entiers naturels : question sur la notion d'infini

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Bonjour,

Je n'ai que le niveau Bac E, qui date un peu d'ailleurs, et j'ai une question qui pourra vous paraitre stupide mais j'estime ne pas avoir de assez de connaissances mathématiques pour être affirmatif sur les réponses.

Voici la question : est-ce que ces propositions sont justes ou fausses, ou n'y a t'il même pas lieu de les écrire ?

Pour les entiers naturels :

1. infini "est inclus dans" infini
2. infini "est pas inclus dans" infini
3. infini > infini

Merci par avance de vos réponses.

Cordialement,

S.W.
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[invite986312212]

aucune de ces trois assertions ne me semble correcte. Il n'y a pas d'entier naturel "infini". Des deux voies qui conduisent à la définition de nombres "transfinis", celle des cardinaux est la plus facile à comprendre. Elle étend la notion intuitive de nombre d'éléments d'un ensemble. en ce sens, si tu penses à l'infini (dénombrable) comme le cardinal de l'ensemble des entiers naturels, ta première assertion est correcte (mais pas formellement).

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Merci pour ta réponse, je vais essayer de comprendre ce que sont les nombres transfinis.

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aucune de ces trois assertions ne me semble correcte. Il n'y a pas d'entier naturel "infini". Des deux voies qui conduisent à la définition de nombres "transfinis", celle des cardinaux est la plus facile à comprendre. Elle étend la notion intuitive de nombre d'éléments d'un ensemble. en ce sens, si tu penses à l'infini (dénombrable) comme le cardinal de l'ensemble des entiers naturels, ta première assertion est correcte (mais pas formellement).

Euh autant l'approche des nombres ordinaux transfinis me parait "abordable", autant celles des cardinaux me parait plus ardue. Peut être as tu fais une confusion ?

Cependant pour ce que j'ai compris, l'écriture incorrecte dans N :
infini "est inclus dans" infini

reviendrait à dire pour les ordinaux transfinis :

oméga < oméga 2 ... puis si on continue : < oméga 4 ... etc...

J'ai tout bon ou je dois encore travailler ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

si tu lis l'Anglais et si tu peux te le procurer, je te conseille de lire le bouquin de P. Halmos "naive set theory", qui n'est pas si naïf que ça.

[invité576543]

Euh autant l'approche des nombres ordinaux transfinis me parait "abordable", autant celles des cardinaux me parait plus ardue.

Assez d'accord. Encore qu'une suite particulière de cardinaux n'est pas très ardue à voir, celle qui démarre avec le cardinal de N, et qui passe au suivant en prenant le cardinal de l'ensemble des parties du précédent.

oméga < oméga 2 ... puis si on continue : < oméga 4 ... etc...

L'écriture n'est pas claire. Si l'ordinal correspondant à N est ω, les premiers transfinis suivants sont ω+1, ω+2, ... et on a

ω < ω+1 < ω+2 ...< ω2 <ω2 + 1 < ω3 < .. .<ω² <...

Cordialement,

[invité576543]

Dans ma bibli de liens, celui-là est peut-être adapté (en français!)

http://www.madore.org/~david/math/infinity.pdf

Cordialement,

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L'écriture n'est pas claire. Si l'ordinal correspondant à N est ω, les premiers transfinis suivants sont ω+1, ω+2, ... et on a

ω < ω+1 < ω+2 ...< ω2 <ω2 + 1 < ω3 < .. .<ω² <...

Cordialement,

Merci pour les "omégas", je sais pas les faire au clavier

Je réécris donc sous réserve que ce soit correct :

ω < ω+1 < ω+2<ω+3 < ω+4 ...< ω+ω=ω2 <ω2 + 1 < ω3 < .. .<ω² <...



J'ai trouvé une explication sommaire en français de ""naive set theory" ici :
http://www.ilemaths.net/encyclopedie...ensembles.html

J'ai juste pris le temps de lire l'intro du lien que tu m'as indiqué, ça me semble intéressant et ce me sera peut être accessible à mon niveau. J'y retourne dès que j'ai pu assimilé quelques bases. Merci beaucoup

[invité576543]

Merci pour les "omégas", je sais pas les faire au clavier

Je suis sous XP, j'utilise l'outil "table de caractères", avec le jeu de caractère unicode...

ω < ω+1 < ω+2<ω+3 < ω+4 ...< ω+ω=ω2 <ω2 + 1 < ω3 < .. .<ω² <...

Rien à redire de ma part!

Cordialement,

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Bonjour,

Suite à ce que j'ai compris j'ai une question supplémentaire :

Sait on faire la soustraction et la division de nombres transfinis ?

ou encore sait on faire la soustraction et la division de nombres ordinaux ?

Je n'ai rien trouvé sur ce sujet.

Merci d'avance pour vos réponses.

[invitec053041c]

L'infini,c'est simplement la capacité de toujours pouvoir trouver un nombre plus grand que tout nombre fixé à l'avance.

