Complétude d'un espace métrique.

**Anonyme007** · 28/08/2022, 20h53

Bonsoir à tous,

J'aimerais savoir si la complétude d'un espace métrique $\text{[math]}$ dépend de la métrique associée à cet espace $\text{[math]}$ ?
Autrement dit, est ce que si $\text{[math]}$ est un espace métrique complet par rapport à une métrique $\text{[math]}$ , il est complet pour toute autre métrique $\text{[math]}$ associée à $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 28/08/2022, 21h02

Un autre question si vous pouvez me permettre.

Soient $\text{[math]}$ un espace métrique non complet, et $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ , deux métriques associées à $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ le complété ( i.e : espace complet pour la métrique $\text{[math]}$ ), de $\text{[math]}$ par rapport à la métrique $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ le complété ( i.e : espace complet pour la métrique $\text{[math]}$ ), de $\text{[math]}$ par rapport à la métrique $\text{[math]}$ .
Est ce que nécessairement, $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 25/10/2023, 19h29

Bonsoir,

Ce fil date de plus d'un an déjà. Je me permets de le déterrer.
J'espère trouver quelqu'un qui peut m’aider pour les questions déjà posées sur ce fil.

Merci d'avance.

**gg0** · 25/10/2023, 19h50

Bonsoir.

Réponse à ton message #1 : Oui, puis non (À condition de reformuler). La complétude est une notion métrique, donc dépend de la métrique. Voir aussi la suite,
Réponse à ton message #2 : la question n'a pas de sens : Un espace métrique est un couple (X,d) où X est un ensemble et d une distance sur X. Parler de "métriques associées à X" montre l'incompréhension de la notion.

Encore une fois, tu manipules des mots, pas les notions mathématiques associées à ces mots. Commence par apprendre ce que les mots que tu copies signifient.

NB : Personne n'avait répondu vu le degré d'incompétence évidente de l'auteur des messages.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 25/10/2023, 20h00

Bonsoir,

Merci pour ta réponse gg0.
En fait, j'ai utilisé un vocabulaire non approprié.
Je reformule les questions,

1)
J'aimerais savoir si la complétude d'un espace métrisable ( au lieu de, espace métrique ) $\text{[math]}$ dépend de la métrique associée à cet espace $\text{[math]}$ ?
Autrement dit, est ce que si $\text{[math]}$ est un espace métrisable ( au lieu de, espace métrique ) complet par rapport à une métrique $\text{[math]}$ , il est complet pour toute autre métrique $\text{[math]}$ associée à $\text{[math]}$ ?

2)
Soient $\text{[math]}$ un espace métrisable ( au lieu de, espace métrique ) non complet, et $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ , deux métriques associées à $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ le complété ( i.e : espace complet pour la métrique $\text{[math]}$ ), de $\text{[math]}$ par rapport à la métrique $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ le complété ( i.e : espace complet pour la métrique $\text{[math]}$ ), de $\text{[math]}$ par rapport à la métrique $\text{[math]}$ .
Est ce que nécessairement, $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**gg0** · 25/10/2023, 20h32

Voir sur Wikipédia "espace complétement métrisable". Et aussi "espace métrisable".

La deuxième question n'a pas de sens, la complétude est une notion métrique, un espace métrisable "non complet", ça n'a pas de sens.

**Anonyme007** · 25/10/2023, 20h48

Merci gg0.

Envoyé par gg0

La deuxième question n'a pas de sens, la complétude est une notion métrique, un espace métrisable "non complet", ça n'a pas de sens.

Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire par ce passage gg0.
Exemple,
- $\text{[math]}$ est ''non complet'' dans $\text{[math]}$ pour la valeur absolue, mais en possède un complété qui est $\text{[math]}$ lui meme.
Où est le problème ?

Merci d'avance.

**pm42** · 25/10/2023, 21h01

Tu as écris "espace métrisable non complet". On ne peut pas définir la complétude sans une distance.
Donc ce que tu as écris n'a pas de sens, cela suppose que la complétude ou non complétude serait une propriété intrinsèque de l'espace en question, indépendante de la distance.
Ce qui rendrait tes autres questions absurdes.

Et il est très facile de munir R d'une distance différente de l'usuelle qui le rend non complet. On trouve même cela sur le Net en cherchant un peu si on ne sait pas le construire par soi même.

**Anonyme007** · 25/10/2023, 21h15

Merci pm42.

