Egalité de sous groupes engendrés par un élement

[m900]

J'ai trouvé dans une correction d'un exercice: "Si gr(x)=gr(y) alors il existe k€{1,2,..,o(y)-1} tel que x=y^k", mais je n'ai pas compris pourquoi. Est ce que quelqu'un pourra m'aider svp?
Merci
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[m900]

Est-ce que ce n'est pas plutot x=y, sinon si x est une puissance de y comment aura-t-on égalité des groupes, comment aura-t-on les mêmes éléments?

[GBZM]

Bonsoir,

Si les deux groupes sont égaux, alors y appartient au groupe engendré par x. Quels sont les éléments du groupe engendré par x ?

[m900]

Les élements de gr(x) sont x, x2, x3, ..., x(o(x)-1) ça je le sais. Donc Si Y€gr(x) il existe k entre 1 o(y) tq x^k=y. Mais il me parait que k=1 convient et les autres k non car on aura des éléments sautés. Pour k=2 par exemple gr(y)={1, x2, x4,...x2(o(y)-1)} càd gr(y) ne content pas x3 donc gr(x) est different de gr(y) donc forcément x et y sont égaux?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

"gr(y) ne content pas x3" Tu n'en sais rien !!
Plutôt que du baratin général, prends un exemple, tu comprendras mieux ce qui se passe. Prends par exemple le groupe G = {1,2,3,4,5,6} avec la multiplication habituelle mais réduite modulo 7 (par exemple 3*4 = 5 car 12-7=5) et examine les sous groupes engendrés par 2 et par 4.

Cordialement.

[MissJenny]

J'ai trouvé dans une correction d'un exercice: "Si gr(x)=gr(y) alors il existe k€{1,2,..,o(y)-1} tel que x=y^k", mais je n'ai pas compris pourquoi. Est ce que quelqu'un pourra m'aider svp?

je suppose que o(y) est l'ordre de gr(y) (?) On le suppose donc fini mais on peut très bien avoir un élément x qui engendre un groupe gr(x) infini, donc cet énoncé est un peu bancal.

[GBZM]

Déjà, m900, tu te trompes dans ta liste des éléments du groupe engendré par x ; tu n'en donnes que o(x)-1, tu oublies l'élément neutre.

Ensuite, tu as bien la démonstration de l'affirmation de la preuve : "Si gr(x)=gr(y) alors il existe k€{1,2,..,o(y)-1} tel que x=y^k". Pourquoi dis-tu que tu ne la comprends pas ?
Je suppose que dans ton énoncé, on précise que x est d'ordre fini et n'est pas l'élément neutre ?

Enfin, tu te poses des questions sur les éléments d'un groupe cyclique fini (comme le groupe engendré par x) qui peuvent engendrer ce groupe. Ce n'est pas le problème posé par l'assertion de ton corrigé. Tu as l'air de penser que seul x peut engendrer ce groupe. C'est faux. gg0 t'a proposé de regarder un exemple.
Je peux t'en proposer un autre : quels sont les éléments qui engendrent ?