Les entiers naturels sont il finis?

[invite6754323456711]

Bonjour,

J'ouvre un nouveau fils dérivé du fils Hasard et Infini car je me retrouve dans la même situation que DESHOUILLERS Jean-Marc lorsqu'il attendait son bus

Je prend donc la décision d'appuyer sur la touche entrée du clavier :

N'est il pas : que tout ensemble équipotent à l’une de ses parties strictes est infini ? Les entiers pair ne sont il pas équipotent aux entiers naturels ? Les entiers pair sont bien une partie stricte de IN ?
Tout ensemble équipotent à un ensemble infini est infini ?


Patrick
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[invite765732342432]

Tout ensemble équipotent à un ensemble infini est infini ?

Ca c'est quasiment la définition d'équipotent, ou au moins sa première conséquence

Les entiers pair ne sont il pas équipotent aux entiers naturels ? Les entiers pair sont bien une partie stricte de IN ?

Oui. f(n) -> n*2 est une bijection de N vers {ensemble de nombres pairs}

N'est il pas : que tout ensemble équipotent à l’une de ses parties strictes est infini ?

Deux ensembles équipotents ont obligatoirement même cardinalité... Alors a priori, tu as raison, si tout au moins le terme "partie stricte" signifie qu'il existe au moins un élément de l'ensemble de départ qui ne se retrouve pas dans la partie.

Enfin, je crois...

[invite6754323456711]

Ca c'est quasiment la définition d'équipotent, ou au moins sa première conséquence


Oui. f(n) -> n*2 est une bijection de N vers {ensemble de nombres pairs}


Deux ensembles équipotents ont obligatoirement même cardinalité... Alors a priori, tu as raison, si tout au moins le terme "partie stricte" signifie qu'il existe au moins un élément de l'ensemble de départ qui ne se retrouve pas dans la partie.

Enfin, je crois...

Merci pour la réponse.

Définition de partie stricte tel que je l'ai compris : F est une partie stricte de E lorsque F est un sous ensemble de E, distinct de E.

Que signifie alors les entiers naturels sont finis ?

Un ensemble infini peut il être fini ?

Patrick

[invite6754323456711]

Que signifie alors les entiers naturels sont finis ?

Parce que cardinal de IN (ensembles infinis dénombrables) est aleph-zéro ?

L'ambiguïté est dans le vocabulaire ?

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec9de84d]

Bonsoir,

Que signifie alors les entiers naturels sont finis ?

Je ne pense pas que cela fasse sens (parle-t-on des éléments de l'ensemble des entiers naturels ou bien de son cardinal ?).
Je comprend bien l'interrogation : à partir de quand peut-on considérer que l'entier est suffisamment grand pour le qualifier d'infini ?

Un ensemble infini peut il être fini ?

Là non : par contre on se penchera sur la théorie de Cantor, qui donne un bon ordre parmi les infinis (et plus particulièrement, qu'il existe une infinité d'infinis....).

J'espère que mon propos n'est pas complètement dénué de sens

[invite765732342432]

Que signifie alors les entiers naturels sont finis ?

A ma connaissance, ça ne veut rien dire (finis ne s'applique pas à un nombre mais à des ensembles, il me semble).

Dans la conversation d'où ça a été tiré, ils voulaient juste dire que n'importe quel entier naturel a une valeur différente de l'infini oo
Dès l'instant où tu choisis un entier précis, celui-ci a une valeur donnée et fixe.

[GrisBleu]

Salut

La definition d'un ensemble infini est une ensemble en bijection avec une sous partie stricte de lui meme
Par exemple N est infini car N est en bijection avec {1,4,9,16,25,etc.}
Maintenant, un theoreme (si je me souviens) montre que tout ensemble inifini peut etre mis en bijection avec N.
Mais un ensemble infini peut etre de "taille" limite: [0,1] est infini (comme ensemble de reels)
++

[invite765732342432]

Maintenant, un theoreme (si je me souviens) montre que tout ensemble inifini peut etre mis en bijection avec N.

Euh... il me semble justement que non... n'y a-t-il pas plusieurs "classes" d'infini (mes cours de maths sont un peu trop loin pour que je puisse être sur)
En particulier, il me semble qu'il n'existe pas de bijection entre N et R

[inviteea6fd0dc]

J'espère que mon propos n'est pas complètement dénué de sens

Bonsoir,

Mais non, ce n'est pas dénué de sens, le tout est effectivement de savoir de quel infini on parle !

..... mais il n'est pas sûr du tout qu'il y ait une réponse à la question.

Y a t'il, par exemple, un infini entre deux infinis d'ordre successifs ?

Amicalement

[invité576543]

Je résume...

N'est il pas : que tout ensemble équipotent à l’une de ses parties strictes est infini ?

Oui, c'est la définition de "infini".

Les entiers pair ne sont il pas équipotent aux entiers naturels ?Les entiers pair sont bien une partie stricte de IN ?

Oui et oui

Tout ensemble équipotent à un ensemble infini est infini ?

