Les entiers naturels sont ils discontinus ou même continus dans N ?

[invite2b8efa9a]

Bonjour,

Je me posais une (ou plutôt trois) question(s) suite à une discussion sur un autre forum touchant à la physique.

1. Si on prend la suite des entiers naturels dans R, on tombe sur un ensemble discontinu mais si l'on prend cette même suite dans N est on toujours discontinu ? Si non, est il pour autant continu ?

2. Plus généralement, un ensemble peut il être discontinu dans lui même ?

3. Même question mais avec une petit subtilité, un espace peut il être discontinu dans lui même ?

Merci d'avance,
Rémi
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[invite769a1844]

Bonjour, c'est quoi un ensemble continu et un ensemble discontinu?

[invite769a1844]

Si on a la même définition, pour moi un espace est continu si il est compact et connexe. Et je suppose que discontinu = non continu.

Donc IN muni de la topologie induite de IR (ie muni de la topologie discrète) est un espace discontinu, car ni compact ni connexe, du coup ça fait un exemple pour la 3, et ma définition s'applique sur des espaces et non des ensembles.

[Deedee81]

Bonjour, c'est quoi un ensemble continu et un ensemble discontinu?

Bonjour,

Terminologie très abusive de physicien

C'est plutôt discret qu'il convient de dire (dans le fil en question sur le forum de physique, c'est ce "toy modèle" que j'envisageais).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Si on a la même définition, pour moi un espace est continu si il est compact et connexe. Et je suppose que discontinu = non continu.

R est continu mais n'est pas compact...

[invite2b8efa9a]

Un espace peut il être discontinu dans lui même ? c'est ça le vrai problème

Restons avec les espaces, ça me va encore mieux

[invite769a1844]

Bonjour,

Terminologie très abusive de physicien

C'est plutôt discret qu'il convient de dire (dans le fil en question sur le forum de physique, c'est ce "toy modèle" que j'envisageais).

ok c'est pas la même notion que je connais.

donc continu = non discret c'est bien ça? et discret = intérieur vide?

[invited5b2473a]

ok c'est pas la même notion que je connais.

donc continu = non discret c'est bien ça? et discret = intérieur vide?

Euh, si tu prends un cercle dans le plan, il est d'intérieur vide mais "continu"! Et si tu considères la réunion disjointe de deux intervalles de R, cet ensemble n'est pas "continu". Peut-être que par "continu", faut-il entendre "connexe par arc"?

[invite769a1844]

Euh, si tu prends un cercle dans le plan, il est d'intérieur vide mais "continu"! Et si tu considères la réunion disjointe de deux intervalles de R, cet ensemble n'est pas "continu". Peut-être que par "continu", faut-il entendre "connexe par arc"?

mais comment tu sais alors que ces espaces sont continus ou non, sans être sûr de la définition de "continu", je ne comprends pas

[invite986312212]

salut,

je crois que tu devrais regarder du côté de la topologie, et notamment des notions de point limite, d'ensemble dérivé, d'espace complètement discontinu, etc.

[invite769a1844]

salut,

je crois que tu devrais regarder du côté de la topologie, et notamment des notions de point limite, d'ensemble dérivé, d'espace complètement discontinu, etc.

Merci, dans le choquet ces notions n'ont pas l'air d'être abordé, et je n'en ai jamais entendu parler, si tu as des liens ou des références d'ouvrages qui en parlent, ça m'intéresse

[invite986312212]

"point limite" c'est une notion proche de celle de "point adhérent". Un point x est point-limite d'une partie A d'un espace topologique E si tout ouvert contenant x contient un point de A distinct de x (pour point adhérent, le point de A n'est pas nécessairement distinct de x). Ainsi, tout point de A est adhérent à A mais pas toujours point limite de A.

l'ensemble dérivé de A est l'ensemble des points limites de A.

un espace topologique est totalement discontinu si les singletons sont ouverts (plus très sûr, c'est des vieux souvenirs).

[invite9c9b9968]

Hello,

Tant que l'on n'aura pas défini de quelle topologie l'on parle, cette discussion n'a aucune direction possible...

[invite769a1844]

"point limite" c'est une notion proche de celle de "point adhérent". Un point x est point-limite d'une partie A d'un espace topologique E si tout ouvert contenant x contient un point de A distinct de x (pour point adhérent, le point de A n'est pas nécessairement distinct de x). Ainsi, tout point de A est adhérent à A mais pas toujours point limite de A.

l'ensemble dérivé de A est l'ensemble des points limites de A.

un espace topologique est totalement discontinu si les singletons sont ouverts (plus très sûr, c'est des vieux souvenirs).

D'accord, en fait je connaissais ces notions mais sous des nominations différentes, ce que tu appelles point limite, j'appelle ça point d'accumulation, et espace totalement discontinu, j'appelle ça espace muni de la topologie discrète.

Par contre "continu" (dans le sens de Birdland), je ne vois toujours pas ce que c'est.

[invite986312212]

tiens c'est marrant, pour moi un point d'accumulation c'est: tout ouvert contenant ledit point doit contenir une infinité de points de A. comme quoi tout n'est pas normalisé.

[invite769a1844]

tiens c'est marrant, pour moi un point d'accumulation c'est: tout ouvert contenant ledit point doit contenir une infinité de points de A. comme quoi tout n'est pas normalisé.

ah oui effectivement, il me semble que nos deux définitions coincident dans un espace séparé, mais je ne vois pas de cas où elles ne coincident pas en général?


