Entiers naïf vs Entiers formels

**Médiat** · 06/02/2015, 12h03

Bonjour,

Envoyé par PlaneteF

Tu veux plutôt dire que ce cours t'a permis d'avoir un oral de Capes successeur du successeur du successeur du successeur du successeur de zéro ans plus tard.

J'aurais pu donner une autre définition sur le modèle 5 = s⁵(0), mais ça, ce n'est, généralement, pas facile à faire comprendre.

**PlaneteF** · 06/02/2015, 12h13

Envoyé par Médiat

J'aurais pu donner une autre définition sur le modèle 5 = s⁵(0), mais ça, ce n'est, généralement, pas facile à faire comprendre.

J'imagine qu'il y a une finesse dans ce que tu viens d'écrire, ... mais là je ne vois pas où tu veux en venir

Cdt

**Médiat** · 06/02/2015, 12h24

La subtilité (voire la difficulté) réside dans le fait que les deux "5" qui apparaissent dans 5 = s⁵(0) ne sont pas le même objet (sinon celui de droite ne pourrait pas définir celui de gauche).

**PlaneteF** · 06/02/2015, 12h40

Envoyé par Médiat

La subtilité (voire la difficulté) réside dans le fait que les deux "5" qui apparaissent dans 5 = s⁵(0) ne sont pas le même objet (sinon celui de droite ne pourrait pas définir celui de gauche).

J'étais OK là dessus à la première lecture, ... mais ce que je n'ai pas saisi c'est le $\; s^5(0) \;$ que tu écris, c'est un simple abus d'écriture plutôt que de se palucher $\, s(s(s(s(s(0))))) \,$ , ... ou bien il y a derrière ça une définition par ailleurs du $\, 5 \,$ en exposant ?

Cdt

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 06/02/2015, 13h00

Envoyé par PlaneteF

ce que je n'ai pas saisi c'est le $\; s^5(0) \;$ que tu écris, c'est un simple abus d'écriture plutôt que de se palucher $\, s(s(s(s(s(0))))) \,$

C'est plus une facilité d'écriture qu'un abus, si on comprend bien que le 5 de gauche devient, par cette définition un élément du langage formel, alors que celui de droite, n'est surtout pas un objet du langage, mais représente un entier "naïf", c'est à dire que c'est bien une abréviation pour s(s(s(s(s(0))))), abréviation qui prend toute son importance pour remplacer s^{989879878787989878}.

On n'est plus vraiment au niveau lycée, mais dans la mesure où il est toujours bon de se poser des questions :
Je n'ai aucune restriction à écrire $\text{Pour tout } n\, \forall x\exists y\,(y = s^n(x))$ , alors que je me refuse farouchement à écrire $\forall n\, \forall x\exists y\,(y = s^n(x))$

La première de ces phrases est "vraie" la deuxième ne veut rien dire.

Pour aller plus loin, il faudrait créer un fil dans le supérieur.

**PlaneteF** · 06/02/2015, 13h10

Envoyé par Médiat

(...) mais représente un entier "naïf", (...)

Par "entier naïf", tu entends "entier du méta-langage" ?

**Médiat** · 06/02/2015, 13h14

Oui, c'est bien cela.

**PlaneteF** · 06/02/2015, 13h45

Envoyé par Médiat

Oui, c'est bien cela.

Oui, effectivement, là maintenant je vois très bien où tu veux en venir

...

D'ailleurs ce que tu évoques là illustre très bien pourquoi il est généralement conseillé de bien distinguer les éléments du langage ou ce qui s'y rapporte comme :

$\, \forall \,$ , $\, \exists \,$ , $\, \wedge \,$ , $\, \vee \,$ , $\, \neg \,$ , $\, \rightarrow \,$ , $\, \leftrightarrow \,$ , "formule", "démonstration"

de leur équivalent en méta-langage en prenant par exemple :

"qqs", "il existe", "et", "ou", "non", $\, \Rightarrow \,$ ou "donc" ou "implique", $\, \Leftrightarrow \,$ ou "ssi", "propriété", "preuve".

