résolution des équations de London

[invite57342f6b]

Je travaille en ce moment à une thèse de doctorat sur les propriétés de couches minces supraconductrices à haute température critique et nous avons, semble-t-il, découvert un phénomène interessant. Pour essayer d'en déterminer l'origine physique et s'assurer qu'il ne s'agit pas d'un artefact, je cherche à faire une modélisation du problème qui consiste à résoudre numériquement les 2 équations de London (le problème dépend du temps). L'ennui, c'est que je n'ai aucune expérience de ce genre de calcul. Je suis donc à la recherche de pistes qui me permetteraient de faire une modélisation , même grossière du problème.
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[deep_turtle]

Salut,

Tu peux dire en deux mots ce que sont ces équations et ce qu'elles décrivent, ou donner un lien stp ?

Merci d'avance !

[invite38685413]

http://lanoswww.epfl.ch/studinfo/cou...ll/default.htm

j'ai trouve ce lien où l'on parle de supraconducteur, de couches minces et d'equations de London.

Je ne sais pas si sa correspond à ta these ?

[invite143758ee]

salut !
j'avais vu en cours (brièvement !), l'équation de london pour le champs magnétique B, et une solution"évidente?" était un solution en décroissance exponentielle...bon,et j'avoue que je n'y ait pasz réfléchi plus que ça, et ça ne m'a pas poser de problème....car ce n'était pas une équation genre diffusion et autre...

bon, je ne sais pas trop, et je ne connaissais pas la 2e équation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57342f6b]

En fait, ma position est un peu compliquée: je prépare une thèse à dominante plutôt expérimentale sur les comportements de couche minces supra à haute température critique dans l'état mixte et sous faible champ magnétique. En étudiant les caractéristiques de certaines couches ayant une géométrie particulière, nous avons découvert un effet pouvant mener à des applications intéressantes et nous avons démontré par plusieurs expériences qu'il ne pouvait pas s'agir d'un artefact. Un brevet d'invention a alors été déposé. Nous avons alors cherché à déterminer l'origine physique de l'effet. Un certain nombre d'observations nous font penser que l'effet provient du comportement des supraconducteurs lorsque ceux-ci se trouvent dans l'état Meissner, c’est à dire l’état supraconducteur proprement dit. J'ai élaboré un schéma qualitatif de ce qui pourrait se passer dans les couches mais pour pouvoir valider ce modèle et disposer de données quantitatives, il faut résoudre les équations qui décrivent l'électrodynamique des supraconducteurs dans l'état Meissner qui sont les équations de London.
En dehors de problèmes simples, il n'est pas possible d'intégrer ces équations autrement que par le calcul numérique.
L'ennui c'est que je suis tenu au secret concernant ce résultat et mon directeur de thèse m'a interdit formellement d'en parler et encore moins de consulter des spécialistes du calcul numérique.
Je n'ai retrouvé aucun résultat semblable dans la littérature spécialisée, il n'est pas exclu que quelqu'un ait déjà étudié un problème analogue mais c'est comme chercher une aiguille dans une botte de foin.
Donc, je vais essayer de présenter le problème de manière suffisamment générale pour éviter que quelqu'un puisse découvrir l'effet en résolvant les équations....

Tout le monde connaît les équations de Maxwell, elles relient les sources de champs (densité de courant et de charge) aux champs B et E (ou aux potentiels selon le formalisme utilisé). A partir de la donnée des sources de champs et des conditions aux limites, on peut déterminer les champs ou les potentiels dans tout l'espace.
En présence d’objets matériels, il faut tenir compte de la réponse de tels objet (apparition de charges ou de courant liés ). Cette réponse dépend de la nature du matériaux : diélectrique ou conducteur, para, ferro, ou diamagnétique.
Le comportement des supraconducteurs est tout à fait inhabituel : ils se comportent à la fois comme des conducteurs parfaits et comme des diamagnétiques parfaits. Ce comportement peut être décrit par 2 équations appelées équations de London :
(1) E= C*dJ/dt // C est une constante, les dérivées sont partielles.
Cette équation rend compte de l’absence de résistivité électrique : lorsque un champ électrique est imposé, la densité de courant augmente avec le temps. L’équation découle directement des équation de Maxwell.
(2) B= -C*rot(J)
Cette équation rend compte du diamagnétisme du supraconducteur : la présence d’un champ B induit des courants d’écrantage qui compensent ce champ au delà d’une certaine longueur de pénétration. Cette équation ne peut pas être déduite des équations de Maxwell car son origine est quantique et est propre aux supraconducteurs.
Ces 2 équations décrivent bien la supraconductivité dans des conditions précises (domaine de fréquence, pureté des matériaux, valeur du champ magnétique…). On suppose à priori qu’elle sont à l’origine du phénomène qu’on cherche à expliquer. Si leur intégration ne parvient pas à reproduire le phénomène, on saura à posteriori
qu’il faut chercher dans une autre voie.
Je cherche donc à déterminer l’influence d’une couche supraconductrice sur un environnement des plus généraux (par exemple un circuit électrique…mais je ne peut pas en dire plus).

Si vous avez des suggestions, je vous remercie d’avance.

[deep_turtle]

Situation délicate en effet...

Il manque juste une info pour voir ce qu'on peut faire : la géométrie du système, qui fixe les conditions aux limites du système d'équations différentielles auquel on abouti en mettant toutes les équations que tu mentionnes ensemble.

[invite57342f6b]

Comme tu l'as bien remarqué deep_turtle, les conditions aux limites sont la clé du problème et elles constituent précisement les termes du brevet. Je ne peux donc pas les présenter directement. C'est pourquoi je vais présenter un problème semblable, faisant intervenir les même équations et dont la solution est connue:
Soit une plaque supraconductrice d'épaisseur e, de largeur l et de longueur L. L'épaiseur e est très inférieure à L et l (qui peuvent même être égales). On impose, par un générateur parfait de courant, un courant I(t)=I°cos(wt) d'amplitude I° et de pulsation w tel que la densité de courant aux 2 extrémités soit homogène sur toute la surface et égale à j(t)=I(t)/e*l. e*l étant la surface aux 2 extémités de la plaque.
On cherche alors les valeurs du potentiel électrique V(r,t), du potentiel vesteur A(r,t) dans tout l'espace et en fonction du temps ainsi que de la densité de courant j(r,t) à l'intérieur de la plaque supra.

C'est un problème pas simple car il faut démêler un écheveau d'équations couplées. Dans la littérature, on trouve des solutions à des problèmes semblables, mais toujours dans le cas stationnaire. Si on impose un courant continu, il existe des solutions analytiques.
Je cherche à résoudre le problème dépendant du temps.

[invite143758ee]

les conditions aux limites sont la clé du problème et elles constituent précisement les termes du brevet

moi, ça me tue ces trucs là...c'est vrai un système pourri où l'argent est primordiale, alors que peut être qqu'un l'avait déjà remarqué, mais ne s'est pas senti obligé de protéger des conditions aux limites !
ben tant pis, apparemment, c'est le système qui veut ça...
mais c'est quand même gros...je suis en train de m'imaginer ,van karman brevetant ses conditions aux limites ?!