Equation dans C
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Equation dans C



  1. #1
    invite5ea7aaa4

    Equation dans C


    ------

    Bonjour, j'ai deux équations à résoudre dans C, je trouve des solutions mais je pense qu'on doit pouvoir les simplifier ou passer par une autre méthode pour trouver des solutions plus simples!

    Voici l'énoncé :

    Résoudre dans C l'équation z² - (10 + 4i)z + 13 + 26i = 0
    et z² - (2cosa)z + 1 = 0


    Pour la 1ère équation :
    Je suis passé par le discriminant et je trouve :
    z1 = 5 - 2racine(2) + i(2 + racine(6))
    z2 = 5 + 2racine(2) + i(2 - racine(6))


    Pour la 2nde équation : j'ai distingué 2 cas :
    1)cos a = 1, on a alors z = 1

    2)cos a différent de 1, on a un discriminant négatif et on arrive à deux racines :
    z1 = cosa - iracine(valeur absolue cosa -1)
    z2 = cosa + iracine(valeur absolue cosa -1).

    Voilà j'attends vos réactions, merci d'avance

    -----

  2. #2
    invitec317278e

    Re : Equation dans C

    Pour la deuxième équation, on peut remarquer que 2cos(a)=2*Re(e^(ia))=e^(ia) + e^(-ia)
    et que 1=e^(ia)*e^(-ia)

    Ainsi, e^ia et e^(-ia) sont solutions.

  3. #3
    invite5ea7aaa4

    Re : Equation dans C

    Ah oui la formule d'Euler j'avais oublié!!
    En revanche je vois pas comment tu fais pour arriver à trouver ces deux solutions, comment tu fais??

  4. #4
    invitec317278e

    Re : Equation dans C

    dans un trinôme x²+bx+c, b est l'opposé de la somme des racines, et c le produit.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite5ea7aaa4

    Re : Equation dans C

    Très bien merci beaucoup pour votre aide!

  7. #6
    invite5ea7aaa4

    Re : Equation dans C

    En tapant la 1ère équation à la calculatrice, je trouve deux solutions :
    z1 = 2 +3i
    z2 = 8+ i
    Ces deux solutions diffèrent de celles que j'ai trouvées précédemment! N'y a-t-il pas une autre méthode pour résoudre ce trinômes et trouver ainsi ces 2 solutions?

  8. #7
    invitec317278e

    Re : Equation dans C

    Tes solutions étaient fausses...tu as du faire une erreur de calcul.

  9. #8
    invite5ea7aaa4

    Re : Equation dans C

    Eh bien en fait je trouve delta = 32 - 24i, et je suis sur de ne pas m'être trompé dans mes calculs pour delta.
    Ensuite pour le calcul des racines j'arrive logiquement à :
    z1 = 5+2i + racine(8-6i)
    z2 = 5+2i - racine(8-6i)
    Voilà et après j'arrive pas à passer de ça à 2+3i et 8+i.

    Encore merci pour votre aide!

  10. #9
    invitec317278e

    Re : Equation dans C

    racine(8-6i), c'est égal à quoi, pour toi ?

  11. #10
    invite5ea7aaa4

    Re : Equation dans C

    Logiquement ça devrait être égal à 3 - i mais je ne vois pas pourquoi...

  12. #11
    invitec317278e

    Re : Equation dans C

    tu n'as pas appris à calculer les racines de nombres complexes en cours ?

  13. #12
    invite5ea7aaa4

    Re : Equation dans C

    Euh honnêtement ça ne me dit rien du tout!
    (3 - i)² = 9 -1 -6i = 8 - 6i.
    Bon là je peux le faire dans ce sens mais j'aurai pas su comment faire dans l'autre sens!

  14. #13
    invitec317278e

    Re : Equation dans C

    Bah c'est pas très compliqué, mais je suis étonné que tu aies des exos à faire sur ça avant de l'avoir vu...

  15. #14
    invite5ea7aaa4

    Re : Equation dans C

    Juste par pure curiosité, comment on peut le faire alors??

  16. #15
    invitec317278e

    Re : Equation dans C

    calculons la (en fait, les !) racine(s) de 8-6i
    C'est à dire trouvons un complexe a+ib tel que
    donc,
    Par identification, on a alors :

    et :



    D'autre part, on peut se servir du module :
    on a que
    Et comme , on a :


    Si l'on prend en considération tout ce que j'ai dit, on a donc :

    et


    Si l'on additionne ces 2 derniers équations, on trouve que , d'où a=3 ou a=-3
    De plus, si l'on soustrait les deux équations, on trouve que , d'où b=1 ou b=-1

    On a donc pour le moment 4 solutions possibles :
    . Cela fait trop...un complexe a deux racines au max !
    On se souvient que , ce qui implique que a et b sont de signes différent.
    Parmi les 4 solution, on ne garde donc que et

    Et on vérifie facilement que et sont les racines du complexe.


    Tu es en quelle classe ?

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