Notion d'infini...

[invite61180d33]

Bonjour,

Bon une petite question me turlupine l'esprit ^^ je vais donc essayer de vous l'expliquer clairement.

Soit L'intervalle [0;1] dans IR on est tous d'accord sur le fait qu'il contienne une infinité de nombre
Maintenant prenons l'intervalle [0;2] toujours dans IR il contient lui aussi une infinité de solution

Donc on pourrai dire que les deux intervalles ont "autant" de solution pourtant on sait Que [0;2] contient ttes les solutions de [0;1] avec ]1;2] en plus

donc [0;2] a plus de solution pourtant on peu pas dire Infini > inifini
Donc je comprend pas trop...
On ne peut donc pas dire que l'intervalle [0;2] a plus de solution pourtant c'est evident...

Cette question est peu être très bête lol mais je sais pas pourquoi je comprend pas trop sa parai logique de dire ke [0;2] a plus de solution mais on peut pourtant pas le dire ^^

Si quelqu'un pouvait m'expliquer cela sachant que je ne suis qu'en terminale S spe math

Merci d'avance
-----

[invite980a875f]

Salut,
c'est vrai que c'est compliqué comme notion. Je ne saurais pas répondre à la question: "Y a-t-il plus d'éléments dans [0;1] que dans [0;2]?". Mais je crois que l'on peut démontrer qu'il y a plus d'éléments dans R que dans N (si quelqu'un connaît la démo...).
Par ailleurs, si je te demande, y a-t-il plus d'éléments dans Z que dans N, la réponse serait naturellement oui, puisque dans Z il y a N plus les négatifs, donc deux fois plus a priori. Mais en fait il y en a autant. Pour t'en rendre compte, tu "numérotes" les éléments de Z. A 0, je donne le numéro 0. A 1, je donne le numéro 1. A (-1), je donne le numéro 2. A 2, je donne le numéro 3. A (-2), je donne le numéro 4. Tu vois bien que je ne manquerai jamas de numéro à attribuer, c'est-à-dire que je vais décrire tout l'ensemble Z avec seulement les éléments de l'ensemble N (les numéros). Donc ces deux ensembles ont autant d'éléments, sinon il arriverait un moment où je ne pourrais plus les numéroter.
Voilà, c'était juste pour donner un exemple pour montrer que ces histoires de dénombrement vont un peu à l'encontre de l'intuition.
Quand on travaille dans R et non plus dans N ou Z, c'est plus compliqué je pense. J'attends des réponses plus avisées!

[invite765732342432]

Cette question est peu être très bête lol mais je sais pas pourquoi je comprend pas trop sa parai logique de dire ke [0;2] a plus de solution mais on peut pourtant pas le dire ^^

Ce qu'il faut garder à l'esprit c'est qu'avec l'infini, tu sors des mathématiques conventionnelles.

L'infini n'est pas un nombre et ne peut donc pas être comparé, additionné, ... Il s'agit en fait d'une limite et pas d'un nombre
d'ailleurs l'ensemble des réels est noté: ]-oo; +oo[
Tu noteras que les somboles "infini" sont exclus car il ne font pas partie des réels: ce n'est pas une valeur mais une notion.

En fait, pour mieux comprendre, il ne faut pas dire "il y a une infinité de nombres dans [0, 1]" mais "le nombre de nombre dans [0, 1] est infini"

La différence est très difficile à expliquer... j'espère néanmoins que tu as compris ce que j'ai essayé de dire (l'essentiel tient dans cette phrase: "L'infini n'est pas un nombre")

[invite787e8665]

Un moyen facile de voir cette notion d'infinité c'est que l'on peut écrire 0,1 mais également 0,01 0,001 0,0001 donc on peut mettre une infinité de 0 avant le 1. Si on restait a cette affirmation, on ne pourrait donc jamais attendre 1 ni 2..... donc il faut admettre que l'on passe de 0,99999... a 1 mais que logiquement, c'est impossible. De ce fait il y a une inifinité de chiffre dans [0;1] et dans [0,2] mais comme une infinité n'est pas finie, on ne peut pas dire qu'il y a plus de nombre entre [0;1] et [0;2] car ils ne sont pas quantifiable


cela peut paraitre simpliste mais ca permet de comprendre la notion d'infinie qui comme la dit Faith, n'est pas un nombre mais une notion

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61180d33]

on ne peut pas dire qu'il y a plus de nombre entre [0;1] et [0;2] car ils ne sont pas quantifiable

Ouai mais si on dit que :

[0;1] € [0;2]
et ]1;2] € [0;2]
or ]1;2] €/ ( n'appartient pas ) [0;1]
donc [0;2] contient plus de nombre que [0;1] puisqu'elle contient [0;1] et ]1;2]

non ?