Oui

Que signifie alors les entiers naturels sont finis ?

Chaque entier naturel est fini, mais l'ensemble des entiers est infini.

Un ensemble infini peut il être fini ?

Non, mais il peut être composé d'éléments finis.

Cordialement,

[inviteec9de84d]

Baguette, tout d'abord, merci.

Y a t'il, par exemple, un infini entre deux infinis d'ordre successifs ?

Une infinité d'individus ou un individu infini ?

Dans le premier cas, je suis tombé sur une théorie amusante l'autre jour : l'existence de nombres surréels, répartis aussi bien entre les nombres classiques (réels) qu'entre les ordinaux de Cantor...quant à savoir s'ils sont en nombre infini ....

[invitebe0cd90e]

Que signifie alors les entiers naturels sont finis ?

Ta question n'est pas claire, que veux tu dire par là ? Dans quel contexte poses tu cette question ?

Si "les entiers naturels" designe l'ensemble des entiers naturels, alors evidemment non, cet ensemble n'est pas fini.

Si "les entiers naturels" designe "chaque entier", alors la question n'est pas tres precise, mais en un sens oui, un entier est "fini", au sens ou il represente une quantité finie. Dit un peu plus formellement : tout entier peut etre vu comme le cardinal d'un ensemble fini. Ou encore : le cardinal d'un ensemble infini ne peut pas etre un entier.

[invite6754323456711]

Chaque entier naturel est fini, mais l'ensemble des entiers est infini.

Cela corrobore donc la réponse de faith. Cela rejoint-il la notion d'ordinal fini (On dit que l'ordinal α est fini si α n'est pas un ordinal limite et ne contient aucun ordinal limite) ?

Patrick

[Médiat]

L'interrogation initiale vient d'un autre fil et ma remarque : "les entiers naturels sont finis." ne peut se comprendre que d'une seule façon : "chaque entier naturel est fini" (ce qui aurait été plus clair je le reconnais), si j'avais voulu parler de l'ensemble des entiers naturels, le verbe aurait été au singulier.

Sinon, la bonne définition d'ensemble fini est due à Tarski :
Un ensemble est fini ssi toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion.

La définition faisant appel à l'équipotence avec une partie propre, due à Dedekind, ne correspond à ce que l'on en attend qu'avec l'axiome du choix dénombrable.

cf. http://forums.futura-sciences.com/ma...ble-finis.html

[Matmat]

Maintenant, un theoreme (si je me souviens) montre que tout ensemble inifini peut etre mis en bijection avec N.

la mise en bijection avec N est plutot la définition de dénombrable.

[GrisBleu]

Euh... il me semble justement que non... n'y a-t-il pas plusieurs "classes" d'infini (mes cours de maths sont un peu trop loin pour que je puisse être sur)
En particulier, il me semble qu'il n'existe pas de bijection entre N et R

Salut erreur d'ecriture

Tout ensemble infini a une partie en bijection avec N: il n'y a pas plus petit cardinal que celui de N.
Effectivement il y a une infinite de cardinal (et d'ordinal)

++

[Médiat]

il n'y a pas plus petit cardinal que celui de N.

il n'y a pas de cardinal infini plus petit que celui de IN.

[invite6754323456711]

L'interrogation initiale vient d'un autre fil et ma remarque : "les entiers naturels sont finis." ne peut se comprendre que d'une seule façon : "chaque entier naturel est fini" (ce qui aurait été plus clair je le reconnais), si j'avais voulu parler de l'ensemble des entiers naturels, le verbe aurait été au singulier.

Sinon, la bonne définition d'ensemble fini est due à Tarski :
Un ensemble est fini ssi toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion.

La définition faisant appel à l'équipotence avec une partie propre, due à Dedekind, ne correspond à ce que l'on en attend qu'avec l'axiome du choix dénombrable.

cf. http://forums.futura-sciences.com/ma...ble-finis.html

OK

On peut aussi dire (si on se place dans la théorie des ensemble) que chaque entier est un ensemble fini. Cela permet de mieux comprendre le sens de fini appliqué au entier.

Patrick

[invité576543]

On peut aussi dire (si on se place dans la théorie des ensemble) que chaque entier est un ensemble fini. Cela permet de mieux comprendre le sens de fini appliqué au entier.

Pour coller plus près du "sens commun" : chaque entier est le cardinal d'au moins un ensemble fini. (Notion de nombre naturel comme nombre cardinal.)

Notons que la notion de nombre cardinal, se différentiant de nombre ordinal, est bien plus ancienne que la théorie des ensembles et que la construction des entiers ordinaux par von Neumann:

cardinales numeri « nombres cardinaux » (début VIe s. Priscien, ibid., 442, 25)

Cordialement,

[GrisBleu]

il n'y a pas de cardinal infini plus petit que celui de IN.

Un peu de sommeil me fera du bien ....

[invite96932cc8]

on ne peut dire s'il y a un autre infini entre N et R: c'est l'hypothèse du continu et elle est indécidable (Godel)