Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ?

[Médiat]

Un intérêt de cette théorie ne serait-il pas éventuellement de résoudre l'hypothèse du continu, puisque 2 ensembles infinis dénombrables n'auraient plus nécessairement le même cardinal ?

Trop d'erreurs en trop peu de place ...
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[pm42]

Trop d'erreurs en trop peu de place ...

C’est un peu comme les réels non définissables : il y en a partout et plein.

[Médiat]

Dans la même idée : soit R la relation x R y ssi (x - y) est rationnel ; en 2s on démontre que c'est une relation d'équivalence, mais essayez de trouver un représentant canonique de chaque classe ... (alors que si on remplace rationnel par entier relatif, c'est enfantin)

A tout hasard, cet exemple montre à quoi peut servir l'axiome du choix, et pourquoi, dans certains cas on peut s'en passer.

[pm42]

A tout hasard, cet exemple montre à quoi peut servir l'axiome du choix, et pourquoi, dans certains cas on peut s'en passer.

Je veux bien que tu expliques ton exemple plus en détail, certaines choses sont un peu loin et je suis devenu fainéant.

[Médiat]

Je parlais de la relation définit sur par .

Je suis incapable (et je crois ne pas être le seul) de définir une fonction qui à chaque classe d'équivalence fait correspondre un de ses éléments (si on remplace par , c'est facile on prend le seul élément de la classe qui appartienne à [0, 1[ (par exemple)), mais avec l'axiome du choix je peux affirmer qu'une telle fonction existe.

[pm42]

mais avec l'axiome du choix je peux affirmer qu'une telle fonction existe.

Ok. Merci. C'est un peu comme l'exemple que je donnais plus haut. Cela me rappelle un autre cas dont j'ai oublié s'il vient de l'axiome du choix : les fonctions de R dans R sont un espace vectoriel donc il a une base.

[Médiat]

L'existence d'une base pour tous les ev est équivalente à AC (de mémoire)

[syborgg]

L'existence d'une base pour tous les ev est équivalente à AC (de mémoire)

Oui, on utilise le lemme de Zorn pour prouver l'existence d'une base, et ce lemme est equivalent a AC.
Au passage, on peut demontrer plus generalement l'existence de bases dans les pregeometries, ce qui inclus en particulier les bases des ev et les bases de transcendance des extensions de corps. La preuve pour les pregeometries passe par une induction sur les ordinaux, et de memoire n;utilise pas AC. Si ma memoire ne me joue pas des tours, pas besoin donc de AC pour l'existence de bases des ev.
Ceci dit, quelle est l'utilite de l'existence de bases dans les ev de dimension infinie ? pour les espaces de Hilbert de dimension infinie par exemple, on utilise pas a ma connaissance l'existence de bases au sens algebrique, mais plutot au sens topologique impilquant des sommes infinies.

[invitedbc10295]

Bonjour Andretou
Je suppose que vous espériez une réponse et non des divagations. On n'est pas sur Twitter!
Vous avez parlé du "double du cardinal" ce qui n'a de sens qu'avec les ensembles finis car leur cardinal est le nombre d'éléments. Sinon un cardinal n'est pas un nombre qu'on peut multiplier, c'est une classe d'équivalence pour la relation d'équipotence (équipotence ... = existence d'une bijection ...). Il n'a pas de double. L'ensemble des entiers naturels à même cardinal que sa partie des entiers pairs car n -> 2n est une bijection.
Ensuite vous avez écrit: "mettre en relation chaque entier pair avec chacun (?) des entiers pairs de N". Je ne comprends pas ce que vous voulez dire; a priori c'est insensé.
Ne trouvez-vous pas notre ami Mediat bien péremptoire. N'est-t-il pas?
A vous relire, mais commencez donc par un brouillon et relisez le.
Amicalement
J

[gg0]

J'adore quand des gens qui n'y connaissent pas grand chose viennent consoler des gens qui n'y connaissent rien (*) en critiquant les spécialistes (Médiat en est un) et répondant de travers.
Quelques erreurs (Médiat en verra sans doute d'autres) :
* "un cardinal n'est pas un nombre qu'on peut multiplier". On sait parfaitement multiplier les cardinaux. C'est même une des choses qu'on voit quand on étudie la théorie des ensembles.
* "mettre en relation chaque entier pair avec chacun (?) des entiers pairs de N" La phrase n'est pas insensée, ce n'est que la demande de la bijection signalée juste au dessus.
* "des divagations. On n'est pas sur Twitter!" Quand on ne comprend pas parce qu'on n' pas étudié, on traite les maths de charabia. C'est classique de l'incompétence.

[gg0]

A noter : le précédent message de Jackas (#10) était déjà une remarque fausse !!!

[Médiat]

Bonjour,

Vous avez parlé du "double du cardinal" ce qui n'a de sens qu'avec les ensembles finis car leur cardinal est le nombre d'éléments. Sinon un cardinal n'est pas un nombre qu'on peut multiplier,

C'est faux

Ne trouvez-vous pas notre ami Mediat bien péremptoire. N'est-t-il pas?

Je ne suis pas votre ami, et si vous me trouver péremptoire c'est sans doute que vous n'avez pas lu les démonstrations

Bref : retournez sur Twitter au lieu de nous asséner vos erreurs comme des vérités !