Cdt

**Médiat** · 06/02/2015, 13h48

Pour abonder dans le sens du message de PlaneteF, j'aurais pu écrire (plus clair pour certains, plus obscur pour d'autres) :

$\text{Pour tout } n\, PA\vdash \forall x\exists y\,(y = s^n(x))$ "Vraie"

$PA\vdash\forall n\, \forall x\exists y\,(y = s^n(x))$ "Aucun sens"

Sauf que j'ai gardé l'habitude de noter $\Rightarrow$ et non $\rightarrow$

**Deedee81** · 06/02/2015, 14h29

Salut,

J'adore ce fil. J'ai appris plein de choses. Par exemple au message 5, j'ai failli réponde "pourquoi pas facile à faire comprendre ?, c'est pourtant naturel est plus facile".... mais j'ai heureusement vu les messages suivants

Merci à Médiat pour ces explications limpides.

Envoyé par Médiat

Je n'ai aucune restriction à écrire $\text{Pour tout } n\, \forall x\exists y\,(y = s^n(x))$ , alors que je me refuse farouchement à écrire $\forall n\, \forall x\exists y\,(y = s^n(x))$
La première de ces phrases est "vraie" la deuxième ne veut rien dire.

Pourquoi cela ? Parce que "n" fait partie du métalangage ? Mais ne peut-ton utiliser $\forall$ comme abbrévitation de "pour tout" ? (en dehors du risque de confusion je ne vois rien qui l'empêche, ou alors la convention pour ce symble est de l'utiliser que pour les éléments d'un ensemble ?)

**gg0** · 06/02/2015, 14h40

Bonjour Deedee81.

"en dehors du risque de confusion.." C'est bien le problème. Enseignant, j'ai toujours appris à mes élèves à séparer les explications en langage courant et les formules mathématiques. Donc à éviter d'utiliser comme abréviations des symboles mathématiques détournés de leur usage. Tout simplement parce que pour pouvoir travailler avec une formule mathématique (ou logique), il faut savoir où elle commence et où elle finit.

Cordialement.

**Médiat** · 06/02/2015, 14h41

Salut,

Envoyé par Deedee81

Pourquoi cela ? Parce que "n" fait partie du métalangage ?

Oui, c'est là le "truc"

Envoyé par Deedee81

Mais ne peut-ton utiliser $\forall$ comme abbrévitation de "pour tout" ? (en dehors du risque de confusion je ne vois rien qui l'empêche, ou alors la convention pour ce symble est de l'utiliser que pour les éléments d'un ensemble ?)

Non, ce n'est pas lié à la notion d'ensemble, par contre le risque de confusion est beaucoup trop grand, (cf., dans un cas similaire (et courant) ta réaction sur le message 5

), jamais je ne l'utiliserais ainsi, ne serait-ce que pour bien montrer que l'on écrit une infinité de formules (dans le premier cas) et non une (dans le deuxième s'il était bien formé).

Les formulations du message #13 montre bien que "Pour tout n" dans le premier cas est en dehors du champ formel, qui démarre à $PA \vdash$ (qui se lit "l'Arithmétique de Peano démontre ...", alors que dans la deuxième phrase $\forall n$ est inclus (à tort) dans le champ formel

**Deedee81** · 06/02/2015, 15h48

D'accord. C'est en effet un excellent conseil.

J'ai l'habitude de bien séparer les choses en physique mais parfois en math j'ai plus de mal.

Merci gg,

**PlaneteF** · 06/02/2015, 16h19

Envoyé par gg0

"en dehors du risque de confusion.." C'est bien le problème. Enseignant, j'ai toujours appris à mes élèves à séparer les explications en langage courant et les formules mathématiques. Donc à éviter d'utiliser comme abréviations des symboles mathématiques détournés de leur usage. Tout simplement parce que pour pouvoir travailler avec une formule mathématique (ou logique), il faut savoir où elle commence et où elle finit.

Salut gg0, ... Ce que tu dis là est sans aucun doute intéressant, mais ce n'est pas exactement ce dont on parlait avec Médiat

En effet dans les mathématiques il n'y pas de distinguo entre par exemple $\, \forall \,$ et "quel que soit", hormis la question de savoir si l'on abrège ou pas l'écriture. Les deux expressions font partie du même niveau de langage. De la même manière, toujours en mathématiques, une "démonstration" et une "preuve" c'est la même chose, c'est juste une question de choix de vocabulaire.

Par contre ce dont on parlait, c'était de logique mathématique, c'est-à-dire de méta-mathématique, ou encore de mathématique portant sur les mathématiques elle-mêmes. A partir de là il n'y a plus un niveau de langage, mais 2 niveaux, avec le langage formel et le méta-langage. Ainsi pour reprendre les 2 exemples précédents, $\, \forall \,$ est un symbole du langage formel alors que "quel que soit" fait partie du méta-langage. De la même manière une "démonstration" devient un objet d'étude mathématique au même titre qu'un espace vectoriel par exemple, alors qu'une "preuve" fait partie du méta-langage.

