Comment définir une fonction dans un espace courbe ?

[ericcc]

J'ai l'impression que tu te poses la question de la représentation de ta fonction (son graphe), et non de sa définition :

Par exemple en dimension 1 tu prends la fonction constante y=a; son graphe est une droite parallèle à l'axe des x. Avec ta "déformation", si tu appliques ta fonction non pas à une droite, mais à un cercle de rayon R, tu trouves un autre cercle de rayon R+a. EN dimension 2, tu passe d'un plan à une sphère.

Est ce bien le cas ?

[Hash]

J'ai l'impression que tu te poses la question de la représentation de ta fonction (son graphe), et non de sa définition :

Par exemple en dimension 1 tu prends la fonction constante y=a; son graphe est une droite parallèle à l'axe des x. Avec ta "déformation", si tu appliques ta fonction non pas à une droite, mais à un cercle de rayon R, tu trouves un autre cercle de rayon R+a. EN dimension 2, tu passe d'un plan à une sphère.

Est ce bien le cas ?

Oui, en effet. Mais comment faire pour une fonction quelconque et une "déformation" quelconque ?

[ericcc]

Voici ce que je propose, en simplifiant le problème.

Supposons que l'on ait une paramétrisation de la surface que l'on appelle S(u,v) :
x=S_x(u,v)
y=S_y(u,v)
z=S_z(u,v)

Autrement dit tout point de la surface est décrit de façon unique par cette paramétrisation. Je suppose également que cette surface n'est pas trop pathologique, les spécialistes mettront les bons termes là dessous.
Alors si ta fonction initiale est z=f(x,y), tu dois prendre pour z la normale à ta surface à l'origine (tu dois définir l'origine of course), x et y te sont donnés par ta paramétrisation S(u,v).

Par exmple si je reprends l'exemple de la sphère, décrite par r = R, et de la fonction z = a, il vient r = R+a.
Pour la gaussienne, tu fixes un point origine et le résultat viendra.

[ericcc]

Voici un lien utile, il me semble :
http://wims.unice.fr/wims/
chercher "surface paramétrée"

[invite986312212]

c'est ce genre de chose que tu veux voir? attention, la suggestion de ericcc suppose qu'il y a une paramétrisation naturelle de ta surface, autrement, le résultat doit dépendre de la paramétrisation choisie.

[Hash]

Voici ce que je propose, en simplifiant le problème.

Supposons que l'on ait une paramétrisation de la surface que l'on appelle S(u,v) :
x=S_x(u,v)
y=S_y(u,v)
z=S_z(u,v)

Autrement dit tout point de la surface est décrit de façon unique par cette paramétrisation. Je suppose également que cette surface n'est pas trop pathologique, les spécialistes mettront les bons termes là dessous.
Alors si ta fonction initiale est z=f(x,y), tu dois prendre pour z la normale à ta surface à l'origine (tu dois définir l'origine of course), x et y te sont donnés par ta paramétrisation S(u,v).

Par exmple si je reprends l'exemple de la sphère, décrite par r = R, et de la fonction z = a, il vient r = R+a.
Pour la gaussienne, tu fixes un point origine et le résultat viendra.

Bien sûr, et comme je l'ai dis, ma paramétrisation est la suivante :
x=u
y=v

dans le cas le plus simple.

Si on suppose que l'origine est située au sommet de la paraboloide, alors ma fonction gaussienne serait, comme tu le propose, du type :

Or ce n'est ce que je veux, car cette fonction est en réalité une "projection" d'une gaussienne provenant d'un plan sur la surface parabolide... Moi je voudrais que la decroissance de la gaussienne soit liée complétement à la distance parcourue sur la surface... Mais visiblement, comme ma ce ne sont pas des bijections, ce n'est pas possible...

[ericcc]

Moi je voudrais que la decroissance de la gaussienne soit liée complétement à la distance parcourue sur la surface... Mais visiblement, comme ma ce ne sont pas des bijections, ce n'est pas possible...

J'ai bien peur que tu ne doives te contenter d'une approximation !

[Hash]

J'ai bien peur que tu ne doives te contenter d'une approximation !

en effet, il semblerait...