Bonjour,
essayant de comprendre qqchose à la relat générale, je voulais savoir si la notion de dérivée covariante et le "transport parallèle" pouvaient être rapprochés de la dérivée particulaire lagrangienne en méca flu...
ça m'aiderait à comprendre, car les symboles de christoffel et les connexions de Civita j'entrave rien ...et je veux comprendre la relat générale !
merci
Bonjour,Envoyé par benjgru
Je ne pense pas, sauf subtilité qui m'échapperait, que les 2 aient un quelconque rapport.
Je reprend les 2 notions séparément pour insister sur la différence, malgré des ressemblances superficielles. Je passe donc rapidement sur la dérivée particulaire et j'insiste sur la question de fond de la dérivée covariante en insistant sur la différence avec la dérivée particulaire.
Dérivée particulaire.
Soit un champ scalaire F décrit dans un repère cartésien (x,y,z) de la forme:
F [x(t), y(t), z(t),t ]
on appelle dérivée particulaire DF/dt qui vaut donc:
DF/dt = dF/dt + [V.grad]. F
Tout cela tu le connais bien.
remarque 1: j'ai bien précisé de l'on travaillait dans un repère cartésien. La problèmatique de la dérivée covariante sera justement relatif aux changements de coordonnées les plus généraux.
Remarque 2: F était un champ scalaire, mais ce serait vrai pour un champ vectoriel ou même tensoriel.
dérivée covariante.
1- Les champs scalaires.
La problématique de la dérivée covariante est relative aux comportement des composantes d'un vecteur (et donc des tenseurs) dans un changement de repère curviligne.
Si l'on a un champ scalaire F (par exemple un champ de température) la dérivée de ce champ en un point M est le vecteur grad F dont les composantes dans un repère cartésien sont bien connues.
Si on prend un repère quelconque, cad on passe en coordonnées curvilignes, définis par un changement de variables:
X = X(x, y, z)
Y = Y(x, y, z)
Z = Z(x, y, z)
alors dans ce nouveau repère on obtient le vecteur grad F dont les nouvelles composantes se déduisent des anciennes (celles du repère cartésien) par une transformation linéaire.
2- Et maintenant que se passe-t-il pour les vecteurs?
Pour percevoir le problème supposons un champ vectoriel constant, cad partout au même lieu.
Si on calcul la dérivée de ce champ de vecteurs dans un repère cartésien, on dérive chaque composante Fx, Fy, Fz par rapport à x, y, z et on trouve zéro pour le gradient de champ, ce qui est normal puisqu'il est constant. On note que l'on a regardé chaque composante du champ comme un champ scalaire.
Envisageons le changement de repère précédent. il est facile de voir que la dérivée d'une composante (par exemple Fx) par rapport à X, Y, Z prend des valeurs non nuls. On trouve donc que le gradient de champ dans ce nouveau repère n'est pas nul!! Ce qui est absurde, car par hypothèse le champ est constant et son gradient est nul.
L'origine de cette absurdité provient du changement de coordonnée. Il faut en lever cette contribution pour avoir le bon gradient. Cela veut dire que le gradient d'un champ de vecteur, exprimé en composantes sera constitué de 2 parties:
1- Les dérivées partielles usuelles (identiques a celles des coordonnées cartésiennes).
2-Les termes correctifs (nulles dans un changement entre repères cartésiens) qui contiennent les symboles de Christoffel dont les valeurs dépendent du changement de coordonnées.
Cette dérivée comprenant les 2 termes s'appelle dérivée covariante.
Ce qui signifie que la dérivée ordinaire d'un champ de vecteurs dans des repères cartésiens est un tenseur de rang 2 et doit être remplacé par la dérivée covariante pour rester un tenseur de rang 2 cad comme tous tenseurs doivent être un objet indépendant des coordonnées.
En conclusion:
La dérivée particulaire concerne l'évolution temporelle d'un champ (scalaire, vectoriel, tensoriel).
