connexion et dérivée covariante

[mach3]

Bonjour,

Je me plonge dans la RG depuis quelques semaines maintenant et l'approfondissement de certaines notions est... disons compliqué pour quelqu'un qui n'a pas suivi de vrai cours de maths depuis 14 ans (DEUG). Je voudrais vous soumettre ce que je crois avoir compris sur un point en particulier, afin d'avoir des compléments ou des corrections. Pardonnez d'avance les inexactitudes dans le langage.

Je considère une variété, sur la quelle je repère les points par un ensemble de coordonnées . Je considère l'espace tangent à cette variété en un point P, avec un ensemble de coordonnées .
On a, dans le tangent, des vecteurs base correspondant aux coordonnées de la variété, , qui changent si on se déplace sur la variété et ceux correspondant aux coordonnées du tangent , qui ne changent jamais. Le lien exact entre les coordonnées et les vecteurs de base correspondant dans le tangent est encore un peu flou pour moi (entre deux bases d'un espace euclidien, je n'ai pas de soucis, mais là... il n'y a pas de vecteurs dans la variété!).

La dérivée covariante d'un vecteur de base suivant la direction d'un autre vecteur de base est un vecteur du tangent défini comme suit :

Cela traduit comment ce vecteur de base change dans le tangent quand on se déplace (sous-entendu on va du point P à un point infinitésimalement proche, P' et on regarde comment le vecteur a changé entre le tangent en P et le tangent en P') suivant la direction de l'autre vecteur de base.

Si j'exprime en fonction des vecteurs de base , cela devient


La dérivée covariante d'un vecteur de base du tangent est nulle (la base du tangent ne change pas), donc :



ce qui permet de définir , la connexion, comme


merci d'avance pour vos commentaires, corrections et précisions!

m@ch3
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Commencons par le debut,

Je considère une variété, sur la quelle je repère les points par un ensemble de coordonnées . Je considère l'espace tangent à cette variété en un point P, avec un ensemble de coordonnées .
On a, dans le tangent, des vecteurs base correspondant aux coordonnées de la variété, , qui changent si on se déplace sur la variété et ceux correspondant aux coordonnées du tangent , qui ne changent jamais. Le lien exact entre les coordonnées et les vecteurs de base correspondant dans le tangent est encore un peu flou pour moi (entre deux bases d'un espace euclidien, je n'ai pas de soucis, mais là... il n'y a pas de vecteurs dans la variété!).

Qu'est ce que tu veux dire par "qui ne changent jamais" pour les . Déja quelle est ta définition des , j'ai l'impression que tu prend, une base locale de champs de vecteurs tangents qui soient parallèles (i.e tels que les dérivés ), c'est toujours possible à l'ordre 1 en ton point p, bien sur, mais ca n'est pas possible sur un voisinage de p, c'est d'ailleurs une condition necessaire et suffisante pour la courbure en p soit nulle.

Bref, quelle est ta définition des ?

[Amanuensis]

On a, dans le tangent, des vecteurs base correspondant aux coordonnées de la variété, , qui changent si on se déplace sur la variété

Il y a un risque de problème conceptuel, là. Ce ne sont pas les qui "changent", mais carrément l'espace pour lequel une base est définie: on peut dire que l'espace vectoriel tangent "change" si on se déplace sur la variété.

C'est bien ce "changement" qui amène la nécessité d'une connexion pour étudier l'évolution d'un vecteur le long d'une ligne (par exemple).

(Et c'est aussi une différence fondamentale avec l'euclidien de l'enseignement élémentaire, qui nous fait "croire" qu'on peut parler de l'espace vectoriel lié à une variété comme un unique espace.)

[Amanuensis]

Si j'exprime en fonction des vecteurs de base , cela devient

Pourquoi faire intervenir une seconde base, et, surtout, qu'est-ce qui caractérise cette seconde base?

