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Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?



  1. #1
    andretou

    Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?


    ------

    Bonjour à tous
    Je me demande ce qui se passerait si l'on rejette l'idée que 2 ensembles pouvant être mis en bijection sont equipotents, et si l'on pose comme axiome que le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est égal au double du cardinal de l'ensemble des entiers pairs.
    La nouvelle théorie des ensembles ainsi obtenue est-elle forcément incohérente ?
    Comment alors prouver cette incohérence ?
    Merci d'avance pour vos réponses

    -----
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

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  3. #2
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    " si l'on pose comme axiome que le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est égal au double du cardinal de l'ensemble des entiers pairs"
    * Soit le cardinal est la notion mathématique habituelle et on a un "axiome" incohérent avec les autres, donc une théorie inutile puisque tout est vrai.
    * Soit il faut redéfinir la notion de cardinal puisque c'est utilisé dans l'axiome.
    Quand Andretou fera des maths et nous définira la notion de cardinal de façon que son axiome ne soit pas incohérent, on pourra commencer à considérer ses interventions.

    "si ma tante en avait ..."

  5. #4
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Andretou pose une question légitime, que plusieurs mathématiciens ont explorée, il ne prétend pas offrir une réponse.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tryss2

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Par contre, ça implique de (re)définir ce qu'est un cardinal dans ce cas (vu que ça n'est plus lié aux bijections).
    Dernière modification par Tryss2 ; 15/10/2020 à 16h23.

  8. #6
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Oui, c'est d'ailleurs ce que dit (assez mal, mais on comprend) Andretou
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Heu ... Médiat, j'imagine qu'ils ne se sont pas contentés d'une question aussi limitée. Et qu'ils ont exploré le problème "peut-on trouver une définition de la notion de cardinal qui permette de dire que les entiers sont de cardinal double des pairs". Avec l'idée que le cardinal est bien intuitivement le nombre d'éléments de l'ensemble quand il est fini.
    As-tu des références à ce propos ?

    Cordialement.

  11. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Médiat,

    je te laisse discuter maths avec Andretou ...

  12. #9
    andretou

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Alors je tente une reformulation...
    Affirmer qu'il existe une bijection entre l'ensemble des entiers pairs et l'ensemble des entiers signifie qu'il est possible de mettre chaque entier pair en relation avec chaque entier, et réciproquement. On choisit alors de faire correspondre chaque nombre pair avec sa moitié.
    Mais pour quelle raison n'aurait-on pas le droit de mettre en relation chaque entier pair non plus avec sa moitié mais avec chacun des entiers pairs de l'ensemble des entiers ? Dans ce schéma il n'y aurait plus de bijection, et il apparaîtrait que les entiers sont 2 fois plus nombreux que les entiers pairs.
    Qu'est-ce que ça impliquerait d'admettre que les entiers sont 2 fois plus nombreux que les entiers pairs ?
    A quel type de paradoxes et/ou d'incohérences aboutirait-on ?
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  13. #10
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    @gg0 : Encore une fois, Andretou pose une question et une question légitime, qu'il n'y réponde pas me paraît naturel, c'est à ceux qui ont déjà étudié ne serait-ce qu'un peu le sujet d'y répondre, ce que j'avais tenté de faire dans le lien de mon message #2

    Pour les références, voir les travaux de Marco Forti, Vieri Benci et Mauro Di Nasso par exemple.
    Dernière modification par Médiat ; 15/10/2020 à 16h52.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    ...
    Vous lisez les réponses ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    je te laisse discuter maths avec Andretou ...
    Ca c'est constructif, je ne vous félicite pas !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    PlaneteF

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Bonjour,

    @andretou: Tu cherches à plomber le chiffre d'affaire de l'Hôtel de Hilbert ?
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/10/2020 à 09h49.

