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entiers naturels et discrétion



  1. #1
    Petithassane

    entiers naturels et discrétion


    ------

    Question simple, mais réfléchissez-y bien.

    Quand "n" tend vers l'infini, est ce que les entiers naturels restent discrets ?

    Il me semble intuitivement qu'à partir d'un nombre indéterminable, les entiers deviennent continus, mais que ce qui compte c'est que la relation d' ordre persiste.

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : entiers naturels et discrétion

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Question simple, mais réfléchissez-y bien.

    Quand "n" tend vers l'infini, est ce que les entiers naturels restent discrets ?

    Il me semble intuitivement qu'à partir d'un nombre indéterminable, les entiers deviennent continus, mais que ce qui compte c'est que la relation d' ordre persiste.
    Je n'ai pas la moindre idée de ce que veulent dire les mots en gras dans ce contexte, peux-tu les expliciter, s'il te plait, c'est à dire leur donner une définition mathématiques.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    blable

    Re : entiers naturels et discrétion

    Bonjour,

    Soit N un nombre suffisament grand pour toi, alors N<N+1 et N<N+1/2<N+1 or, N ,N+1 sont entiers et N+1/2 ne l'est pas donc les entiers naturels restent bien discrets...

  5. #4
    Petithassane

    Re : entiers naturels et discrétion

    Je vais m'exprimer d'une autre manière.

    Soit aleph-0 le cardinal de lN et aleph-1 le cardinal de lR.

    Entre aleph-0 et aleph-1, les entiers naturels ne seraient plus discrets mais continus.

    Qu' en pensez vous ?

  6. #5
    Al Don Gate

    Re : entiers naturels et discrétion

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Je vais m'exprimer d'une autre manière.

    Soit aleph-0 le cardinal de lN et aleph-1 le cardinal de lR.

    Entre aleph-0 et aleph-1, les entiers naturels ne seraient plus discrets mais continus.

    Qu' en pensez vous ?
    Il me semble, si j'ai compris ta question, que tes "entiers continus" formeraient alors un ensemble infini de cardinal intermédiaire entre et on admet en général alors qu'un tel ensemble est soit équipotent à soit équipotent à (c'est dans le cadre des maths cohérentes avec l'axiome du continu).

    Donc en un certain sens tes "entiers continus" seraient soit des réels soit des entiers.

    Mais peut-être je m'égare...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : entiers naturels et discrétion

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Je vais m'exprimer d'une autre manière.

    Soit aleph-0 le cardinal de lN et aleph-1 le cardinal de lR.

    Entre aleph-0 et aleph-1, les entiers naturels ne seraient plus discrets mais continus.

    Qu' en pensez vous ?
    Entre et il n'y a pas d'entiers naturels, il peut même ne rien y avoir du tout avec l'hypothèse du continu.

    De plus, je ne sais toujours pas ce que tu appelles "continu" dans ce contexte la densité de la relation d'ordre ?).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    Petithassane

    Re : entiers naturels et discrétion

    Quand je dis continu, je pense dense comme peuvent l'être les réels.

    Autre chose, soit une suite convergente vers un irrationnel.
    Une suite est une relation de lN => lR.
    Il me semble bien que cette relation est une bijection. Alors dans l'ensemble de départ les éléments sont discrets et dans l'ensemble d'arrivé les éléments sont denses, bien qu'il y est bijection !
    C'est pour cela qu'il me semble intuitivement que vers l'infini, les entiers naturels deviendraient denses.

    Autre chose encore, j'ai du mal à comprendre que Q soit à la fois discret et dense. Pouvez vous m'expliquer cela ?

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : entiers naturels et discrétion

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Quand je dis continu, je pense dense comme peuvent l'être les réels.
    Toujours pas suffisamment clair.

    Je pense que tu cherches à exprimer le fait que la topologie sur N, en tant que sous-ensemble de R, induite par la topologie usuelle de R est la topologie discrète.

    Auquel cas, il n'y a pas de "variation" du caractère discret en fonction de l'entier.

    Notons qu'on doit pouvoir imaginer une topologie non discrète de N qui se réduise à la discrète pour {0, 1, ..., n} et un certain n. Selon une telle topologie, on pourrait peut-être donner un sens à une phrase comme "Quand "n" tend vers l'infini, les entiers naturels ne sont plus discret", en l'interprétant comme "L'ensemble {0..n} n'est pas discret à partir d'un certain rang".


    Question annexe, pour d'autres: existe-t-il une condition simple (séparation par exemple) qui, combinée avec dénombrable, implique topologie discrète?

    Autre chose, soit une suite convergente vers un irrationnel.
    Une suite est une relation de lN => lR.
    Il me semble bien que cette relation est une bijection.


    Autre chose encore, j'ai du mal à comprendre que Q soit à la fois discret et dense. Pouvez vous m'expliquer cela ?
    Selon quelle définition Q est-il discret?

    Parce que, pour la topologie induite sur Q par la topologie usuelle de R, Q n'est pas discret.

    Cordialement,

    PS: Que t'évoque l'article http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_discret ???

  12. #9
    nhassane

    Re : entiers naturels et discrétion

    je pensse que ton problemme est semilaire au suivant :

    tu prend un triangle ABC de mesure d angle res a1, b1, c1 qlq pas equilateral vous tracer les bissectrice exterieur a chaque anlge ainssi tu aura transformer ton premier triangle (c est ca convien) en un autre former par l intersection de ces bissectrices on recomence la transformation pour le 2eme et le 3eme jusq le n eme triangle de mesure rep an, bn , cn

    on prend (an) opose à (an-1) dans la figure tu trouve une relation entre

    an et a1 on paura facilement virifier que : n tend vert l ifinie alors an tend pi/6
    de meme pour bn et cn tend tout les deux vert pi/6.

    une mesure qui converge ver pi/6

    la question comment on peut imaginer ca. un triangle sa surface(bornee) diverege par cette transformation tout en gardon des mesure a ses angles .