[invite765732342432]

donc [0;2] contient plus de nombre que [0;1] puisqu'elle contient [0;1] et ]1;2]

oui, intuitivement, on pourrait dire ça car
[0; 1] est inclus dans [0; 2] -> OK
donc le cardinal du premier est >= à celui du second

Mais ces cardinaux (nb d'éléments) n'ont pas de valeur algébrique.
Tous deux sont assimilés à la notion "infini". Mais ne valent pas l'infini.

De plus, les opérateurs que tu utilises (+, -, =, <, >) ne sont définis que dans certains ensembles (comme ]-oo; oo[)
Ils ne sont pas définis pour "oo". Donc, tu ne peux pas les utiliser tels quels à l'infini (pas question de "comparer" l'infini)

[inviteab2b41c6]

L'infini peut etre vu comme un nombre.
Le nombre d'éléments (d'ailleurs pourquoi parler de solution, qu'est ce que tu entends par solution?) d'un ensemble est soit fini, soit infini (logique...?)

Un ensemble est di de cardinal infini s'il peut etre mis en bijection avec une de ses parties.
Par exemple, comme tu le remarques, il existe une bijection entre [0,1] et tout ensemble [a,b] 0<a<b<1.
Donc [0,1] est un ensemble infini.

En fait il faut se donner quelques définitions pour ne pas se tromper sur ce dont on parle:
Tout d'abord ajoutons un point à R, que l'on appellera infini et que l'on note oo. On appelle RU{oo} R étendu.
Étendons les propriétés usuelles de somme et de multiplication à R étendu x+oo=oo x-oo=-(oo) x*oo=oo x/oo=0 et 0*oo=0

Donnons une fonction µ qui vérifie les axiomes suivant:
Soit X un ensemble.
µ est positive ou nulle et µ(vide)=0 et éventuellement infini.
µ(union d'ensemble disjoints Ai)=somme des µ(Ai) avec Ai qui sont des éléments de P(X) (des sous ensembles de X)

Une telle fonction est appelée une mesure sur X.

En fait si on se donne un ensemble X fini, on peut associer à tout sous ensemble A de X, le cardinal de A. On vérifie facilement que le cardinal est une mesure.
On rmarque alors que 2 sous ensembles A et B de X sont en bijection, si et seulement si ils ont le même cardinal.
Ceci est assez évident.

L'idée est maintenant de prolonger cette définition de cardinalité dans le cas où X est infini.
On va dire que 2 sous ensembles infinis A et B de X sont de même cardinal, s'il existe une application bijective de A dans B (ou de B dans A, c'est équivalent)

On dira que le cardinal de A est inférieur à celui de B s'il existe une injection de A dans B, et que le cardinal de A est supérieur s'il existe une surjection de A dans B.

On peut alors remarquer que si A a un cardinal inférieur a celui de B, alors B a un cardinal superieur a celui de A (ce n'est pas évident!!)

Notons que si A a un cardinal supérieur à celui de B et que A a un cardinal inférieur à celui de B, alors ils ont même cardinaux (loin d'être évident aussi, c'est ce que l'on appelle le théorème de Cantor-Shroder-Bernstein)

Bon, revenons à nos moutons:
Dire que 2ensembles ont même cardinaux revient en fait à dire qu'il existe une bijection de l'un dans l'autre.
Comme il existe (exercice facile) une bijection de [0,1] dans [a,b] avec 0<a<b<1 alors tout sous ensemble infini de [0,1] a autant de nombre que [0,1] lui même...

En fait R et [0,1] ont autant de nombres...
De même, il y'a autant de nombre sur un segment aussi petit que l'on veut, que sur une surface pleine aussi grande que l'on veut...

[invite4793db90]

Salut,

Ce qu'il faut garder à l'esprit c'est qu'avec l'infini, tu sors des mathématiques conventionnelles.

Pourtant, Hilbert disait que les mathématiques est la science de l'infini!

Pour ton exemple, considère la fonction f:[0,1]->[0,2] qui à x associe 2x: tu vérifieras sans mal que c'est une bijection, et donc que ces deux ensembles ont le même nombre d'élément (une bijection associe à un élément un seul élément - d'ailleurs en anglais, une bijection se dit one-to-one correspondance).

Dans le même genre: il y a autant d'entiers positifs pairs que d'entiers positifs; il y a autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels. Regarde un peu les travaux de Cantor à ce sujet (google).