  18. #14
    andretou

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    @andretou: Tu cherches à plomber le chiffre d'affaire de l'Hôtel de Hilbert ?
    Bien vu ! En effet, si seules les chambres paires sont occupées alors son CA serait désormais divisé par 2 (mais il resterait quand même infini) !...
    Il n'y a pas de raison que l'hôtel de Hilbert ne connaisse pas la crise lui aussi !
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  19. #15
    andretou

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    D'ailleurs, petit problème.
    Une infinité de clients ont réservé leur chambre et ont payé d'avance. Mais à cause de la Covid, ils ont tous annulé et l'hôtel doit tous les rembourser.
    A la fin combien reste-t-il à l'hôtel ?
    0 ou non déterminé ?
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  20. #16
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Salut,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ca c'est constructif, je ne vous félicite pas !
    Ben il a le droit de partir et de dire au-revoir

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    D'ailleurs, petit problème.
    Une infinité de clients ont réservé leur chambre et ont payé d'avance. Mais à cause de la Covid, ils ont tous annulé et l'hôtel doit tous les rembourser.
    A la fin combien reste-t-il à l'hôtel ?
    0 ou non déterminé ?
    0 puisque tu as dis "tous".
    Si on disait "une infinité de clients ont annulés" alors ce serait indéterminé.
    (car une infinité de client plus un, c'est toujours infini, par conséquent la différence ne peut pas être déterminée. En tout cas fixer une règle comme infini - infini = 0 est assez casse gueule)

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Mais pour quelle raison n'aurait-on pas le droit de mettre en relation chaque entier pair non plus avec sa moitié mais avec chacun des entiers pairs de l'ensemble des entiers ?
    On a le droit. Il y a une infinité de bijections possibles (sur un ensemble infini) (enfin, ici c'est plutôt une application non bijective).

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Dans ce schéma il n'y aurait plus de bijection, et il apparaîtrait que les entiers sont 2 fois plus nombreux que les entiers pairs.
    Là c'est absurde. Le fait de choisir une application quelconque... ne fait pas disparaitre les bijections. Pourquoi elles disparaitraient ???

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Qu'est-ce que ça impliquerait d'admettre que les entiers sont 2 fois plus nombreux que les entiers pairs ?
    A quel type de paradoxes et/ou d'incohérences aboutirait-on ?
    Pour ça il faudrait d'abord poser un ensemble de définition et axiomes appropriés, permettant de dire de manière précise ce que signifie "deux fois plus nombreux" dans ce contexte et aussi le reste (que signifie alors "le même nombre" etc...)

    Seulement là, on peut chercher si on ne trouve pas de paradoxes ou des incohérences (en bref des contradictions).

    Médiat a expliqué que cela avait déjà été fait et a donné de quoi chercher avec google
    Exemple : https://philpapers.org/rec/BENAAN

    Je te laisse chercher le reste y en a pleins.
    Dernière modification par Deedee81 ; 16/10/2020 à 11h43.
    Keep it simple stupid

  21. #17
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Salut,
    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Ben il a le droit de partir et de dire au-revoir
    Sans ce que l'on peut qualifier, au mieux de ton condescendant, au pire de ton insultant, cela aurait été plus agréable, désolé mais je préfère les bonnes questions aux mauvaises réponses.



    0 puisque tu as dis "tous".
    Si on disait "une infinité de clients ont annulés" alors ce serait indéterminé.
    Désolé mais c'est faux
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Cela fait 30 mn que je le cherche, donc je ne peux éditer mon message pour y ajouter le lien : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post4096879
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  24. #19
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Sans ce que [....]
    Je sais, d'où mon smiley

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Désolé mais c'est faux
    Qu'est-ce que j'ai commis comme bourde ? Avec le "tous" ?
    (bon vu que l'énoncé était en langage naturel j'admets qu'il y a un manque de clarté et je peux avoir répondu à coté de la plaque, enfin, si c'est ça que j'ai fait)
    Dernière modification par Deedee81 ; 16/10/2020 à 13h03.
    Keep it simple stupid