L'idée est d'étudier la formule de changement de champ de bases? (Auquel cas ce qu'on devrait obtenir est l'expression des Christoffel pour un champ de bases en fonction des Christoffel de l'autre...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

En fait d'une part j'ai vu la démo de l'équation des géodésiques dans le cadre de la RG, on part du fait que dans un référentiel de chute libre (ou Lorentzien, ou Minkowskien), avec des coordonnées , l'accélération est nulle (si pas de forces) et qu'en changeant les coordonnées pour obtenir celles d'un autre référentiel , on obtient une relation liant l'accélération dans cet autre réferentiel et la vitesse via les coefficients de Cristofel :



avec :

Les coordonnées sont celles du tangent, alors que les coordonnées sont celles de la variété (généralement courbée).

D'autre part, je tombe sur une définition de la dérivée covariante, qui mentionne que (et il vient très rapidement que si on s'intéresse à , avec U la vitesse, on retombe sur l'équation des géodésiques).
Donc du coup j'ai fait ma tembouille pour retrouver l'expression des coefficients de Cristofel à partir de ça, mais il faut dire que je ne comprends pas encore bien ce que je fais, notamment, je ne sais pas vraiment ce que sont mes vecteurs de base e et epsilon justement... Je sais en revanche qu'un vecteur U du tangent peut s'écrire et qu'on a .

J'espère que vous pourrez m'aider un peu mieux avec ces précisions.

m@ch3

[Amanuensis]

Un premier point à clarifier est le champ de bases lié aux coordonnées.

En espérant que je n'écris pas d'erreur:

La coordonnée est un champ scalaire ; il a donc un gradient qui est défini sans avoir recours à la dérivée covariante. On a simplement . En gros, dM étant un déplacement infinitésimal (un vecteur du tangent en M), une forme linéaire (élément du cotangent en M) , et <,> l'application d'une forme à un vecteur.

(On pourrait écrire , mais c'est une écrire hérétique.)

[invite47ecce17]

Je comprend toujours pas tres bien ce que tu fais.
Tu veux exprimer les symboles de Christoffel, soit, mais en fonction de quoi??
J'ai l'impression que ce que tu fais, c'est que tu prend les coordonnées normaux sur ta variété (les \xi), ceux qui sont donnés par l'exponentielle locale, qui induit un isomorphisme entre un petit voisinage de 0 dans l'espace tangent et un petit voisinage de ton point dans la variété. Et tu te demandes comment calculer les symboles de christoffel de la connexion dans un systeme de coordonnées quelconque en fonction du changement de coordonnées x->\xi, est ce bien ce que tu veux?

[invitecbade190]

Bonjour,

Si je te dérange pas, est ce que tu peux fournir plus d'explications sur ce passage :

... c'est que tu prend les coordonnées normaux sur ta variété (les \xi), ceux qui sont donnés par l'exponentielle locale, qui induit un isomorphisme entre un petit voisinage de 0 dans l'espace tangent et un petit voisinage de ton point dans la variété.

[mach3]

Un premier point à clarifier est le champ de bases lié aux coordonnées.

En espérant que je n'écris pas d'erreur:

La coordonnée est un champ scalaire ; il a donc un gradient qui est défini sans avoir recours à la dérivée covariante. On a simplement . En gros, dM étant un déplacement infinitésimal (un vecteur du tangent en M), une forme linéaire (élément du cotangent en M) , et <,> l'application d'une forme à un vecteur.

Ah, ça rejoint un truc que je sentais, mais avec les 1-formes correspondantes . Avec la base formée par ces 1-formes, on fabrique la base duale , telle que ?
Ecrire suppose une métrique non? (en fait j'essaie d'introduire le minimum de chose dans la construction qui se fait dans ma tête, afin de ne pas particularisé quelque chose par accident... est-ce qu'on peut dire sans avoir défini de métrique??)

Tu veux exprimer les symboles de Christoffel, soit, mais en fonction de quoi??

En fait je voulais retrouver ça :

car dans la démo des géodésique que j'ai vu, le terme de droite apparait à force de tripotages et on se met à le nommer ou connexion affine à partir de là. Comme ça fait un peu parachutage sorti du chapeau, ça ne m'a pas convenu et j'ai voulu retrouvé le terme de droite grâce à (trouvé dans le wiki anglais "covariant derivative").

