Les entiers naturels et les entiers relatifs

[Vousetesdesanimaux]

Bonjour,

Je suis actuellement en 1èreS et je m'intéresse beaucoup aux mathématiques. Le père d'une amie qui se plait à nous parler de maths à chaque fois que nous allons chez cette amie nous a posé une question qui m'a beaucoup intéressé.
En effet il a commencé par nous demander lequel des ensembles N (entiers naturels) ou Z (entiers relatifs) possède le plus grand nombre d'éléments. Instinctivement, nous avons répondu Z. Il nous a ensuite montré que si à 0 on associe 0, à 1 on associe -1, à 2 on associe 1, à 3 on associe -2, à 4 on associe 2, à 5 on associe -3, à 6 on associe 3, etc..., on se rend compte que l'on peut compter les entiers relatifs en associant chaque entier relatif à un entier naturel. On en a conclu que N et Z contiennent le même nombre d'éléments.
J'avoue que cette démonstration m'a troublé, et je voulais savoir ce que vous en pensez, et si N et Z contiennent vraiment le même nombre d'élément...

Je vous remercie d'avance pour vos réponses
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[Médiat]

Bonjour,

Mathématiquement, le père de votre amie a parfaitement raison.

La question sous-jacente et que vous ne posez pas est : "Quelle est la définition de "nombre d'éléments" d'un ensembe ?".

Les mathématiciens ont répondu à cette question, et cela nous entrainerait trop loin que d'y répondre ici, ce que je peux vous dire c'est que cette définition passe par la définition de "A a le même nombre d'élément que B", et cette définition est qu'il existe une bijection entre A et B, or cette bijection c'est exactement ce que le père de votre amie a mis en évidence, donc : Oui, et ont le même nombre d'éléments, en fait, pour éviter que notre intuition ne nous fasse entrevoir des choses fausses, les mathématiciens préfèrent dire que et ont même cardinal (et ne devraient jamais utiliser l'expression "nombre d'éléments").

[Vousetesdesanimaux]

D'accord, merci beaucoup ! C'est vraiment très intéressant, à partir de quel niveau d'études apprend-t-on de telles choses ?

[Médiat]

De mon temps on voyait la notion de "même cardinal" en terminale, mais aujourd'hui, je ne sais pas.

J'ai fait une très petite recherche google sur "notion de cardinal", et les documents que j'ai vérifié vont tous trop loin dès les premières lignes, mais vous seul devez savoir si vous pouvez les abordez ou non, essayez .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Vousetesdesanimaux]

En fait on parle de cardinal uniquement pour les probabilités en première. Mais merci de tes réponses, je vais davantage me renseigner sur tout ça

[pallas]

attention le cardinal d'un ensemble exige que celui ci soit fini !!il me semble

[PlaneteF]

On en a conclu que N et Z contiennent le même nombre d'éléments.

De la même manière, tu peux par exemple démontrer que l'ensemble de entiers naturels pairs a le même cardinal que .

[gg0]

Pallas : "le cardinal d'un ensemble exige que celui ci soit fini"
Absolument pas. D'ailleurs le mot "cardinal" (autrefois "puissance") a été introduit pour généraliser la notion de "nombre d'éléments" à des ensembles quelconques, finis ou infinis.
Ne pas confondre avec l'usage de l'équiprobabilité qui n'a de sens que pour les univers finis.

Cordialement.

[PlaneteF]

attention le cardinal d'un ensemble exige que celui ci soit fini !!il me semble

Bonsoir, ... non, par exemple : (aleph zéro)

[Médiat]

Bonjour,

Je viens de retrouver cela : http://forums.futura-sciences.com/ma...-ensemble.html

La plupart du texte devrait être facilement accessible, sauf la dernière démonstration.

[shokin]

De la même manière, deux segments - même de longueurs différentes - ont le même nombre de points. On peut effectuer une application (ou plusieurs) du plan dans lui-même pour s'en convaincre (homothétie, translation, rotation, etc.).