La dérivée covariante d'un champ de vecteur c'est la forme mathématique que doit prendre un gradient de vecteur en coordonnées cartésiennes (cad un tenseur cartésien de rang 2) pour que ce gradient conserve son statut de tenseur de rang 2 dans n'importe quel repère, cad dans tous les repères curvilignes.
merci pour cette réponse Mariposa.
Je crois que j'y vois un peu plus clair...
prenons un ex concret ça m'aiderait: les coordonnées polaires avec un repère "mobile" (ur, utheta) qui dépend de la position du point M sur sa trajectoire.
comment effectue-t-on alors le changement de repère cartésiennes/ polaires ? et comment trouve-t-on le terme correctif dont tu parles ?
je pense que c'est plus compliqué que x=r cos (theta) et y =r sin (theta)...
PS je sais ce qu'est une abscisse curviligne et la longueur d'un arc paramétré, par contre jamais entendu parler de repère curviligne...
Bonjour,
Oublies pour l'instant toute notion de repère mobile.
repère cartésien.
Soit un repère cartésien que tu fabriques en dessinant 2 lignes perpendiculaires et où l'intersection de ces lignes est appelé origine. Dans ce repère un point M quelconque est repèré par ses coordonnées M(x,y).
tu peux regarder un repère cartésien comme un grillage de lignes parallèles à la direction x et de lignes parallèles à y. Les lignes étant mutuellement perpendiculaires. Ainsi ton point M se trouve à l'intersection de 2 lignes perpendiculaires (si le grillage est supposé suffisamment fin).
Un repère fait de rayons et de cercles?
Au lieu de faire un grillage composé de lignes mutuellement perpendiculaires tu pourrais dessiner un ensemble de cercles concentriques par rapport à l'origine O dont chaque cercle est repéré par le rayon du cercle. Comme un cercle possèdent une infinité de rayons, tu ajoutes un quadrillage de rayons en plus du quadrillage de cercles.
Désormais ton point M (x,y) a pour coordonnée M(R,théta)
Le passage entre les 2 coordonnées est:
x = R.cos theta
y = R.sin theta.
Ceci est un exemple particulier de coordonnées curviligne (que l'on appelle coordonnée polaires) à cause du fait qu'un des axes de référence est en fait un cercle.
Les coordonnées curvilignes comme généralisation des coordonnées polaires
Tu peux envisager de fabriquer à la main un quadrillage exotique fait de lignes courbes aussi fantaisistes que le permet ton imagination. Le passage de ce système de coordonnée à un système cartésien s'écrira en toutes généralités:
x = F1(X,Y)
y = F2(X,Y)
où les fonctions F1 et F2 définissent le changement de coordonnées.
Donc le changement de coordonnées polaires que tu connais est un cas particulier. Donc tu peux d'entrainer en travaillant avec le système de coordonnées polaires
Tu peux regarder comment un champ scalaire A (x,y) se transforme en changement de repère. A l'évidence au doit avoir:
A(x,y ) = B(X,Y)
Ce qui veut dire que la température eu même point M ne dépend pas des coordonnées.
Apres quoi tu peux regarder la même problématique pour l'expression d'un champ de vecteur sous un changement de coordonnée et tu verras apparaitre la nécessité de définir un nouveau type de dérivée qui est la dérivée covariante.
merci pour toutes ces explications !!
peux tu me donner un exemple concret :
une base "exotique" , les formules de changement de base pour passer de la base canonique à la base exotique, et éventuellement les symboles de Christoffel associés et la dérivée covariante associée,
histoire que je me serve de cet exemple concret pour mes "études"...