[GrisBleu]

Salut

m est d avis que ce ne doit pas etre possible (intuitivement):
- retirer N a N, reste l ensemble vide de cardinal nul
- retirer N a Q, reste un enesmble toujours de meme cardinal que N
Bref la soustraction d ordinaux infinis demarre mal

++

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Qu'en est il du cas ω² / ω

a t - on le droit de dire = ω ?

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L'infini,c'est simplement la capacité de toujours pouvoir trouver un nombre plus grand que tout nombre fixé à l'avance.

Il me semble que la question devient plus complexe notament lorsque tu veux faire le produit de deux infinis comme des droites qui te servent définir le plan

[Médiat]

Lorsque l’on dispose d’une addition, la soustraction, si elle existe, se définit à partir de l’addition :

c = b – a ssi b = c + a

avec les ordinaux, sachant que ω = 1 + ω on peut en déduire que ω – ω = 1, mais comme ω = 2 + ω on obtient aussi ω – ω = 2, c'est-à-dire 1 = 2 …

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Lorsque l’on dispose d’une addition, la soustraction, si elle existe, se définit à partir de l’addition :

c = b – a ssi b = c + a

avec les ordinaux, sachant que ω = 1 + ω on peut en déduire que ω – ω = 1, mais comme ω = 2 + ω on obtient aussi ω – ω = 2, c'est-à-dire 1 = 2 …

Merci...

d'accord, ça n'a pas de sens pour la soustraction, cela doit être impossible.

Quid du cas de la division s'il vous plait

si j'ai bien compris les nombres transfinis cela ne me semble possible que dans un cas :

ω² / ω = ω

et encore je n'en suis pas sûr.

[invitedf667161]

Quelqu'un a dit qu'on devait mettre des lois de composition sur l'ensemble des nombres cardinaux/ordinaux ?

[Médiat]

La division euclidienne marche très bien avec les ordinaux.

[invitedf667161]

La division euclidienne marche très bien avec les ordinaux.

Alors en effet, pourquoi ne pas essayer de mettre d'autres lois ?

Cela dit c'est étrange, quand on parle de division euclidienne, on est généralement sur un anneau. Qui dit anneau dit addition, multiplication et tout le tralala. Ici on dirait que l'addition donne des résultats bizarres. Du coup, faire de la division euclidienne c'est un peu mettre la charrue avant les boeufs non ?

[Médiat]

L'addition n'est pas commutative (donc pas d'anneau) sur les ordinaux et de plus possède des propriétés exotiques : 1 + ω = ω != ω + 1.

D'autre part, si on définit la division euclidienne sur les ordinaux, c'est simplement parce que c'est possible avec la définition de l'addition et de la multiplication (donc pas de charrue, ni de boeufs )

[Médiat]

Je complète ce que j'ai dit rapidement cet après-midi : les ordinaux prolonge les entiers, il était donc naturel de se demander si les opérations valides sur les entiers se prolongeaient sur les ordinaux, c'est le cas de l'addition, de la multiplication, de l'exponentiation et la division euclidienne (d'ailleurs N n'est pas un anneau, la division euclidienne s'y définit très bien).

[invite7a8ce750]

ω < ω+1 < ω+2 ...< ω2 <ω2 + 1 < ω3 < .. .<ω² <...

Cordialement,

De la même manière que l'addition n'est pas commutative, la multiplication (définie à partir de l'addition) ne l'est pas.
ωx2 n'est donc pas 2xω

Donc selon la définition :
l'un est donc ω;
l'autre est ω+ω.

Personnellement j'avais appris avec 2ω = ω+ω et ω2 = ω mais bon ça dépend des endroits.

[Médiat]

Personnellement j'utilise la même convention que mmy :
2ω = (2 répété ω fois)
ω2 = (ω répété 2 fois)

[invite7a8ce750]

Personnellement j'utilise la même convention que mmy :
2ω = (2 répété ω fois)
ω2 = (ω répété 2 fois)

Oui ça dépend des profs et des livres.
Tout ce qui compte c'est de le préciser ^_^

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oups pardon pour le retard..

Merci

[invitebb921944]

Personnellement j'utilise la même convention que mmy :
2ω = (2 répété ω fois)
ω2 = (ω répété 2 fois)

Tiens ca me parait étrange.
Je lis deux fois omega (2.omega), j'ai donc deux fois omega, omega est donc répété deux fois.
Non ?

[Médiat]

Tiens ca me parait étrange.
Je lis deux fois omega (2.omega), j'ai donc deux fois omega, omega est donc répété deux fois.
Non ?

1) en tout état de cause il s'agit d'une convention, l'important est donc d'être d'accord sur la définition à l'intérieur d'un texte
2) rien ne t'interdit de lire 2 omega fois, donc 2 est répété omega fois.

[invitebb921944]

Certes certes, c'est juste qu'on lit de gauche à droite donc ca me paraissait plus logique !

[Médiat]

Certes certes, c'est juste qu'on lit de gauche à droite donc ca me paraissait plus logique !

Tu as deux sources là :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal
http://mathworld.wolfram.com/OrdinalMultiplication.html

[invitebb921944]

Merci pour ces liens !