Exercice anneau commutatif

[Marmus1021]

Bonjour ! Je suis en train de faire les exercices de ce site : http://bruno.maitresdumonde.com/pcsi...ux-Recueil.pdf

Je ne comprends pas du tout la correction de l'exercice 8 : Montrez qu’un anneau (A, +, ×) dont tout élément x vérifie x⁶ = x est commutatif.
Je comprends la première étape (qui vise à montrer que 2x=0), mais ensuite dans l'étape suivante, il est dit que (1+x)⁶ = 1 + x² + x⁴ + x⁶. Je suppose qu'on retire les x avec puissances impaires car on peut les écrire comme 2x fois quelque chose, donc le produit est nul. Mais je ne comprends pas où sont passés les coefficients 15 devant x² et x⁴.
Et puis même, pour 15x² et 15x⁴, ne pourrait-on pas dire que c'est égal à 15/2 * 2x * x (ou 15/2 * 2x * x³) , ce qui ferait que tout est nul ?

Voilà il y a ces deux choses que je ne comprends pas, merci de m'éclairer

Bonne soirée !
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[MissJenny]

en fait d'après ce que je comprends, on a 14x^2=0 donc 15x^2=x^2

[Marmus1021]

Ah oui bien vu merci !
Et en fait je ne comprends pas non plus pourquoi on passe de x² + x⁴ = 0 à x² = x⁴. Pourquoi il n'y a pas de signe moins devant ?

[Médiat]

A partir de x² + x⁴ = 0 ajoutez x⁴ de chaque côté

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Pourquoi il n'y a pas de signe moins devant ?

peut-être parce que de 2x = 0 ou x+x = 0 on déduit x = -x

comment déduit-t-on de x=x^2 que l'anneau est commutatif?