Tu peux prendre par exemple à priori, mais à priori seulement, n'importe quoi, par exemple:
x = a.X2 + 4.Y -3/4
y = Racine X + 3/(Y-.4)
En fait un changement de base celui-ci devra être restreint à un certain domaine. En effet il faut que la transformation soit inversible (pour pouvoir faire la transformation inverse). il faudra éviter les infinis qui posent toujours problème et également éviter qu'un même point soit défini dans un nouveau repère par 2 couples de valeurs.
pour le reste, je ne vais pas te faire un cours, ce serait long et fastidieux. Je t'ai donné une piste sur le fond du problème a savoir que la dérivée ordinaire d'un champ de vecteurs n'est pas un objet intrinsèque dans le cas des coordonnées curvilignes. Il faut donc construire la dérivée covariante qui est un objet intrinsèque, cad intrinsèque dans tous les systèmes de coordonnées.
Je t'invite à consulter un livre, car rien ne vaut que de sécher soi-même sur un problème. Bien sûr si tu bloques quelque part, je me ferais le plaisir de t'aider dans les limites de ma compétence.
Nota: Il est préférable d'avoir une formation élémentaire sur les tenseurs. Tu as besoin de savoir ce qu'est un tenseur de rang 2 (il y an a de 3 sortes).
Question annexe: Quel genre d'études fais-tu?
pourrais tu me conseiller un bouquin là dessus ?
je cherche aussi de la doc sur les coordonnées curvilignes...je vois très bien ce que c'est (coordonnées sur une toile d'araignée) mais les formules de changement de base m'échappent ,y a sans doute de la courbure en un un point à faire intervenir , mais comment ?
pas trop "technique" , je suis plus physicien que matheux...
PS pas d'études c'est pour le plaisir de la connaissance désintéressée
Attention, en aucun cas j'ai parlé de courbure. Le concept mathématique de dérivée covariante peut se comprendre totalement dans le contexte d'un espace plat bidimensionnel.pourrais tu me conseiller un bouquin là dessus ?
je cherche aussi de la doc sur les coordonnées curvilignes...je vois très bien ce que c'est (coordonnées sur une toile d'araignée) mais les formules de changement de base m'échappent ,y a sans doute de la courbure en un un point à faire intervenir , mais comment ?
pas trop "technique" , je suis plus physicien que matheux...
PS pas d'études c'est pour le plaisir de la connaissance désintéressée
Pour la documentation tu peux commencer à te balader dans wikipedia avec des mots clés que j'ai utilisé.
Tu peux également solliciter Google qui devrait également te proposer des choses (il risque de te renvoyer très souvent sur wikipedia).
Sinon presque tous les livres de RG aborderont le sujet, voire dans les tous débuts du livre. Seulement je crains que cela soit trop rapidement formalisé tenu compte de ton niveau de mathématique. C'est toujours désagréable d'avoir un sentiment d'échec.
il faut que tu regardes aussi dans la compilation de la bibliothèque de Futura où il y a de nombreux PDF et tu trouveras certainement celui qui te convient le mieux.
tu peux me donner le lien vers la bibliothèque futura sciences ?
j'ignorais qu'il y en avait une...
http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html
je reprends ce fil.
Mariposa si tu m'entends, que signifie "dérivée du vecteur de v le long du vecteur u" ?
par exemple dans une base cartésienne, si on dérive le vecteur i le long du vecteur j ça fait 0 non ?
cf http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...A9e_covariante
La question est "Que signifie dériver un champ de vecteurs X selon un vecteurque signifie "dérivée du vecteur de v le long du vecteur u" ?en un point p ?"
Répondre à cela est la même chose qu'expliquer ce qu'est une dérivée covariante ("une", et non pas "la").
Partons d'abord d'un champ scalaire. Soit f un champ scalaire, c'est à dire une fonction de l'espace en question M vers R.
