Bonjour je suis élève en première S et j'aurais besoin de votre aide pour un exercice que je n'ai pas compris.
1.Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0
2. En déduire la somme des n premiers nombres entier pairs non nuls : S=2+4+...+2n
3.En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls
Merci de votre aide!
Bonjour ,
As-tu au moins essayé de résoudre cet exercice ?
Pour le 1. , on te dit que le polynôme P est de degré 2. Tu peux donc, par exemple, étudier la question en posant P(x) = ax²+bx+c ..
Oui biensur mais je bloque, je n'arrive pas a comprendre ce polynome sous cette forme.
Donc sa revient à faire : P(x+1)-ax²+bx+c=2x ?
Tout comme tu as explicité P(x) , tu peux expliciter P(x+1).
Alors sa revient à faire ça si j'ai compris: ax²+bx+c+1-ax²+bx+c=2x ?
Non , là tu as écrit P(x) + 1 - P(x) , qui, au final, est égal à 1..Alors sa revient à faire ça si j'ai compris: ax²+bx+c+1-ax²+bx+c=2x ?
P(x+1) est l'évaluation de polynôme P en x+1. Si P(x) = a * x²+ b*x + c , alors P(x+1) = ?
Salut
Dans ax²+bx+c
Tu remplace x par (x+1)
Alors P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c ?
Exactement. Donc peux-tu trouver un polynome de degré 2 vérifiant ces conditions ?
Donc je trouve: [ a(x+1)²+b(x+1)+c]-[ax²+bx+c]=2x ?
J ai plus qu'à réduire l'équation en faite?
Oui. Tu ne devrais pas avoir à poser cette question. Une fois que tu as ton équation , la première chose à faire est de simplifier l'expression et voir ce que ça donne.
Ok merci, je trouve ceci alors: 2ax+a+b=2x
Mais le problème c'est que ce n'est pas osus la forme d'un polynome de second degré, et je sais pas comment faire ensuite
Il faut aussi bien comprendre ce que tu fais et ce que tu cherches.
Comme tu as écrit P(x) = ax²+bx+c , les inconnues de tes équations sont a,b et c.
Et puis, tu as aussi une deuxième équation à exploiter.
Ma deuxième equation c'est: P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c ?
Je crois j'ai compris, j'ai fait 2a=2 et a+b=0 et je résout les deux équations. Par contre, comment résoudre ma deuxième équation a deux inconnues? :/ (a+b=0)
Non , là tu retranscrit juste que P est un polynôme de degré 2.
Je parlais de P(0) = 0.
De plus :Rappel : Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux. Tu peux donc séparer cette équation en deux équations , mais ça, tu devrais déjà le savoir.2ax+a+b=2x
EDIT : Ok , tu l'avais déjà écrit.
A partir de ces deux équations , tu peux trouver a et b. Il ne devrait pas y avoir de problème.Je crois j'ai compris, j'ai fait 2a=2 et a+b=0 et je résout les deux équations. Par contre, comment résoudre ma deuxième équation a deux inconnues? :/ (a+b=0)
Oui donc je trouve a=1 et donc b=-1
C'est ça?
Tu remplace a par sa valeur
OUps , non c' est deja fait !
Oui, ducoup c'est bon, et si je remplace a et b dans le polynome je trouve ceci:
2ax+a+b=2x
2*(1)*x+1+(-1)=2x
2x=2x
Oui , il te reste à trouver c.
Mais comment je le trouve? Et c n'est pas égale à 0? Car il est marqué P(0)=0
Si si , c'est bien ça.
Bha je comprend pas.. mon polynome est de la forme " 2x "?
Oui donc je trouve a=1 et donc b=-1a=1 , b=-1 , c=0 , donc P(x) = ...Et c n'est pas égale à 0?
