Continuité sous le signe intégrale.

**Anonyme007** · 19/06/2022, 15h08

Bonjour à tous,

Soit $\text{[math]}$ une fonction définie par,
$\text{[math]}$

Comment montrer que $\text{[math]}$ est bien définie et continue sur $\text{[math]}$ ?

Je précise que $\text{[math]}$ , et que, $\text{[math]}$ peut se mettre sous la forme du produit de convolution des deux fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 19/06/2022, 15h48

Pardon, je corrige la question :

Je cherche juste à savoir si $\text{[math]}$ existe et est bien définie sur $\text{[math]}$ . Je ne cherche pas à savoir s'il est continue sur $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

**gg0** · 19/06/2022, 17h25

Bonjour.

Les propriétés de l'exponentielle font qu'on n'a pas de problème de convergence à l'infini (montre-le) il reste à examiner ce qui se passe autout de y=(0,0,0).

Bon travail !

**Anonyme007** · 19/06/2022, 20h43

Merci beaucoup gg0.
Autour de $\text{[math]}$ , voici ce qui se passe,
On a, $\text{[math]}$ , et
$\text{[math]}$ qui converge, avec $\text{[math]}$ la boule unité de $\text{[math]}$ , en ayant effectué un changement de variables en coordonnés sphériques.
D'où, $\text{[math]}$ est intégrable au voisinage de $\text{[math]}$ .
D'où, il n y a pas de problèmes de convergence pour $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ existe et est bien définie.
Est ce que c'est ça gg0 ?
Si oui, comment faire pour montrer que $\text{[math]}$ est continue ?
Est ce que $\text{[math]}$ est d'abord continue ?

Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 20/06/2022, 09h24

Bonjour.

J'espère que tu es capable de justifier ton équivalent. Ensuite, une erreur de rédaction grossière, l'intégrale sur {\mathbb R}^3 n'est pas égale à l'intégrale sur B. A toi de comprendre pourquoi tu écris cette absurdité et de reprendre une preuve sérieuse.
Pour la suite, je laisse d'autres vérifier (ou toi, après tout, c'est ton sujet), je n'ai jamais étudié sérieusement les passages en coordonnées sphériques. Même chose pour la continuité, regarde dans des cours sur le sujet.

**GBZM** · 20/06/2022, 10h08

Bonjour,

Tu peux découper l'intégrale sur $\text{[math]}$ en deux morceaux : l'intégrale sur la boule unité et l'intégrale sur le complémentaire de la boule unité.

Sur la boule unité, tu peux facilement trouver une fonction positive intégrable qui domine uniformément (indépendante de $\text{[math]}$ ), ce qui te permet d'appliquer pour ce morceau le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre. Le passage par les coordonnées sphériques me semble un peu lourd ; on peut découper la boule en sphères d'épaisseur infinitésimales.

Pour l'autre morceau, il est facile de majorer $\text{[math]}$ et tu peux te débrouiller avec l'exponentielle

**Anonyme007** · 13/08/2022, 16h23

Bonjour GBZM et gg0,

Merci pour vos réponses GBZM et gg0.
Donc, $\text{[math]}$ est bien définie.
Maintenant, comment montrer que $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**GBZM** · 13/08/2022, 22h35

Bonsoir,
Une fonction continue n'est-elle pas forcément localement intégrable ?

Continuité sous le signe intégrale.

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