J'ai l'impression que ce que tu fais, c'est que tu prend les coordonnées normaux sur ta variété (les \xi), ceux qui sont donnés par l'exponentielle locale, qui induit un isomorphisme entre un petit voisinage de 0 dans l'espace tangent et un petit voisinage de ton point dans la variété.

Là je suis largué...

tout ce que je sais, c'est que dans la démo des géodésiques que j'ai vue, les \xi sont les coordonnées dans le référentiel de chute libre, donc espace-temps plat, donc espace vectoriel tangent.

Et tu te demandes comment calculer les symboles de christoffel de la connexion dans un systeme de coordonnées quelconque en fonction du changement de coordonnées x->\xi, est ce bien ce que tu veux?

c'est peut-être ça.

m@ch3

[Amanuensis]

Ecrire suppose une métrique non?

Non. Regarde la formule de linéarisation, elle n'utilise nulle part la métrique. (C'est pour ça que j'ai fait attention de mettre le produit comme une application d'une forme sur un vecteur.)

Cela demande aussi de faire attention au choix en haut ou en bas des indices, le risque étant d'introduire subrepticement et inutilement la métrique.

est-ce qu'on peut dire sans avoir défini de métrique??)

Oui

En fait je voulais retrouver ça :

Ce qui manque pour comprendre comment cela a été obtenu est le critère de choix de la base xi. Je ne pense pas qu'elle soit quelconque, mais peut-être.

[Amanuensis]

Ah, ça rejoint un truc que je sentais, mais avec les 1-formes correspondantes .

C'est une autre écriture des e_\mu (ou des e^\mu, je ne sais plus quelle est la convention).

Il y a une gymnastique sous-jacente entre base et base duale. La base duale est définie sans métrique (pour anticiper une question), l'application du ième membre de l'une sur le jième membre de l'autre est delta(i, j), relation qui ne fait pas appel à la métrique. Les positions des indices peuvent être trompeurs, mais il faut se rappeler que ce ne sont pas des indices de composantes, mais des indices pour distinguer entre membres d'une base.

[invite47ecce17]

tout ce que je sais, c'est que dans la démo des géodésiques que j'ai vue, les \xi sont les coordonnées dans le référentiel de chute libre, donc espace-temps plat, donc espace vectoriel tangent.

Non justement!
Tes coordonnées \xi sont des coordonnées sur la variétés (sur l'espace tangent aussi, du moins sur un voisinage de 0 dans l'espace tangent, mais on les voit avant tout comme coords sur la variété).
En fait si tu regardes l'equation d'une courbe géodésique , c'est une équation differentielle oridinaire, du second ordre. Par le theoreme de Lipshitz, elle admet des solutions au moins localement pour tout choix de conditions initiales. En particulier pour tout choix de vecteur tangent, v dans l'espace tangent en p, tu as une courbe, \gamma(t), telle que \gamma'(0)=v et gamma(0)=p. On appelle exp(v), la valeur de gamma(1) (qui est bien défini pour v assez petit).
exp te donne une application de T_pX, dans ta variété X, et sa diffentielle en 0 est l'identité. Elle induit donc un isomorphisme entre un petit voisinage de 0 dans T_pX et un voisinage de p dans X. De sorte que tu as une carte locale, centrée en p, et des coordonnées sur X, paramétrées par les vecteurs sur T_pX, ce sont les \xi, auquel tu fais reference (et les \epsilon sont les operateur de dérivations associés), et on les appelle coordonnées normales.

Cette carte a la particularité que la valeur des symboles de christoffel associés s'annulent au point p (à l'ordre 1).

Ce que tu fais ensuite, c'est calculer les symboles de christoffels dans une carte quelconque en fonction de ceux dans la carte \xi (qui sont nuls en p, et n'apparaissent donc pas dans la formule finale).

Les coords dans le ref de chute libre sont justement les coordonnées normales, ils te parametrisent localement l'espace temps, "comme si" c'etait l'espace temps de minkowsi (où une petite partie de celui ci. Mais ce sont des coords sur l'espace temps.