[inviteab2b41c6]

De plus, les opérateurs que tu utilises (+, -, =, <, >) ne sont définis que dans certains ensembles (comme ]-oo; oo[)
Ils ne sont pas définis pour "oo". Donc, tu ne peux pas les utiliser tels quels à l'infini (pas question de "comparer" l'infini)

En fait on peut, cf mon post ci dessus. Mais pas question de comparer l'infini, ca ne voudrait rien dire.
Mais on peut comparer des cardinaux...

[invite4793db90]

En fait R et [0,1] ont autant de nombres...

Quinto, tu aurais pu choisir ]0, 1[ au lieu de [0,1], c'est quand même plus pédagogique!

[inviteab2b41c6]

"on ne peut pas dire qu'il y a plus de nombre entre [0;1] et [0;2] car ils ne sont pas quantifiable"

Ca ca ne veut pas dire grand chose, et on peut en fait comparer les cardinaux de tes 2 ensembles...
Cf mon post ci dessus, et celui de Martini Bird...

[invite88ef51f0]

Salut tout le monde,
Pour reprendre ce qui a été dit et apporter mes maigres connaissances sur le sujet, je voudrais définir certains termes : un ensemble est soit fini, soit infini. Pour les ensembles infinis, on appelle infini dénombrable un ensemble qui peut être mis en bijection avec N (comme l'a expliqué Sharp, Z est infini dénombrable, on peut montrer que Q aussi)., c'est-à-dire pour lequel on peut numéroter les éléments.
Mais il existe aussi des éléments infinis indénombrables, un bon exemple est R...

je crois que l'on peut démontrer qu'il y a plus d'éléments dans R que dans N (si quelqu'un connaît la démo...)

Pour montrer que R est indénombrable, le plus "simple" (et le plus joli) à ma connaissance est la démonstration de la diagonale de Cantor :
On veut montrer que [0,1] est indénombrable (et par conséquent R le sera aussi car [0,1] est inclus dans R).
On va le montrer par l'absurde, et on suppose donc que [0,1] est dénombrable, et on numérote alors ses éléments : u₁, u₂, ... (il y en a une infinité). On va aussi numéroter les décimales de chaque élément :
u₁=0,a₁₁a₁₂...
u₂=0,a₂₁a₂₂...
...

Maintenant, on définit la la fonction f qui à n=0,1,2,...,8 associe n+1 et à 9 associe 0. Alors si n est un chiffre, f(n) est un chiffre différent.

Ensuite, on regarde le nombre x définit par :
x=0,f(a₁₁)f(a₂₂)... (d'où le terme de "diagonale").
Alors x appartient à [0,1] et x est différent de u₁ car la première décimale est différente, différent de u₂ car la deuxième décimale est différente, etc... Bref, on a trouvé un nombre de [0,1] qui n'est pas un nombre que nous avons numéroté...
Absurde, CQFD et youpi !

[inviteab2b41c6]

Quinto, tu aurais pu choisir ]0, 1[ au lieu de [0,1], c'est quand même plus pédagogique!

Parce que l'un est compact et l'autre ouvert?
Oui, mais c'est presque volontaire, en fait c'est pour casser cette idée infondée que la bijection doit etre continue...

[invite765732342432]

Pour ton exemple, considère la fonction f:[0,1]->[0,2] qui à x associe 2x: tu vérifieras sans mal que c'est une bijection, et donc que ces deux ensembles ont le même nombre d'élément (une bijection associe à un élément un seul élément - d'ailleurs en anglais, une bijection se dit one-to-one correspondance).

Euh... je ne suis pas sur que parler de bijections aide vraiment un élève de Terminale à comprendre le principe d'infini...

"Donc, tu ne peux pas les utiliser tels quels à l'infini" En fait on peut, cf mon post ci dessus. Mais pas question de comparer l'infini, ca ne voudrait rien dire.
Mais on peut comparer des cardinaux...

A noter le "tels quels" dans ma phrase: leur utilisation nécessite de les redéfinir sur un ensemble comprenant + et - oo.

Sinon, même remarque que pour martini_bird: un élève de terminale ayant des problèmes avec la notion d'infini ne comprendra absolument rien à la démonstration que tu as faite. (et si tu l'as faite pour moi, je peux t'assurer que ce n'était pas la peine )

En fait, le "but du jeu" est d'expliquer avec des mots simples et des conceptes simples la notion d'infini...

[invite61180d33]

En fait R et [0,1] ont autant de nombres...
De même, il y'a autant de nombre sur un segment aussi petit que l'on veut, que sur une surface pleine aussi grande que l'on veut...