[edit] ah si en prenant un ensemble fini à au moins deux éléments, et en le munissant de la topologie grossière, ça devrait faire l'affaire, il n'y a pas de point d'accumulation (en ton sens), mais dans le mien ils le sont tous.

[invite57a1e779]

D'accord, en fait je connaissais ces notions mais sous des nominations différentes, ce que tu appelles point limite, j'appelle ça point d'accumulation, et espace totalement discontinu, j'appelle ça espace muni de la topologie discrète.

Par contre "continu" (dans le sens de Birdland), je ne vois toujours pas ce que c'est.

Les définitions sont parfaitement normalisées :

Un espace totalement discontinu, c'est un espace dans lequel la composante connexe de tout point est réduite à ce point.

Un espace discret, c'est un espace dans lequel tout singleton est ouvert.

Un espace discret est ainsi totalement discontinu.

Pour la topologie usuelle (une base d'ouverts est constituée des intervalles ) : est discret et totalement discontinu, est totalement discontinu, mais non discret (aucun singleton n'est ouvert).

Le point est adhérent au sous-ensemble , c'est : pour tout voisinage de , on a .

Le point est point d'accumulation du sous-ensemble , c'est : pour tout voisinage de , on a .

La notion de point limite est définie pour les filtres. Le point est point limite du filtre , c'est : tout voisinage de appartient à .

[invite986312212]

il manque à ce zoo "point de condensation": tout ouvert contenant x contient une infinité non dénombrable de points de A.

[invite769a1844]

merci pour ce petit topo god's breath,

pour éclaircir quelques petites bêtes du zoo,

qu'est-ce qu'un filtre? (je n'ai vu que les bases de filtre, je ne sais pas si ça a un lien),

et un espace continu au sens de birdland c'est quoi?

[invite57a1e779]

merci pour ce petit topo god's breath,

pour éclaircir quelques petites bêtes du zoo,

qu'est-ce qu'un filtre? (je n'ai vu que les bases de filtre, je ne sais pas si ça a un lien),

et un espace continu au sens de birdland c'est quoi?

Un filtre sur un ensemble , est un ensemble de parties de tel que
(i) Toute partie de qui contient une élément de appartient à ;
(ii) L'intersection de deux éléments de appartient à ;
(iii) n'appartient pas à .

Une base du filtre est un ensemble de parties de telle que tout élément de contienne un élément de .

Je ne connais pas la définition d'un espace continu au sens de birdland.

[invite769a1844]

Un filtre sur un ensemble , est un ensemble de parties de tel que
(i) Toute partie de qui contient une élément de appartient à ;
(ii) L'intersection de deux éléments de appartient à ;
(iii) n'appartient pas à .

Une base du filtre est un ensemble de parties de telle que tout élément de contienne un élément de .

Je ne connais pas la définition d'un espace continu au sens de birdland.

D'accord, merci. Pour la définition de "continu" je crois qu'il faut attendre le retour de Birdland.

Cependant ça m'amène à une autre question. D'après ce que j'ai compris les base de filtre servent à généraliser la notion de limite et de valeur d'adhérence. Et dans le cours, on ne parle jamais de filtre, quelle est utilité de cette notion de filtre?

[invite2b8efa9a]

Ne vous embêtez pas avec mes définitions imprécises, vous avez répondu à ma questions que je n'ai pas su poser !!!! Juste pour ça, je vous dis bravo... je vous offre en plus ma reconnaissance : Merci

[invite57a1e779]

D'accord, merci. Pour la définition de "continu" je crois qu'il faut attendre le retour de Birdland.

Cependant ça m'amène à une autre question. D'après ce que j'ai compris les base de filtre servent à généraliser la notion de limite et de valeur d'adhérence. Et dans le cours, on ne parle jamais de filtre, quelle est utilité de cette notion de filtre?

C'est comme pour les ouverts et les voisinages.

On a une définition générale des ouverts et des voisinages, mais dans certains cas, en particulier les espaces métriques, on raisonne sur une base d'ouverts, ou sur une base de voisinage, en ne considérant que des boules.

De même dans un espace localement connexe, on se restreindra à une base de voisinages connexes.

Dans des cas très généraux pour lesquels on ne dispose pas d'une base d'ouverts ou de voisinages, on raisonnera sur l'ensemble de tous les ouverts, ou de tous les voisinages.

Pour les filtres, c'est pareil, on peut très souvent ne considérer qu'une base de filtre, mais dans certains cas un peu difficiles, il faut revenir au filtre complet ; l'exemple classique est l'utilisation d'ultrafiltres pour la compacité.

[invite769a1844]

C'est comme pour les ouverts et les voisinages.

On a une définition générale des ouverts et des voisinages, mais dans certains cas, en particulier les espaces métriques, on raisonne sur une base d'ouverts, ou sur une base de voisinage, en ne considérant que des boules.

De même dans un espace localement connexe, on se restreindra à une base de voisinages connexes.

Dans des cas très généraux pour lesquels on ne dispose pas d'une base d'ouverts ou de voisinages, on raisonnera sur l'ensemble de tous les ouverts, ou de tous les voisinages.

Pour les filtres, c'est pareil, on peut très souvent ne considérer qu'une base de filtre, mais dans certains cas un peu difficiles, il faut revenir au filtre complet ; l'exemple classique est l'utilisation d'ultrafiltres pour la compacité.

Merci, c'est beaucoup plus clair maintenant.

[invite2c3ff3cc]

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