[mach3]

Ce qui manque pour comprendre comment cela a été obtenu est le critère de choix de la base xi. Je ne pense pas qu'elle soit quelconque, mais peut-être.

dans le cadre de la démo dont je parle, ce sont les coordonnées de l'espace-temps de Minkowski

voir ici pour la démo, ça devrait aider à comprendre ce que je n'ai pas capté : http://cyan1.grenet.fr/podcastmedia/...e/cours_rg.pdf page 7 et 8

Non. Regarde la formule de linéarisation, elle n'utilise nulle part la métrique. (C'est pour ça que j'ai fait attention de mettre le produit comme une application d'une forme sur un vecteur.)

Cela demande aussi de faire attention au choix en haut ou en bas des indices, le risque étant d'introduire subrepticement et inutilement la métrique.

Il faudra que l'on rediscute de ça...

m@ch3

[Amanuensis]

dans le cadre de la démo dont je parle, ce sont les coordonnées de l'espace-temps de Minkowski

Peut-être que mon écriture a porté à confusion, par "xi" je mentionnais la lettre grecque ξ

Mais par ailleurs je ne vois pas ce que vient faire là l'espace-temps de Minkowski.

[mach3]

Peut-être que ce qui particularise les coordonnées ici, et je me rend compte que j'aurais du le mentionner plus tot , c'est le fait que , , et 0 sinon (métrique de Minkowski)

m@ch3

[invite47ecce17]

En fait je voulais retrouver ça :

La formule que tu veux s'obtient immédiatement, en notant que les symboles de Christoffel dans les coords normales s'annulent en p.

Tu ecrit localement que et uses du fait que \omega(p)=0.
Tu obtiens si on note \phi le chagement de carte que evalué en p. Ca donne la formule que tu recherche.

[Amanuensis]

voir ici pour la démo, ça devrait aider à comprendre ce que je n'ai pas capté : http://cyan1.grenet.fr/podcastmedia/...e/cours_rg.pdf page 7 et 8

Vu. C'est bien ce qu'indiquait MiPaMa message #2

[Amanuensis]

(Réaction au message de MiPaMa: ) Un fil qui va faire le grand écart!

[Amanuensis]

Peut-être que ce qui particularise les coordonnées ici, et je me rend compte que j'aurais du le mentionner plus tot , c'est le fait que , , et 0 sinon (métrique de Minkowski)

Ça, mais pas que. Ce sont les coordonnées normales, comme l'indique MiPaMa

[mach3]

Bon, j'essaie de digérer cela, mais il faut dire que les post de MiPaMa sont très difficiles (ne vous vexez pas, hein!, c'est pas pour critiquer, il y a des lecteurs qui trouveront ces posts de haut niveau très utiles, dont peut-être moi dans le futur (je l'espère), mais en première lecture, vu mon petit niveau, ben je n'y comprends presque rien...)

Je tente de reformuler avec mes mots.

-On a une variété avec des coordonnées quelconques x, et en un point P, on peut définir des coordonnées "normales" qui sont telles qu'elles "coïncident" (d'une manière qui me reste à appréhendez correctement) avec les coordonnées du tangent. Question ici : de façon imagée avec les mains, peut-on dire que si on fait "rouler" la variété sur le tangent de façon à ce que les points de contact successifs forment une droite sur le tangent (et une géodésique sur la variété?), les coordonnées normales continuent de coïncider avec celles du tangent?
-Avec un jeu de coordonnée (quelles soient quelconques ou normales), on peut fabriquer des vecteurs de base e dans le tangent.
-En toute généralité, on a pour ces vecteurs de base
-Dans le cas particulier de coordonnées "normales", on a, pour les vecteurs de base fabriqué à partir de ces coordonnées,

m@ch3

[Amanuensis]

-On a une variété avec des coordonnées quelconques x, et en un point P, on peut définir des coordonnées "normales" qui sont telles qu'elles "coïncident" (d'une manière qui me reste à appréhendez correctement) avec les coordonnées du tangent. Question ici : de façon imagée avec les mains, peut-on dire que si on fait "rouler" la variété sur le tangent de façon à ce que les points de contact successifs forment une droite sur le tangent (et une géodésique sur la variété?), les coordonnées normales continuent de coïncider avec celles du tangent?