Cordialement

**gg0** · 06/02/2015, 16h59

PlaneteF,

je répondais à Deedee81. Mon message est d'ailleurs explicite : Tu n'as pas copié la première phrase : "Bonjour Deedee81."

Par contre, je connais bien la différence que vous évoquez, mais je ne lui reconnais pas de valeur différente que celle qu'il y a partout entre parler d'une formule et écrire une formule. Ce qui est le sens de mon intervention. J'ai toujours refusé de sacraliser des thèmes, des écritures, ou des concepts (*).

Cordialement.

(*) Ayant commencé à enseigner en pleines "maths modernes", ce ne fut pas toujours évident

**PlaneteF** · 06/02/2015, 17h21

Envoyé par gg0

je répondais à Deedee81. Mon message est d'ailleurs explicite : Tu n'as pas copié la première phrase : "Bonjour Deedee81."

Mais j'en étais pleinement conscient. Je rappelais juste ce qui, de mon point de vue, me semble être le fil conducteur de la discussion.

Envoyé par gg0

Par contre, je connais bien la différence que vous évoquez, (...)

Je n'en ai jamais douté une seule seconde

Envoyé par gg0

(...) mais je ne lui reconnais pas de valeur différente que celle qu'il y a partout entre parler d'une formule et écrire une formule. Ce qui est le sens de mon intervention.

Disons que de mon côté je fais une différence entre "parler d'une formule", chose que l'on fait partout comme tu le dis ... et "formaliser ce que l'on peut dire d'une formule" chose que l'on fait justement pas partout mais bien en logique mathématique

Cordialement

**Médiat** · 06/02/2015, 22h55

Bonsoir,

Pour illustrer de façon encore plus brutale cette différence, voici 2 théories extrêmement différentes :
Soit AP la théorie de l'arithmétique de Peano, m un nouveau symbole de constante, et les 2 théories :
$AP' = AP + \text{ pour tout } n (n <m)$
$AP" = AP + \forall n (n < m)$

invite51d17075 · 06/02/2015, 23h32

messieurs, chers amis.
le sujet a été posté dans le forum math du collège et du lycée.
et vous en venez à des considérations ( très intéressantes ) mais HS.
alors faites un fil sur l'arithmétique de Penao !
car je ne suis pas certain que vos explications "racontent" qcq chose au posteur initial.
qui est, me semble t-il le premier concerné par sa question, même si la réponse est souvent :
"cela peut intéresser qcq d'autre"
cela peut être parfois une source de dérive.

**PlaneteF** · 06/02/2015, 23h41

Envoyé par ansset

messieurs, chers amis.
le sujet a été posté dans le forum math du collège et du lycée.
et vous en venez à des considérations ( très intéressantes ) mais HS.
alors faites un fil sur l'arithmétique de Penao !
car je ne suis pas certain que vos explications "racontent" qcq chose au posteur initial.
qui est, me semble t-il le premier concerné par sa question, même si la réponse est souvent :
"cela peut intéresser qcq d'autre"
cela peut être parfois une source de dérive.

Moi j'verrais bien ce fil dans un forum sur les tubes des années 80 ...

Ben quoi, c'est bien France Gall qui chantait en son temps "Il jouait du Peano debout, ..."

invite51d17075 · 06/02/2015, 23h47

"tu te moques, tu te moques , mais tu te moques de qui" ! ( lavoie )
oui bon , il est est guebequois, c'est pas de sa faute non plus

.

**Médiat** · 07/02/2015, 07h40

Messages déplacés à partir du fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5113945

**PlaneteF** · 07/02/2015, 09h51

Bonjour,

Envoyé par Médiat

Soit AP la théorie de l'arithmétique de Peano, m un nouveau symbole de constante, et les 2 théories :
$AP' = AP + \text{ pour tout } n (n <m)$
$AP" = AP + \forall n (n < m)$

Tu as aussi rajouté un nouveau symbole de relation $\, < \,$ qui n'est pas dans le langage de $\, AP \,$ .

Cordialement

**Médiat** · 07/02/2015, 09h58

Bonjour,

Envoyé par PlaneteF

Tu as aussi rajouté un nouveau symbole de relation $\, < \,$ qui n'est pas dans le langage de $\, AP \,$ .

