Bonjour,
Je me plonge dans la RG depuis quelques semaines maintenant et l'approfondissement de certaines notions est... disons compliqué pour quelqu'un qui n'a pas suivi de vrai cours de maths depuis 14 ans (DEUG). Je voudrais vous soumettre ce que je crois avoir compris sur un point en particulier, afin d'avoir des compléments ou des corrections. Pardonnez d'avance les inexactitudes dans le langage.
Je considère une variété, sur la quelle je repère les points par un ensemble de coordonnées. Je considère l'espace tangent à cette variété en un point P, avec un ensemble de coordonnées
.
On a, dans le tangent, des vecteurs base correspondant aux coordonnées de la variété,, qui changent si on se déplace sur la variété et ceux correspondant aux coordonnées du tangent
, qui ne changent jamais. Le lien exact entre les coordonnées et les vecteurs de base correspondant dans le tangent est encore un peu flou pour moi (entre deux bases d'un espace euclidien, je n'ai pas de soucis, mais là... il n'y a pas de vecteurs dans la variété!).
La dérivée covariante d'un vecteur de basesuivant la direction d'un autre vecteur de base
est un vecteur du tangent défini comme suit :
Cela traduit comment ce vecteur de base change dans le tangent quand on se déplace (sous-entendu on va du point P à un point infinitésimalement proche, P' et on regarde comment le vecteur a changé entre le tangent en P et le tangent en P') suivant la direction de l'autre vecteur de base.
Si j'exprimeen fonction des vecteurs de base
, cela devient
La dérivée covariante d'un vecteur de base du tangent est nulle (la base du tangent ne change pas), donc :
ce qui permet de définir, la connexion, comme
merci d'avance pour vos commentaires, corrections et précisions!
m@ch3
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