**pm42** · 25/10/2023, 21h24

On doit pouvoir aussi assez facilement construire 1 espace dont le complété suivant 2 métriques est différent par exemple avec l'ensemble des entiers sauf 0 et celui des 1/n pour n entier > 0.
On prend la distance usuelle et la distance en arctan et ça doit marcher. Mais après une longue journée de boulot, je ne suis pas sur et j'ai la flemme de vérifier.

**Anonyme007** · 25/10/2023, 21h37

D’accord. Merci pm42.

Oui, tu as raison, $\text{[math]}$ possède plusieurs complétés suivant les distances $\text{[math]}$ -adiques qu'on leurs munit.

**Anonyme007** · 26/10/2023, 01h57

Pardon, j'ai peut être raconté une bêtise. $\text{[math]}$ n’admet pas une distance $\text{[math]}$ -adique il me semble. Non ?

**pm42** · 26/10/2023, 02h52

Envoyé par Anonyme007

Pardon, j'ai peut être raconté une bêtise. $\text{[math]}$ n’admet pas une distance $\text{[math]}$ -adique il me semble. Non ?

En effet. On peut trouver un exemple plus simple : on prend R* avec la distance usuelle. Son complété est R.
Maintenant, on lui met comme distance celle en arctan : son complété est R + les 2 infinis.

Là aussi, à vérifier parce que les idées au milieu de la nuit sont peu fiables.

**GBZM** · 26/10/2023, 16h33

Bonjour,
Je confirme ce qu'écrit pm42.
Sur $\text{[math]}$ , la distance usuelle et la distance donnée par $\text{[math]}$ définissent la même topologie. Pour la première, $\text{[math]}$ est complet. Piour la deuxième, il ne l'est pas puisqu'il est isométrique à $\text{[math]}$ avec la distance usuelle, dont le complété est bien évidemment $\text{[math]}$ .

**pm42** · 26/10/2023, 18h19

Envoyé par GBZM

Sur $\text{[math]}$ , la distance usuelle et la distance donnée par $\text{[math]}$ définissent la même topologie. Pour la première, $\text{[math]}$ est complet. Piour la deuxième, il ne l'est pas puisqu'il est isométrique à $\text{[math]}$ avec la distance usuelle, dont le complété est bien évidemment $\text{[math]}$ .

Salut,
Je ne sais pas pourquoi mais je ne vois jamais le LaTex quand c'est toi qui postes alors qu'il apparait avec d'autres utilisateurs.

**Anonyme007** · 26/10/2023, 20h01

Merci pm42.
Merci GBZM.

**Anonyme007** · 26/10/2023, 20h15

Envoyé par pm42

Tu as écris "espace métrisable non complet". On ne peut pas définir la complétude sans une distance.

Aujourd'hui, la notion de complétude a pris d’autres tournures, et s'est prolongée a d’autres horizons plus large que la seule définition métrique qu'on connait, depuis qu'on a montré qu'il existe un équivalent algébrique, topologique et géométrique à la notion de complétude ( Voir ici, https://forums.futura-sciences.com/m...p-adiques.html et ici, https://forums.futura-sciences.com/m...un-schema.html ).

**gg0** · 27/10/2023, 08h25

On es face à une alternative :
* Soit Anonyme007 sait de quoi il parle, et il n'a aucune raison de venir poser des questions aussi élémentaires que celle des messages #1 esq.
* Soit il ne comprend pas grand chose (par exemple la définition de "espace métrique complet" et de "espace topologique métrisable") et c'est un fat, baratineur et copieur de textes cabalistiques.

**stefjm** · 27/10/2023, 09h04

Envoyé par pm42

Salut,
Je ne sais pas pourquoi mais je ne vois jamais le LaTex quand c'est toi qui postes alors qu'il apparait avec d'autres utilisateurs.

HS
OK avec Firefox et Win10 à jours.
Parfois, ce sont mes propres Tex qui n'apparaissent pas lors d'une mise à jour rapide, mais devienne ok avec un rechargement de page.

**Deedee81** · 27/10/2023, 10h37

Salut,

J'ai souvent ce genre de bizarrerie aussi avec mes propres Tex

**Biname** · 27/10/2023, 12h19

Salut,

Envoyé par gg0

On es face à une alternative :
* Soit Anonyme007 sait de quoi il parle, et il n'a aucune raison de venir poser des questions aussi élémentaires que celle des messages #1 esq.
* Soit il ne comprend pas grand chose (par exemple la définition de "espace métrique complet" et de "espace topologique métrisable") et c'est un fat, baratineur et copieur de textes cabalistiques.

Il "fait du chiffre" lui

Biname

Complétude d'un espace métrique.

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