Entiers p-adiques.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Soit un nombre premier.
D'après le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique , il existe deux approches différentes pour construire l'anneau des entiers
-adiques .

- Approche algébrique,

est la limite projective des anneaux , où le morphisme
est la réduction modulo .
Un entier -adique est donc une suite telle que pour tout ,
et, .

- Approche analytique,

est l'anneau complété de , par rapport à la valeur absolue -adique, , où, est la valuation -adique de .

Question,

Comment montrer que ces deux approches ( algébrique et analytique ) sont équivalentes ?


Merci d'avance pour toute indication de votre part.

N.B : Si vous avez des sources à m'indiquer, ce serait mieux.
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[syborgg]

Salut,

tu devrais pouvoir trouver réponse à tes questions dans les paragraphes 3 et 4 du chapitre 1 du Borovich-Shafaverich

https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick...s/borevich.pdf

[Anonyme007]

Merci beaucoup syborgg.
Je viens de lire rapidement ces deux chapitres que tu mentionnes, et je pense commencer à comprendre l'idée. Je relirai ce soir une nouvelle fois pour saisir complètement l’idée. Merci encore une fois.

[syborgg]

L'idee est la meme que pour les reels : une completion des rationnels pour certaines metriques. Tout les corps qui possedent ces proprietes de completion sont isomorphes entre eux, et les corps de fractions des deux anneaux dont tu parles possedent ces proprietes, donc sont isomorphes, ce qui rend les anneaux eux memes isomorphes par restriction de l'isomorphisme de corps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

je ne sais pas si c'est ce que tu as voulu dire, mais il me semble que des anneaux non isomorphes peuvent avoir le même corps des fractions.

[syborgg]

je ne sais pas si c'est ce que tu as voulu dire, mais il me semble que des anneaux non isomorphes peuvent avoir le même corps des fractions.

Oui certes, mais ce n'est pas ce que j'ai dit On pourrait d'aiileurs se poser la question de trouver un exemple d'anneaux non isomorphes avec meme corps de fractions, c'est un bon exo .

[GBZM]

Bonjour,
"Comment montrer que ces deux approches ( algébrique et analytique ) sont équivalentes ?"
On peut le faire assez directement : se plonge dans comme sous-ensemble dense pour la valeur absolue -adique. Il ne reste plus qu'à voir que est bien complet pour cette valeur absolue, ce qui se fait sans peine.

[Anonyme007]

Merci à vous tous ( GBZM, syborgg, et MissJenny ) pour toutes ces précisions.
Je pense que ça devient clair maintenant l'idée de démonstration.
Juste une autre petite question du meme genre que la première question.
Ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_ad%C3%A9lique , on dit que,

- .
-
Pouvez m'expliquer pourquoi le produit qui figure dans est le produit infini ordinaire, , alors que, le produit qui figure dans est le produit restreint ? Pourquoi on oblige de restreindre le produit pour , mais pour , ce n'est pas obligatoire ?

Merci d'avance.

[GBZM]

La réponse à ta question est donnée dans la page wikipedia en anglais (ces pages sont souvent plus riches que celles en français).

[Anonyme007]

Merci GBZM.