  25. #20
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message

    Qu'est-ce que j'ai commis comme bourde ? Avec le "tous" ?
    Celle que tout le monde fait : raisonner avec l'infini comme avec le fini, ici la seule façon de raisonner juste est de parler de bijection, tu peux regarder le lien que j'ai donné, mais je peux donner un exemple (d'autres sont faciles à trouver), en admettant que tous les clients payent le même prix, il suffit de rembourser le client 1 avec l'agent du 2, le 2 avec l'argent du 3, etc. ils sont tous remboursés, et il reste l'argent du 1

    PS :j'avais mal interpréter le smiley
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Celle que tout le monde fait : raisonner avec l'infini comme avec le fini, ici la seule façon de raisonner juste est de parler de bijection, tu peux regarder le lien que j'ai donné, mais je peux donner un exemple (d'autres sont faciles à trouver), en admettant que tous les clients payent le même prix, il suffit de rembourser le client 1 avec l'agent du 2, le 2 avec l'argent du 3, etc. ils sont tous remboursés, et il reste l'argent du 1
    D'accord, merci. J'avais traduit le texte mentalement mais d'une manière sans doute inappropriée;
    En fait, le lien que tu donnes est particulièrement intéressant (je l'avais déjà vu) mais je doute qu'Andretou puisse le comprendre (*).
    Alors j'ai essayé de me mettre à son niveau et posteriori je me rend compte que est ma bourde. A parler comme ça on risque surtout de raconter n'importe nawak.

    (*) Andretou :
    Peux-tu regarder le lien de Mediat ?
    - Est-ce que cela t'es compréhensible ? Si oui, tu devrais formuler tes questions de la même manière.
    - Si non, j'ai peur que ce forum te soit inaccessible (il l'est souvent pour moi aussi, enfin, pas toujours, mais souvent). Rappelons que c'est un forum de logique mathématique formelle (voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique ) et pas juste "logique au sens large". On ne peut pas manquer de rigueur en math. Dans ce cas, quand il s'agit de logique plus dans le style "les deux portes et les deux gardes" (dont on avait déjà parlé) ou les jeux "grand public" sur l'infini, il y a le forum ludique plus approprié amha.

    Ca n'a rien de frustrant car dans ce cas n'importe qui peut venir ici et poser des questions non pas dans le genre "et si" mais sur la logique formelle elle-même : comment définir ceci, pourquoi le définir ainsi, existe-t-il d'autres approches. Et avec les réponses rigoureuses et techniques qui s'ensuivraient éventuellement reposer des questions plus ciblées pour essayer de les comprendre. Et c'est un plaisir d'étudier et d'apprendre
    EDIT en plus je trouve dommage que ce forum manque manifestement de ce genre de question. A tel point que sans Médiat pour animer j'ai l'impression que ce forum serait mort né, ce qui serait sacrément dommage.

    Faut juste pas essayer d'aller plus vite que le tram sinon tu te prends le butoir en pleine tronche (j'ai eut la blague en vélomoteur, en choc frontal, alors je sais ce que ça fait )
    Dernière modification par Deedee81 ; 16/10/2020 à 14h01.
    Keep it simple stupid

  27. #22
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Wow je me suis contredit
    (un comble sur ce forum)

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    j'ai peur que ce forum te soit inaccessible
    Je veux dire inaccessible sous cette forme : proposer ses idées, ses interrogations. Faut d'abord connaitre la discipline pour ça.
    Je n'oserais jamais aller (par exemple) dans le forum psychologie clinique dire "et si au lieu de xxx on faisait yyyy". je ne connais pas assez (presque pas du tout en fait).
    Keep it simple stupid