"Dériver un champ scalaire selon un vecteur u en un point p", c'est indiquer la variation de f le long d'une ligne
(Dans ce qui suit on note par une lettre romaine majuscule, e.g., X, les champs de vecteurs, et
Peut-on faire la même chose avec un champ de vecteurs X ? Peut-on construire
Pourquoi "une" ? Parce qu'il y en a une infinité. Dans le cas d'un scalaire, la notion de différence entre f(p) et f(q) pour deux points différents ne pose pas de problème : ils appartiennent tous deux à R. C'est différent pour les vecteurs, parce que, point essentiel à comprendre en espace courbe, l'espace des vecteurs tangents en p et l'espace des vecteurs tangents en q sont distincts. Il n'y a pas de notion canonique de "différence" entre
La solution est de définir une connexion entre espace vectoriels tangents voisins (connexion affine), une manière de transporter un vecteur
En fait, les trois notions, dérivée covariante, connexion affine et transport parallèle sont essentiellement la même chose. Une dérivée covariante indique comment le champ dévie d'un transport parallèle en un point et une direction donnée.
Si en général il y a une infinité de dérivées covariantes, des conditions supplémentaires peuvent en déterminer une particulière. Par exemple, imposer une torsion nulle et de transporter parallèlement une métrique (i.e., que le produit scalaire des transportés de deux vecteurs le long d'une ligne quelconque soit le produit scalaire des vecteurs d'origine) en détermine une seule, la connexion de Lévi-Civita pour ladite métrique.
Dernière modification par Amanuensis ; 05/10/2010 à 13h28.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
merci beaucoup Amanuensis, ta réponse est très claire et m'aide beaucoup ...
tu fais une thèse sur le sujet ou quoi ?
en fait j'essaie de comprendre la relat générale: je comprends globalement les principes physiques mais l'arsenal mathématique est complexe...
d'ailleurs il y aussi les tenseurs de Riemann, les symboles de Christoffel que je ne comprends pas...
bref y a du boulot pour la comprendre cette satanée RG !!
merci beaucoup Amanuensis, ta réponse est très claire et m'aide beaucoup ...
tu fais une thèse sur le sujet ou quoi ?
Bonjour,
Ce qu'il t'a très bien expliqué se trouve, très souvent, dans les livres d'introduction à la RG.
Pour bien (mieux) comprendre la RG il faut bien mener en parallèle d'un coté les idées physico-mathématiques et de l'autre coté la technique mathématique qui peut servir à beaucoup de choses d'autres que la RG.en fait j'essaie de comprendre la relat générale: je comprends globalement les principes physiques mais l'arsenal mathématique est complexe...
d'ailleurs il y aussi les tenseurs de Riemann, les symboles de Christoffel que je ne comprends pas...
bref y a du boulot pour la comprendre cette satanée RG !!
Sur le plan mathématique:
Es-tu au point sur le formalisme des tenseurs avant d'aborder le problème des champs de tenseurs.
Connais-tu la géométrie des surfaces de Gauss?
:Sur le plan physique
Es-tu au point sur la RR avant d'aborder la RG?
Avec mes sincères encouragements.
Pas vraiment. Comme toi j'ai juste essayé de comprendre la RG.tu fais une thèse sur le sujet ou quoi ?
Mon texte est un résumé répondant à la question de choses qui se trouvent dans certains cours de géométrie différentielle, ceux qui cherchent à faire percevoir les concepts, plutôt que de mettre l'accent sur les formules en composantes. Le cours de Thierry Masson est pas mal, dans ce domaine (ma réponse en est inspirée). La page du Wiki anglais est pas mal aussi (celle du français, bien moins).
Les symboles de Christoffel, c'est juste l'écriture en composantes d'une dérivée covariante. C'est critique à comprendre pour faire des calculs effectifs, mais bien moins si c'est juste pour comprendre les concepts.d'ailleurs il y aussi les tenseurs de Riemann, les symboles de Christoffel que je ne comprends pas...
Le tenseur de Riemann correspond à ce qu'il se passe quand on prend comme chemin une boucle qui revient à son point de départ et qu'on transporte parallèlement des vecteurs le long d'une telle boucle. (Sous condition que la connexion est de torsion nulle, ce qui est le cas dans la RG de base.)