C'est la que ce pose le probleme... c'est un peu dur de s'imaginer ça

enfin je comprend deja un peu mieux.
pour les bijections on a vu sa en cour donc je situ un peu :P

Tout ça est quand même bien compliqué et en même temps super interessant

[inviteab2b41c6]

Mais infini n'est pas UN concept.
Cela dépend des utilisations.

Qu'est ce que l'infini?
La réponse n'est pas unique.
Le but du jeu était d'expliquer la notion dans ce cas précis.
Un élève de terminale peut tres bien comprendre la notion de bijection puisque ca se voit en 1e.
Ensuite mon post est abordable a tout niveau, on peut comprendre l'essentiel sans tout comprendre non plus.

Pour comprendre les notions de cardinaux, il faut comprendre la notion de bijection, sinon c'est pas la peine d'essayer de comprendre...

[invite4793db90]

Euh... je ne suis pas sur que parler de bijections aide vraiment un élève de Terminale à comprendre le principe d'infini...

La notion de nombre vient de la notion de bijection: quatre poupées, quatre chapeaux, quatre moutons, quatre doigts (à chaques mains ). Ce qui importe, c'est qu'il y ait une relation entre ces ensembles; ce qui est commun, c'est le nombre 4.

Pour appréhender la notion d'infini actuel (opposé à potentiel, cf. google), on utilise la même démarche: deux ensembles infinis ont le "même nombre d'élément" si on peut les mettre en correspondance (rigoureusement, on dit "en bijection").

Le problème, c'est qu'en terminale, les élèves utilisent les bijections, mais que ce n'est souvent qu'un mot, sans signification mathématique ou physique.

[invite4793db90]

Parce que l'un est compact et l'autre ouvert?
Oui, mais c'est presque volontaire, en fait c'est pour casser cette idée infondée que la bijection doit etre continue...

Justement [0, 1] et R sont équipotents, mais ils ne sont pas homéomorphes, et pour un élève de terminale, le premier volet est déjà assez difficile à digérer, non?

Ceci dit, je suis d'accord avec toi: une application bijective n'a aucune raison d'être continue.

[invite61180d33]

Pour comprendre les notions de cardinaux, il faut comprendre la notion de bijection, sinon c'est pas la peine d'essayer de comprendre...

Pour info la notion de cardinaux on a vu ça en Spe math avec les nombre premier ^^
Et la bijection on en a effectivement parlé en cours mais rapidement

[invite61180d33]

Pour revenir au sujet il est donc impossible de dire que [0;2] contient plus de nombre que [0;1] ?

la notion d'infini fait si je peu dire fait "perdre tout son sens aux choses" ^^

puisque dans ce cas la on peu dire que l'on peu mettre par exemple autant de point dans un carré d'une aire de 2cm² que dans un carré d'une aire de 2km²...

[invite765732342432]

Qu'est ce que l'infini?
La réponse n'est pas unique.
Le but du jeu était d'expliquer la notion dans ce cas précis.
Un élève de terminale peut tres bien comprendre la notion de bijection puisque ca se voit en 1e.
Ensuite mon post est abordable a tout niveau, on peut comprendre l'essentiel sans tout comprendre non plus.

Pour comprendre les notions de cardinaux, il faut comprendre la notion de bijection, sinon c'est pas la peine d'essayer de comprendre...

Inutile d'être désagréable...

Ce que je veux simplement dire c'est que la question était:
[Donc je comprend pas trop...
On ne peut donc pas dire que l'intervalle [0;2] a plus de solution pourtant c'est evident...]

Ta réponse consiste en "Je t'affirme que deux intervalles ont le même nombre d'éléments si on peux les mettre en bijection, il existe une bijection entre [0;1] et [0;2], donc ces deux intervalles ont le même nombre d'éléments"

Outre que cette démonstration lui a déjà été faite en classe, je ne vois pas ce que ça apporte à la compréhension de l'infini: il s'agit plus d'admettre le principe de comparaison de cardinal que de comprendre réellement le concept.

[invite60430f4a]

je crois qu'il faut prendre en compte qu'il y a plusieurs infinis et que certains dépassent les autres ( pensons aux limites par exemple la limite de e^x en +inf ser plu grande que cele de ln(x) en + inf alor que finalement tous les deux sont repréentés par + inf )

en fait ce n'est pas parce que un intervalle a une infinité de points que deux fois cette intervalle n'a pas plus de point, au contraire je pense plutot que le stade de l'infini est plus haut chez l'un que hez l'autre....

voila

[invite61180d33]

Outre que cette démonstration lui a déjà été faite en classe, je ne vois pas ce que ça apporte à la compréhension de l'infini: il s'agit plus d'admettre le principe de comparaison de cardinal que de comprendre réellement le concept.