  13. #10
    Médiat

    Re : entiers naturels et discrétion

    Double emploi
    Dernière modification par Médiat ; 20/06/2008 à 16h58.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Médiat

    Re : entiers naturels et discrétion

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Quand je dis continu, je pense dense comme peuvent l'être les réels.
    Dans ce cas les entiers ne sont pas denses.

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Autre chose, soit une suite convergente vers un irrationnel.
    Une suite est une relation de lN => lR.
    Il me semble bien que cette relation est une bijection. Alors dans l'ensemble de départ les éléments sont discrets et dans l'ensemble d'arrivé les éléments sont denses, bien qu'il y est bijection !
    Je suppose que la bijection à laquelle tu fais allusion est la bijection entre l'ensemble des suites convergentes de rationnels, donc l'ensemble de départ est l'ensemble des suites, et non IN, c'est donc l'ensemble des suites dont il faut se demander s'il est dense ou non, et pour quelle relation d'ordre.

    D'autre part une fonction qui ne respecte pas la relation d'ordre n'a aucune raison de respecter les propriétés de cette relation, par exemple, soit , cet ensemble peut être muni "naturellement" de deux relations d'ordres, celle héritée de et l'ensemble est alors dense, et celle transportée par la fonction sin : et l'ensemble est alors discret, d'où l'intérêt d'écrire est dense, et est discret (et non E est ...)


    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    C'est pour cela qu'il me semble intuitivement que vers l'infini, les entiers naturels deviendraient denses.
    Non, non, non.

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Autre chose encore, j'ai du mal à comprendre que Q soit à la fois discret et dense. Pouvez vous m'expliquer cela ?
    Q est dense pour une certaine relation d'ordre et discret pour d'autres, cf l'exemple ci-dessus.
    Dernière modification par Médiat ; 20/06/2008 à 16h59.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Petithassane

    Re : entiers naturels et discrétion

    Sur Wikipédia, à l'article topologie, voici ce que j'ai lu comme phrase :
    " La toplogie générale ne tente pas d'élucider la question très complexe de la "composition du continu" ".

    Cela prouve bien qu'il y a encore des "mystères" du côté de la discrétion et de la continuité.

    Mais Mmy l' a bien dit, on pourrait trouver un topologie telle que les entiers deviennent non discret à partir d'un certains rang de n.

    Faisons une comparaison:
    disons que lN est borné par l'infini mais que celui-ci n' appartient pas à lN.
    Cette situation est comparable à l'intervalle ouvert de lR, [0,1[, qui est borné par 1 alors que 1 n'appartient pas à l'intervalle.
    Imaginons une suite de lN => [0,1[ , qui tende vers le plus grand élément de [0,1[. Puisque [0,1[ n'a pas de plus grand élément, la suite tendrait en fait vers 1. Mais comme 1 n'appartient pas à [0,1[, la suite n'atteindra jamais 1.

    J'en conclue, intuitivement, que lorsque n tend vers l'infini, il ne l'atteint jamais et que lorsqu'une suite converge vers un irrationnel, elle ne l'atteint jamais même à la limite.

    Quel rapport avec le sujet de ce fil ?
    Je ne sais plus, mais je vais y réfléchir.

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  17. #13
    Médiat

    Re : entiers naturels et discrétion

    Si tu veux une topologie un peu exotique sur IN, tu peux jeter un oeil sur la topologie induite par le filtre de Fréchet, je crois que cela correspond bien à ton idée que vers l'infini, tout se confond : cette topologie est compacte (donc toujours séparée).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    nhassane

    Re : entiers naturels et discrétion

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Si tu veux une topologie un peu exotique sur IN, tu peux jeter un oeil sur la topologie induite par le filtre de Fréchet, je crois que cela correspond bien à ton idée que vers l'infini, tout se confond : cette topologie est compacte (donc toujours séparée).
    mais se confond ou ????

    pardonner moi ce que suiv c est pas de mathematique ,mais c est une facon de voir les choses.

    si on prend l exemple de notre amis petihassane pour les suite de lN => [0,1[ qui diverge ver 1

    on sait aussi qu il exite une bijection entre [0,1[ et la droite (qui represente) les nombres real

    donc on peu faire correspendre l interval [0,1[ a une (droite noter (01)) anssi toute suite Un de l itevalle

    [0,1[ sera representer par une suite Vn dans la droite (01) qui lui corespend avec Vn-->infinie quand Un-->1

    ca d une part

    si on prend de meme l intervalle [1,2[ corespend a une droite noter (12) alors comme

    les intervals [0,1[ et [1,2[ inclu dans une meme droite alors on peu dire que les droites (01) et (12) sont dans un meme plan

    de plus l interssection [0,1[ et [1,2[ est vide ,il on est de eme pour les droites (01) et (12) donc on conclu (01) et (12)

    sont deux droites parallele d un meme plan.

    tout les point de segment [Un,Un+1] quand n-->1 se confond avec (le point 1) d un autre interval [1,2[

    il on est de meme pour les points de segment [Vn,Vn+1] de la droite (01) quand n--> L infinie se confond a un poind de la droite (12) qui est parallele a (01)

    en a aussi une analogie dans la physique realativiste :

    la variable n corespend a la vitese d un corps

    l infinie corespend a la vitesse de la lumiere

    on parle souven des espace parallele.

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