Oui, mais elles ne peuvent pas coïncider exactement (suffit pour le voir de prendre un papier quadrillé et faire rouler une sphère dessus). L'écart va augmenter avec la distance de "roulement". Ce système de coordonnée va minimiser la fonction donnant l'écart en fonction de la distance.

-Avec un jeu de coordonnée (quelles soient quelconques ou normales), on peut fabriquer des vecteurs de base e dans le tangent.
-En toute généralité, on a pour ces vecteurs de base
-Dans le cas particulier de coordonnées "normales", on a, pour les vecteurs de base fabriqué à partir de ces coordonnées,

Avec peut-être une correction: pas 0 si alpha=beta. (C'est dans le message #2, de MiPama... Mais j'ai problème de compréhension sur la nature des tenseurs. Je pense 0 aussi...)

Je comprends le truc comme ça aussi. (Et l'égalité n'est valable qu'en l'événement considéré.)

[Amanuensis]

Hmmm... Il me semble que cela donne bien tous les coeffs. de Christofell à 0 quand on applique la formule pour les deux jeux de coordonnées identiques. Si le premier terme du produit (la dérivée partielle simple) est delta(lambda, alpha), le deuxième (dérivée seconde) doit être nul.

Je ne sais pas ce que signifie la formule dans le message #2....

[invite47ecce17]

Bon, j'essaie de digérer cela, mais il faut dire que les post de MiPaMa sont très difficiles (ne vous vexez pas, hein!, c'est pas pour critiquer, il y a des lecteurs qui trouveront ces posts de haut niveau très utiles, dont peut-être moi dans le futur (je l'espère), mais en première lecture, vu mon petit niveau, ben je n'y comprends presque rien...)

T'inquiète pas, je ne me vexe pas , mais j'aurai aimé etre plus utile.

-On a une variété avec des coordonnées quelconques x, et en un point P, on peut définir des coordonnées "normales" qui sont telles qu'elles "coïncident" (d'une manière qui me reste à appréhendez correctement) avec les coordonnées du tangent. Question ici : de façon imagée avec les mains, peut-on dire que si on fait "rouler" la variété sur le tangent de façon à ce que les points de contact successifs forment une droite sur le tangent (et une géodésique sur la variété?), les coordonnées normales continuent de coïncider avec celles du tangent?
-Avec un jeu de coordonnée (quelles soient quelconques ou normales), on peut fabriquer des vecteurs de base e dans le tangent.
-En toute généralité, on a pour ces vecteurs de base
-Dans le cas particulier de coordonnées "normales", on a, pour les vecteurs de base fabriqué à partir de ces coordonnées,

m@ch3

C'est essentiellement ça. Les coordonnées normales ont la particularité qu'elles envoient droites issues de l'origine sur geodésiques. Ce qui se traduit par l'égalité que tu as ecrite.

Avec peut-être une correction: pas 0 si alpha=beta. (C'est dans le message #2, de MiPama... Mais j'ai problème de compréhension sur la nature des tenseurs. Je pense 0 aussi...)

Je comprends le truc comme ça aussi. (Et l'égalité n'est valable qu'en l'événement considéré.)

C'est bien 0 meme si \alpha=\beta, je me suis planté au debut.
Et j'insiste également sur la parenthèse soulignée, ca n'est valable qu'au point p et pas ailleurs (il faudrait faire apparaitre des (p) un peu partout dans les formules pour marquer le coup).

[mach3]

bon, ben merci à vous deux, c'est super, j'ai bien compris je pense!

m@ch3

[invite6c093f92]

Voici un truc didactique, c'est pas du "super technique" mais aborde les points énoncés:

http://www.sciences.ch/dwnldbl/physi...teGenerale.pdf

(d'ailleurs si quelqu'un peut regarder voir si il y a des énormités, en rapport à d'autres trucs, cela me semble bien, mais ce n'est qu'une impression faîte par recoupement, pas par bonne compréhension ..)