Oui (stricto sensu) et non (cela ne change aucun théorème de AP) puisque < est définissable dans le langage de AP :

$\forall x\, \forall y \, (x < y) \Leftrightarrow \exists z\,(y = x + s(z))$

**PlaneteF** · 07/02/2015, 10h38

Envoyé par Médiat

Oui (stricto sensu) et non (cela ne change aucun théorème de AP) puisque < est définissable dans le langage de AP :

$\forall x\, \forall y \, (x < y) \Leftrightarrow \exists z\,(y = x + s(z))$

En fait on en revient à une discussion que l'on a déjà eu ensemble sur ce qu'on entend par "théorie" et en l'occurrence par $\, AP \,$ .

Dans mon esprit quand tu écris :

Envoyé par Médiat

$AP" = AP + \forall n (n < m)$

... je lis, en notant $\, A_1 \,$ , ... $\, A_8 \,$ les 8 axiomes de $\, PA \,$ :

$\; AP'' \, = \, \underbrace{\, A_1 \, \cup \, \cdots \, \cup \, A_8 \,}_{AP} \, \cup \, \{ \forall n (n<m) \} \,$

Dans ce cas on a : $\, \mathcal{L}_{AP''} \, = \, \{ 0, \, m, \, s, \, +, \, \times, \, < \} \,$

Maintenant je me souviens très bien de notre discussion où tu disais que de ton côté tu avais plutôt rencontré une définition plus élargie de ce que l'on note ici $\, AP \,$ , ... d'où ta remarque !

Cdt

**Médiat** · 07/02/2015, 10h45

Envoyé par PlaneteF

$\; AP'' \, = \, \underbrace{A_1 \, \cup \, \cdots \, \cup \, A_8}_{PA} \, \cup \, \{ \forall n (n<m) \} \,$

Dans ce cas on a : $\, \mathcal{L}_{AP''} \, = \, \{ 0, \, m, \, s, \, +, \, \times, \, < \} \,$

On peut aussi écrire : $\; AP'' \, = \, \underbrace{A_1 \, \cup \, \cdots \, \cup \, A_8}_{PA} \, \cup \, \{ \forall n \,\exists k\, (n + s(k) = m) \} \,$

Dans ce cas on a : $\, \mathcal{L}_{AP''} \, = \, \{ 0, \, m, \, s, \, +, \, \times \} \,$ et on n'a rien changé ; à part, éventuellement quelques propriétés syntaxiques, mais AUCUN théorème, c'est donc bien la même théorie.

**PlaneteF** · 07/02/2015, 11h07

Envoyé par Médiat

(...) c'est donc bien la même théorie.

Oui, ... modulo toujours la même remarque sur ce qu'on appelle une théorie

A noter que je me fais l'avocat d'aucune des définitions possibles, franchement j'ai n'ai pas le moindre penchant à ce sujet, ... je cherche juste ici à être sûr qu'au finish on dise sur le fond la même chose.

Cdt

**Médiat** · 07/02/2015, 11h18

Envoyé par PlaneteF

Oui, ... modulo toujours la même remarque sur ce qu'on appelle une théorie

Si je vous dis que tout modèle de l'une est modèle de l'autre, et vice versa (Merci le théorème de complétude de Gödel (pas de ma faute

))

**PlaneteF** · 07/02/2015, 11h46

Envoyé par Médiat

Si je vous dis que tout modèle de l'une est modèle de l'autre, et vice versa

Ben si je comprends bien où tu veux en venir, je réponds qu'un modèle d'une théorie, c'est avant toute chose une interprétation du langage de cette théorie et qu'ici dans notre exemple les 2 langages ne sont pas les mêmes (l'un incorpore le symbole $\, < \,$ , l'autre pas). Donc on en revient à des questions de définitions prises au sens hyper strict ou pas !

Envoyé par Médiat

Merci le théorème de complétude de Gödel (...)

On ne le répétera jamais assez

Cdt

invite51d17075 · 07/02/2015, 11h49

zetes pénibles les matheux

mais c'est enrichissant .
Cdt

**Médiat** · 07/02/2015, 11h52

Est-ce que pour vous la logique classique du 1er ordre avec (tout ce qu'il faut et) les connecteurs $\neg$ et $\wedge$ est différente de la logique avec les connecteurs $\neg$ et $\vee$ , ou différente de la logique avec le connecteur $|$ ?

Entiers naïf vs Entiers formels

Entiers naïf vs Entiers formels

Re : 2 + 2 = 4

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Re : 2 + 2 = 4

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