que a est transcendant sur K. Sinon, on dit que a est algébrique sur K.
3/ Montrer que le degré du polynôme minimal de a est égal à la dimension de K[a] sur K. (Notamment, vérifier que K[a] est bien un K ev).
3 / En déduire que, si a est transcendant sur K, alors il y a un isomorphisme d'anneau entre K[X] et K[a] et un isomorphisme de corps entre K(X) et K(a).
4 / Si a est algébrique, montrer que K[a] est isomorphe à IK = K[X]/I, où I est l'idéal engendré par le polynôme minimal de a. Montrer que l'on a aussi IK = K(a). En déduire que IK est un corps, et déterminer le degré de l'extension de IK sur K.

PS : Tu remarqueras que j'ai bien fait attention de préciser au maximum les objets sur lesquels on travaille. J'espère que cet exercice t'aidera. Il est à la base de tout ce que tu fais, et je pense (les autres me diront s'ils sont d'accord avec moi) qu'il est vraiment nécessaire d'avoir les idées claires sur cet exo.

__
rvz

[Romain-des-Bois]

Salut !
J'ai l'impression que tu ne nous dis pas tout Il doit manquer quelque part quelque chose comme IK est de dimension 3 sur K, ou alors, que a annule un polynôme de degré 3... Sinon, je ne vois aucune raison pour que ça marche.

Salut,

je vais tout vous dire alors !

Ce que je veux montrer c'est :
K est un sous corps de IK, a et dans IK mais pas dans K.
a est racine d'un polynôme àà coeffs dans K de degré 3,
et P ne possède aucune racine dans K.

Alors [K(a):K] = d°P

La ruse est qu'on fait intervenir L qui est le sous K-ev de IK engendré par 1, a et a².

En premier lieu, on montre que [L:K] = 3 (en faisant intervenir le polynôme P) (par l'absurde).

Ensuite, je sais que L est inclus dans K(a). Il me suffit de montrer l'inclusion contraire.

effectivement, j'avais pas tout dit ... je suis désolé (je pensais que ça suffirait parce que la preuve que j'ai est bizarrement foutue).



Ensuite rvz, c'est gentil de me proposer cet exo (et je le ferai ne t'inquiète pas), mais tout ceci, je ne l'ai pas vu encore... (enfin mph tout ça si, mais les idéaux à peine, et les extensions de corps ... en sup, j'ai surtout fait de l'algèbre linéaire... et rien sur les corps (ou pas grand chose)).

Là, j'essaie de m'avancer en faisant mon TIPE pendant les vacances et je dois prendre de l'avance sur le programme de spé j'ai l'impression... Même si je ne maitrise pas les corps etc pendant les vacances, ce n'est pas grave... je sais très bien qu'essayer de prendre de l'avance sur le programme ne me servira à rien... par contre, si je maitrise mon TIPE, ce sera bien !


Romain

[invite986312212]

apparemment tu sais déjà que les dimensions de L et K(a) comme K-ev coïncident, et que L est inclus dans K(a). La conclusion devrait s'ensuivre sans trop de problème, non?

[martini_bird]

Salut,

J'espère que cet exercice t'aidera. Il est à la base de tout ce que tu fais, et je pense (les autres me diront s'ils sont d'accord avec moi) qu'il est vraiment nécessaire d'avoir les idées claires sur cet exo.

Je suis d'accord : en fait ce qu'il manque à Romain29 cette année c'est les quotients de par un idéal.

C'est l'inclusion contraire qu'il me faut montrer.

Comme le dit rvz, si tu n'as pas d'infos supplémentaires, tu ne peux pas conclure : par exemple avec et , . Tu dois donc avoir une relation du type avec .

Cordialement.

EDIT : croisements...

[Romain-des-Bois]

Euh ambrosio, en fait j'essaie de montrer le théorème d'en haut... donc je ne sais pas que les dimensions coïncident.

Ce que je sais c'est dim L = 3 et ce qui m'intéresse c'est d'avoir K(a) = L comme ça j'aurai dim K(a) = 3 !


Romain

[martini_bird]

apparemment tu sais déjà que les dimensions de L et K(a) comme K-ev coïncident, et que L est inclus dans K(a). La conclusion devrait s'ensuivre sans trop de problème, non?

En effet, un argument de dimension me semble le plus simple : si deux ev E et F sont tels que et dim E=dim F, alors E=F...

Je ne vois pas pourquoi on devrait montrer que « K(a) est stable par produit et différence, puis que L est stable par inverse ».

Cordialement.

[martini_bird]

Euh ambrosio, en fait j'essaie de montrer le théorème d'en haut... donc je ne sais pas que les dimensions coïncident.

Ce que je sais c'est dim L = 3 et ce qui m'intéresse c'est d'avoir K(a) = L comme ça j'aurai dim K(a) = 3 !


Romain

EDIT : ânerie : je corrige !

[Romain-des-Bois]

Je suis pas sur que vous ayez bien compris :

je veux arriver à [K(a):K] = 3

J'ai trouvé que [L:K] = 3

et là, je veux montrer que K(a)=L (comme ça j'aurai ce que je veux montrer).

Si pour montrer K(a)=L j'utilise que dim K(a) = 3, j'utilise ce que je veux montrer !


Romain

[Romain-des-Bois]

EDIT : Martini s'est trompé



Romain

[invite986312212]

je suppose que K(a) est défini comme le plus petit sous-corps de IK contenant K et a. Le plus simple est de montrer que c'est l'ensemble des polynômes en a à coefficients dans K. A priori un anneau mais en fait un corps du fait que a est racine d'un polynôme de K[X].

[invite6b1e2c2e]

Je te suggère de d'abord montrer que K[a] = L, en utilisant que a annule un polynôme de degré 3. Hint : Montre que a^3 est dans L. Puis a^4, puis récurrence... Ensuite, il te suffira de montrer que l'inverse de a est aussi dans L, et pour ça, tu te serviras du fait que a possède un polynôme minimal. (cf comment expliciter, pour une matrice A, son inverse en tant que polynôme en A, en utilisant le polynome caractéristique....)

Enfin, je maintiens que l'exercice que je t'ai proposé est fondamental, et si tu veux comprendre les choses en profondeur, il est nécessaire de savoir le faire en détail et de bien en comprendre toutes les étapes. Pour le faire, il faut maîtriser au moins la division euclidienne dans K[X], et savoir comment on détermine les idéaux de Z, ce qui est un exercice pas très difficile, que tu as certainement fait si tu as vu la définition des idéaux, non ?

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rvz

[edit : Croisement avec Ambrosio ]

[Romain-des-Bois]

je suppose que K(a) est défini comme le plus petit sous-corps de IK contenant K et a. Le plus simple est de montrer que c'est l'ensemble des polynômes en a à coefficients dans K. A priori un anneau mais en fait un corps du fait que a est racine d'un polynôme de K[X].

Je vois pas trop où tu veux en venir...


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ce serait cool que tout le monde prenne le temps d'expliquer un peu plus ce qu'il propose parce que là je suis plutôt embrouillé.

Soit vous voulez continuer ma preuve (dites le) soit vous en proposez une autre (dites le aussi) !
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Mes hypothèses sont
K est un sous corps de IK,

a et dans IK mais pas dans K.
a est racine d'un polynôme à coeffs dans K de degré 3,
et P ne possède aucune racine dans K.

[L:K] = 3
L inclus dans K



Mon objectif est L=K(a)


Romain (qui vous remercie)