Différence entre Dérivée covariante et Dérivée de Lie

[fabio123]

Bonjour,

Je viens de terminer une petite animation où j'ai voulu illustrer le transport parallèle d'un vecteur le long d'une géodésique (appelés aussi "great circles") sur la surface d'une sphère :

Voici le lien où vous pouvez la faire tourner (vous pouvez jouer sur la longitude/latitude ainsi que les coordonnées du vecteur à transporter) :

covariant derivative simulation

Maintenant, j'aimerais faire le même de genre de simulation mais pour illustrer la dérivée de Lie que j'ai du mal à appréhender par rapport à la dérivée covariante.

Si quelqu'un pouvait me donner quelques conseils, notamment les subtilités entre la dérivée covariante et la dérivée de Lie, je suis preneur. D'après ce que j'ai compris, pour la dérivée de Lie, il faut transporter le référentiel le long d'un champ vectoriel mais du coup, je ne sais comment m'y prendre dans mon cas avec une sphère. Toute idée est la bienvenue.

Merci par avance
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[ThM55]

La dérivée covariante suppose la donnée d'une connexion: une correspondance linéaire entre les espaces tangents de points voisins. Avant de prendre la limite pour la dérivée, on "transporte parallèlement", c'est-à-dire grâce à la connexion, le champ de vecteurs qu'on veut dériver. En géométrie riemanienne, la connexion est la connexion "métrique", l'unique connexion pour laquelle la dérivée covariante de la métrique est nulle. Mais on peut définir une connexion indépendamment de toute métrique. Je pense que votre simulation concerne la connexion riemannienne.

La dérivée de Lie suppose en effet la donnée d'un autre champ de vecteur, mais la manière correcte de l'interpréter c'est de penser à un groupe local à 1 paramètre de difféomorphismes (tel que est le neutre, la transformation identique). Un tel groupe local est bien sûr engendré par le champ de vecteurs dont il est le flot intégral, mais l'importance de la dérivée de Lie est de révéler les symétries d'une variété. De plus on sait comment un difféomorphisme applique un vecteur d'un espace tangent à un autre, c'est l'application différentielle. Pour trouver la dérivée de Lie d'un tenseur T, on évalue le tenseur en f_t(x), et on le tire vers l'espace tangent en x par la différentielle de l'inverse de . On fait la différence avec le tenseur en x et on prend la limite pour t->0:



Cette définition est indépendante de la carte choisie. Donc c'est bien une dérivée invariante, mais elle dépend du champ de vecteur choisi pour le flot. A noter que si le tenseur dont on calcule la dérivée (ici T) est un vecteur, la dérivée de Lie est le commutateur des champs de vecteurs.

Je ne sais pas du tout comment simuler cela ni ce que vous voulez faire avec une simulation. Il y a en effet une infinité de choix possibles pour des difféomorphismes sur votre sphère. C'est totalement arbitraire. Ceci est à comparer avec la connexion riemannienne que j'ai mentionnée plus haut: elle est unique si la métrique est donnée. Toutefois, si le flot est une isométrie, la dérivée de Lie du tenseur métrique est nulle. On serait donc dans une situation un peu analogue. Le champ de vecteur de ce difféomorphisme est ce qu'on appelle un vecteur de Killing. L'existence de vecteurs de Killing (ils obéissent à une équation aux dérivées partielles spécifique, on peut les caractériser) montre celle d'une symétrie de la variété. La sphère a des isométries simples, des rotations. Mais c'est peut-être un choix trop restrictif?