Je precise juste qu l'on a jamais fait sa en classe c'est juste un truc auquel j'ai pensé tout a l'heure et qui ma un peu bloqué
Donc la demonstration n'etait pas inutile quand même

[invite4793db90]

je crois qu'il faut prendre en compte qu'il y a plusieurs infinis et que certains dépassent les autres ( pensons aux limites par exemple la limite de e^x en +inf ser plu grande que cele de ln(x) en + inf alor que finalement tous les deux sont repréentés par + inf )

en fait ce n'est pas parce que un intervalle a une infinité de points que deux fois cette intervalle n'a pas plus de point, au contraire je pense plutot que le stade de l'infini est plus haut chez l'un que hez l'autre....

voila

C'est une conception trop vague et peu réaliste de l'infini: vaut mieux se documenter un peu avant de marcher sur du sable mouvant...

http://membres.lycos.fr/villemingera...e/InfiniP2.htm
http://perso.wanadoo.fr/matt95/infini/INFtheorie.htm
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Cantor.html
tous ça en un clic:
http://www.google.fr/search?hl=fr&q=...chercher&meta=

[inviteab2b41c6]

Justement [0, 1] et R sont équipotents, mais ils ne sont pas homéomorphes, et pour un élève de terminale, le premier volet est déjà assez difficile à digérer, non?

Ceci dit, je suis d'accord avec toi: une application bijective n'a aucune raison d'être continue.

Tout a fait, mais un eleve de terminale ne verra pas de probleme en fait, puisque les homéomorphismes ne sont pas connus.
Ainsi que R soit en bijection avec [0,1] ne devrait pas etre plus choquant que d'etre en bijection avec ]0,1[.
Enfin je pense...

[inviteab2b41c6]

Je precise juste qu l'on a jamais fait sa en classe c'est juste un truc auquel j'ai pensé tout a l'heure et qui ma un peu bloqué
Donc la demonstration n'etait pas inutile quand même

Note certaines choses:
Lorsque tu as une fonction f telle que 2 éléments x,x' sont envoyés vers 2 éléments y et y' différents, et que ceci est vrai pour tout x et x' distincts, alors on dit que f est injective:

Par exemple, x->x² n'est pas injective de R dans R, puisque -1 et 1 sont bien distincts, mais sont envoyés vers le meme nombre 1.

En revanche, la fonction exp de R dans R est bien injective, puisque 2éléments distincts auront une image distincte (preuve facile, par exemple par stricte croissance de exp)

Donc si une fonction est injective de A dans B, on voit bien que B contient au moins autant d'éléments que A. Sinon une fois qu'on a pris tous les elements de B, il nous resterait encore des elements de A a envoyer quelque part, et on aurait une répétition, ce qui est contradictoire.

On dit que f est une surjection de A dans B si tout element de B est atteint par un element de A.
Par exemple, exp n'est pas surjective de R dans R, car 0 n'est pas atteint par la fonction exponentielle.

La notion de surjectivité est simple a voir également:
Tout élément de B est atteint.

On dit qu'une fonction est bijective de A dans B si elle est injective et surjective de A dans B.

Donc cela veut dire que tout element de B est atteint au moins une fois, et que tout element de B est atteint au plus une fois, donc que tout element de B est atteint une et une seule fois par un element de A.
Autrement dit c'est bien la vision que l'on se fait d'avoir autant d'éléments dans 2 ensembles.

Voila la raison pour laquelle on a défini comme je l'ai fait plus haut, la notion d'infériorité de cardinaux d'ensembles infinis...

[invite4793db90]

Tout a fait, mais un eleve de terminale ne verra pas de probleme en fait, puisque les homéomorphismes ne sont pas connus.
Ainsi que R soit en bijection avec [0,1] ne devrait pas etre plus choquant que d'etre en bijection avec ]0,1[.
Enfin je pense...

Disons que le premier exemple de bijection entre ]0, 1[ et R, c'est x->tan((2x-1)Pi/2), et c'est un homéomorphisme. Tu connais une bijection simple entre [0,1] et R?

[inviteab2b41c6]

Non
Je n'en connais pas.
Mais elle existe

[invite10c91cbe]

Bonjour,

Tu connais une bijection simple entre [0,1] et R?

Si bijection "simple" il y a alors:

-Elle est non continue sur [0,1] car une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée.
-Elle n'est pas croissante non plus, car sinon les valeurs strictement supérieures à f(1) ne peuvent être atteintes.

Moralité, elle ne doit pas être très belle à voir!

Et d'ailleurs, rien qu'en construire une, ça paraît pas simple.