  28. #23
    andretou

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Je n'oserais jamais aller (par exemple) dans le forum psychologie clinique dire "et si au lieu de xxx on faisait yyyy". je ne connais pas assez (presque pas du tout en fait).
    A mon avis ce serait dommage. Car si la vocation du forum en question est la vulgarisation scientifique de bon niveau (ce qui est précisément le cas du forum Futura Sciences) et non pas d'être un espace réservé aux spécialistes du domaine, alors tu n'as pas de raison de ne pas y poser ta question. Au pire, personne ne te répondra, ce qui n'est pas si grave que ça... Et au mieux tu auras une réponse experte et bienveillante (ce qui est souvent le cas sur ce forum, souvent grâce à toi d'ailleurs !). Tu n'as rien à perdre et tout à gagner !!!
    Dernière modification par andretou ; 16/10/2020 à 16h42.
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  29. #24
    PlaneteF

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Bien vu ! En effet, si seules les chambres paires sont occupées alors son CA serait désormais divisé par 2 (mais il resterait quand même infini) !...
    Il n'y a pas de raison que l'hôtel de Hilbert ne connaisse pas la crise lui aussi !
    Je me posais surtout la question de la capacité de l'Hôtelier à afficher "chambres libres" contre vents et marées, ce qui faisait l'honneur et la réputation de son établissement
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/10/2020 à 16h58.

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  31. #25
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Pour illustrer ma réponse précédente à Deedee, il y avait dans les années 60 à la télé une émission où apparaissait régulièrement un conteur (peut-être était-ce l'émission appelé "les conteurs", mais je n'en suis pas certain) l'un de ces contes parlaient du pov'gars à qui on a donné une voiture tellement grande, tellement belle que si il la revendait, avec l'argent gagné, il pourrait s'acheter une maison, un bateau et même, il pourrait se racheter la même voiture.

    Je ne sais pas si ce conteur avait une vraie connaissance de l'infini, en tout ca c'était une très belle illustration
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    alors tu n'as pas de raison de ne pas y poser ta question.
    A condition de lire les réponses
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  33. #27
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Je me posais surtout la question de la capacité de l'Hôtelier à afficher "chambres libres" contre vents et marées, ce qui faisait l'honneur et la réputation de son établissement
    Il pourrait préciser : "en quantité dénombrable"
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    syborgg

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    @gg0 : Encore une fois, Andretou pose une question et une question légitime, qu'il n'y réponde pas me paraît naturel, c'est à ceux qui ont déjà étudié ne serait-ce qu'un peu le sujet d'y répondre, ce que j'avais tenté de faire dans le lien de mon message #2

    Pour les références, voir les travaux de Marco Forti, Vieri Benci et Mauro Di Nasso par exemple.
    Je suis 100 % d'accord avec toi, c'est une question tout a fait legitime de se demander comment on pourrait definir la notion de cardinal sans passer par les bijections. J\y ai songe parfois en mode reveur, sans entrer dans les details. Pourrais tu parler un peu des travaux de ces gens la ? les idees essentielles qu'ils developpent peuvent elles s'exposer succintement ?

  35. #29
    Médiat

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Difficile de répondre sans te renvoyer sur leurs articles ; dans un de leurs premiers articles, ils définissent ce que doit être une fonction que l'on puisse légitimement appeler "nombre d'éléments" et qu'ils baptisent "numerosity" (l'article est en anglais),puis ils montrent que cela marche avec des "labelled set" (des ensembles dénombrables associés à une fonction de cet ensemble dans IN avec quelques propriétés, pour les sous ensemble de IN, l'identité fait le taf), ils définissent une suite de sous-ensembles (grâce au label) dont chaque terme est une approximation de la numérosité, et au fil des leurs articles il sont généralisé ces idées, jusqu'à utiliser un ensemble de nombres défini par leur soin (à la place des cardinaux).

    Bien sûr ils ont le problème cité dans le lien du message #2

    Leur premier article: http://people.dm.unipi.it/dinasso/papers/13.pdf (plus clair que mes maigres explications)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    PlaneteF

    Re : Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il pourrait préciser : "en quantité dénombrable"
    Effectivement, ... En plus, un panneau à l'entrée de l'hôtel du genre "NO VACANCY FOR ALEPH-(BESIDES NAUGHT)" qui clignote en rouge en pleine nuit, ça a de la tronche, non ?!
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/10/2020 à 18h22.

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