Si la connexion est plate, le vecteur transporté est égal au vecteur d'origine. En cas de courbure, ce n'est pas le cas. Un vecteur est tourné d'autant plus que la "surface" de la boucle est plus grande.
Au premier ordre, on peut décrire une surface par deux vecteurs, disons
Une illustration classique et simple à voir est de le transport parallèle de vecteurs le long de géodésiques sur la sphère : le long d'un tel triangle, un vecteur revient décalé par rapport à son départ, proportionnellement à la surface du triangle (parce que la courbure scalaire est constante).
Le transport le long d'une boucle, caractérisé par le tenseur de Riemann, permet de comprendre une différence essentielle entre la géométrie courbe et la géométrique plate : quand le transport le long d'une boucle n'est pas l'identité, le transport entre deux points distincts dépend du chemin utilisé (suffit de rajouter une boucle pour changer le résultat), et il n'y a pas moyen d'identifier d'une manière absolue les vecteurs en un point et les vecteurs en un autre point. Alors qu'avec une connexion plate (comme en euclidien, en géométrie "usuelle"), le résultat du transport ne dépend pas du chemin, et on peut parler d'un seul espace vectoriel, en utilisant le transport pour identifier les vecteurs en des points différents.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
ok merci à vous 2...
pouvez-vous m'expliquer sur cette image comment on définit le transport sur le méridien de gauche ??
je ne vois pas pourquoi c'est différent du méridien de droite...
merci
Le vecteur (la direction) choisie aurait pû être quelconque. Sur le segment de droite a été choisie la direction tangente, mais ce n'est qu'un choix.
On peut décrire le transport en partant du coin en bas à gauche sur la figure et en allant vers le "haut", pour changer : une personne se balade sur la sphère en pointant (le vecteur bleu) son bras gauche vers sa gauche. Arrivée au pôle elle change de direction mais sans tourner sur elle-même (c'est ça le transport parallèle), du coup elle marche "en crabe" et son bras gauche pointe derrière elle (segment en rouge). Sur l'équateur, elle change de nouveau de direction, toujours sans tourner sur elle-même : elle marche toujours en crabe, mais cette fois là le bras gauche pointe plus ou moins dans la direction de déplacement.
Arrivée au point d'origine, elle doit tourner sur elle-même d'un certain angle pour se retrouver dans son orientation d'origine. Cette rotation sur elle-même est la manifestation de la courbure (et une sorte d'intégration du tenseur de Riemann sur la surface triangulaire entourée).
Une autre manière de faire le dessin est de montrer non pas un vecteur, mais deux : une base orthonormée. Aux changements de direction, la base "ne tourne pas", comme si elle était stabilisée par des gyroscopes.
Dernière modification par Amanuensis ; 06/10/2010 à 05h18.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Je me suis trompé : dans la description alternative, c'est :
Sur l'équateur, elle change de nouveau de direction, toujours sans tourner sur elle-même : elle marche en arrière (pour cette description la figure doit être changée).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
son bras gauche pointe à sa gauche plutôt non ?
mais le bras gauche a tourné pour se retrouver dans la direction du déplacement ?
me fiche mal au crâne ce truc...
Oui, je me suis mal exprimé : le bras pointe dans le sens opposé au mouvement plutôt que "en arrière".
C'est plus simple à voir qu'à expliquer avec des mots. Suffit de visualiser ce que veut dire "changer de direction de progression sans changer d'orientation". Par exemple, je vais tout droit puis je change de direction de 90° à droite sans changer d'orientation = je marche dorénavant en crabe en faisant face à gauche perpendiculairement à la progression.me fiche mal au crâne ce truc...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
oui...
en fait ça me rappelle au lycée la différence entre translation circulaire (nacelle d'une grand roue de fête foraine) et rotation ...