[mach3]

Oui, mais elles ne peuvent pas coïncider exactement (suffit pour le voir de prendre un papier quadrillé et faire rouler une sphère dessus). L'écart va augmenter avec la distance de "roulement". Ce système de coordonnée va minimiser la fonction donnant l'écart en fonction de la distance.

en continuant de réfléchir, petit problème avec ça : si je trace sur un grand cercle d'une sphère de rayon 1/2pi cm des graduations tous les 1mm et que je trace sur une feuille une ligne droite avec des graduations tous les 1mm, je peux enrouler ma feuille autour de la sphère (cela forme un cylindre tangent à la sphère, la ligne droite coïncidant avec le grand cercle) et j'aurais alors coïncidence exacte des graduations du grand cercle et de la ligne droite. Quand tu dis que l'écart augmente avec la distance, c'est la distance à la géodésique, pas le long de la géodésique, n'est-ce pas?

A part cela, petite question de terminologie, c'est quoi exactement la différence entre la dérivée covariante et la connexion? car les deux ont l'air tellement inextricablement lié qu'il m'est difficile d'isoler clairement deux concepts distincts.

m@ch3

[Amanuensis]

en continuant de réfléchir, petit problème avec ça : si je trace sur un grand cercle d'une sphère de rayon 1/2pi cm des graduations tous les 1mm et que je trace sur une feuille une ligne droite avec des graduations tous les 1mm, je peux enrouler ma feuille autour de la sphère (cela forme un cylindre tangent à la sphère, la ligne droite coïncidant avec le grand cercle) et j'aurais alors coïncidence exacte des graduations du grand cercle et de la ligne droite. Quand tu dis que l'écart augmente avec la distance, c'est la distance à la géodésique, pas le long de la géodésique, n'est-ce pas?

Oui, l'écart pour les autres coordonnées, orthogonales à la ligne en coïncidence. (Il y a nécessairement une ligne qui coïncide quand on "roule" ainsi...).

Cet écart, si 2D, ne porte que sur une coordonnée, cela va être une "expansion" ou une "contraction". En 3D, cela porte sur deux coordonnées, va se rajouter une rotation et une "elliptication". En 4D (cas de la RG), un peu pareil...

A part cela, petite question de terminologie, c'est quoi exactement la différence entre la dérivée covariante et la connexion? car les deux ont l'air tellement inextricablement lié qu'il m'est difficile d'isoler clairement deux concepts distincts.

À ce que j'en comprends (et surtout que j'ai mémorisé, peut-être à tort), dans la littérature (mais faudrait que je retrouve mes sources), certains auteurs distinguent les deux quand la torsion n'est pas nulle (j'imagine, à vérifier, qu'il y a plusieurs dérivées covariantes faisant sens pour une même connexion). Dans le cas torsion nulle, ce qui est postulé (par simplification) en RG, il y a relation univoque entre les deux, et on les confond.

(La "vraie" géodiff, c'est avec torsion quelconque ; mais c'est déjà bien compliqué d'avaler le cas "simple" de la torsion nulle...)

[Amanuensis]

A part cela, petite question de terminologie, c'est quoi exactement la différence entre la dérivée covariante et la connexion?

Il y a une autre "différence" (mais ce ne sera toujours pas une réponse à "exactement la différence"!): les deux concepts ressortissent à des domaines distincts. L'idée de dérivée covariante est clairement ancrée dans la géo. diff. en vision analytique, alors que l'idée de connexion évoque les fibrés, un domaine plus large (et plus riche). On peut présenter la notion générique de connexion sans faire appel au moindre calcul de dérivation. La relation avec la dérivée covariante passe par les notions (appliquées aux variétés) de "fibré tangent" (dont une section est un champ de vecteurs), ou de "fibré des repères" (dont une section est un champ de bases), concepts qui peuvent être présentés en eux-mêmes, sans parler de dérivation.

Réciproquement, les approches "calculatoires", venant de l'analyse (par opposition avec géométrie, une opposition un peu obsolète, mais toujours vivantes dans les cours élémentaires), amènent à la dérivée covariante sans s'occuper du concept de connexion, et le font à partir des coordonnées, et des calculs en coordonnées.

L'intrication entre les deux concepts est post-hoc, le constat que la connexion "explique" la dérivation. L'extrication passe donc par la compréhension du langage des fibrés, il me semble.