Les entiers relatifs

[invitedbe5e39e]

Bonjour

Comment peut-on savoir si l'ensemble des entiers relatifs est ouvert ou fermé ?

Merci
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[invite769a1844]

Re,

pour montrer que Z est fermé, il suffit de montrer que son complémentaire est ouvert (facile).

Pour montrer qu'il est fermé, tu peux utiliser le fait que IR est connexe, ou bien que les irrationnels sont denses dans IR et donc il est difficile de trouver un intervalle ouvert contenant par exemple 0 et seulement des entiers.

[thepasboss]

Bonjour,

Alors je suppose que tu veux savoir si L'ensemble des entiers relatifs est ouvert ou fermé dans R...

Donc dans ce cas il suffit de prendre une suite convergence de Z. Cette suite va évidemment converger dans Z, ce qui veut dire que l'adhérence de Z est contenue dans Z (il me semble) et donc que Z est un fermé puisque l'adhérence de Z est le plus petit fermé contenant Z.

Après pour les histoires d'ouvert je me demande si ça ne dépend pas de la distance choisie... Il me semble avoir vue en TD une distance bizaroïde pour laquelle Z serait ouvert ( l'application qui a (x,y) associe 1 si x=y et 0 si x et y différents) mais j'ai comme un doute. Je vais aller remuer mes cours pour en avoir le coeur net !

[invite769a1844]

Après pour les histoires d'ouvert je me demande si ça ne dépend pas de la distance choisie... Il me semble avoir vue en TD une distance bizaroïde pour laquelle Z serait ouvert ( l'application qui a (x,y) associe 1 si x=y et 0 si x et y différents) mais j'ai comme un doute. Je vais aller remuer mes cours pour en avoir le coeur net !

Quand il n'y a pas de précision sur la distance, c'est qu'on sous-entend qu'on parle de la distance usuelle .

Pour la distance dont tu parles, toutes les parties de IR sont à la fois ouvertes et fermées, c'est la topo la moins fine qu'on peut donner à IR (et à d'ailleurs à n'importe quel ensemble).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbe5e39e]

toutes les parties de IR sont à la fois ouvertes et fermées, c'est la topo la moins fine qu'on peut donner à IR (et à d'ailleurs à n'importe quel ensemble).

Mais Q n'est-il pas ni ouvert ni fermé ?

[invite769a1844]

Mais Q n'est-il pas ni ouvert ni fermé ?

oui mais quel rapport avec le quote?

[invite769a1844]

désolé, je suis allé un peu vite, je viens de comprendre ta question

Pour la distance usuelle, Q n'est ni ouvert ni fermé.

Mais pour la distance discrète dont parlait thepasboss, Q est à la fois ouvert et fermé, comme toute partie de IR.

[invitedbe5e39e]

Merci beaucoup pour toutes vos réponses !