produit scalaire et autre truc bizarre des vecteurs

[invite40f82214]

bonsoir tous le monde voici deux questions tres bete mais qui me chagrine:

- un produit vectorielle ^ c'est en faite comme une multiplication de vecteur ou sa na rien a voir??et quand cela s'utilise t il??

- un produit scalaire qu'es ce que c'est??
je sais que F.AB (vectoriellement)= F*distance a-b*cos(angle entre F et ab))
mais quand utilise t on le produit scalaire et pourquoi??
(meme question en faite pour le produit vectorielle)

merci car c'est un truc que j'ai toujours admi mais je n'ai jamais compri pourquoi.
-----

[Coincoin]

Salut,

- un produit vectorielle ^ c'est en faite comme une multiplication de vecteur ou sa na rien a voir?

Une "multiplication de vecteurs" n'a aucun sens, tant qu'on lui en donne pas. Mais on peut effectivement voir ça comme ça (d'où le nom "produit vectoriel") étant donné qu'on obtient un vecteur à partir de deux autres.

- un produit scalaire qu'es ce que c'est?

Le produit scalaire des vecteurs u et v donne un nombre qui est égal à la projection de u sur v (ou de v sur u). Donc dès qu'on fait des projections, c'est vital !

[invite40f82214]

merci de ta reponse,mais quand utilise t-on le produit vectoriel,pourquoi?y a t il une logique comme la multiplication?

meme question pour le produit scalaire

merci beaucoup de vos reponse et explications

[ClairEsprit]

merci de ta reponse,mais quand utilise t-on le produit vectoriel,pourquoi?y a t il une logique comme la multiplication?

meme question pour le produit scalaire

merci beaucoup de vos reponse et explications

Bonjour,

il faut se plonger dans l'Algèbre avec la théorie des ensembles. L'Algèbre définit des ensembles munis de lois de compositions commutatives ou non, associatives ou non, etc.... Une loi de composition commutative sera notée en notation additive +, une loi de composition non commutative sera notée plutôt en notation multiplicative. Elle pose des couples d'entités mathématiques, par exemple un ensemble et une loi de composition, et des relations sur les élements de l'ensemble. Au final, on verra un vecteur ou un scalaire comme un élément d'un ensemble muni de certaines lois de composition et de certaines relations; mais en fait il n'y a pas de distinction mathématique claire entre vecteur et scalaire; un scalaire est un vecteur particulier.

Bref. Au final, si tu étudies les applications linéaires dans certains types d'ensembles munis de certaines lois, tu retrouves les comportements intuitifs connus dérivés des représentations géométriques comme les vecteurs dans le plan ou dans l'espace. A ce moment là, le produit scalaire ou le produit vectoriel ne sont que des cas particuliers d'applications linéaires.

Ca paraît barbare mais en fait c'est très simple et cela ne nécessite que peu de définitions pour comprendre vraiment ce qu'est un produit vectoriel ou un produit scalaire au sens où tu l'entends. Si tu veux vraiment comprendre je t'encourage vivement à étudier l'algèbre : théorie des groupes (de base : la définition d'un groupe suffit), des anneaux, des modules sur un anneaux, les applications linéaires, les applications linéaires anti-symétiques (le produit vectoriel en est un exemple)

Par contre ça nécessite pas mal de travail...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bonjour,

merci de ta reponse,mais quand utilise t-on le produit vectoriel,pourquoi?y a t il une logique comme la multiplication?

meme question pour le produit scalaire

La réponse de ClairEsprit est très mathématique.

D'autres réponses existent en physique, mais ça peut devenir pas mal complexe! La géométrie différentielle et les tenseurs permettent de donner une bonne perspective, mais ça ne doit pas satisfaire grand monde comme réponse...

Essayons plus simplement, en précisant que le domaine est la géométrie...

Le produit scalaire est lié aux projections, aux passage en dimension inférieure. Du coup il intervient dans la notion de repère, et les changements de base.

Le produit vectoriel est un truc finalement assez bizarre, il a plusieurs utilisations très différentes, et des interprétations tout aussi différentes.

Il intervient dans les rotations. Il intervient pour définir un vecteur normal à une surface. Il intervient comme "vecteur surface" (le module du produit vectoriel peut s'interpréter comme la surface du parallélogramme formé par les deux vecteurs).

Un autre axe d'explication est via la notion de symétrie, le produit scalaire a un rapport avec les opérateurs symétriques (u.v = v.u), alors que le produit vectoriel a un rapport avec les opérateurs antisymétriques (u x v = - v x u). Or les notions de symétrie (y compris l'antisymétrie!) sont très importantes en géométrie (et en physique).

En espérant que ça aide...

Cordialement,

[mariposa]

- un produit vectorielle ^ c'est en faite comme une multiplication de vecteur ou sa na rien a voir??et quand cela s'utilise t il??

- un produit scalaire qu'es ce que c'est??
je sais que F.AB (vectoriellement)= F*distance a-b*cos(angle entre F et ab))
mais quand utilise t on le produit scalaire et pourquoi??
(meme question en faite pour le produit vectorielle)

Bonjour,

Le produit scalaire et le produit vectoriel sont 2 notions qui prennent tout leur sens à partir de la notion de produit tensoriel.
.
Espace produit tensoriel.

Supposons que tu as un espace vectoriel de dimension N (pour les exemples on prendra N=3). On peut former tous les couples produits Xi*Yj. on obtiend un ensemble de N2 éléments qui forment un nouvel espace vectoriel de dimension 9: C'est l'espace produit tensoriel. Cet espace peut -être manipulé comme un espace vectoriel classique. Cependant du fait de sa construction celui-ci possède quelques propriétés spéciales que l'on va étudier.
.
2- Représentation d'un tenseur {Aij}par une matrice [Aij].
.
Soit V un tenseur quelconque de cet espace tensoriel de composantes Aij (soient 9 composantes). On va présenter celui-ci sous forme d'une matrice carré [Aij].
.
On va décomposer cette matrice en 3 matrices en utilisant la propriété:

Aij = 1/2 (Aij + Aji) + 1/2 (Aij-Aji) pour tous les coéfficients.
.
On a ainsi la matrice décomposée en une matrice antisymétrique (donc avec des zéros sur la diagonale) et une matrice symétrique. Je peux ensuite décomposée la matrice symétrique en deux matrices symétriques: l'une purement diagonale, l'autre avec des zéros sur la diagonale.
.
3- Changement de base.
.
Supposons que l'on effectue un changement de base dans l'espace vectoriel à 9 dimensions. le même tenseur V sera représenté dans la nouvelle base par ses nouvelles composantes Bij.

Ces composantes pourront être représentées par une matrice 3.3 comme précedemment. Cette même matrice pourra être également décomposée en somme de 3 matrices.
.
4- Conclusion.

La conclusion importante est que la matrice antisymétrique sera transformée en 1 autre matrice antisymétrique. même chose pour les 2 autres matrices.
.
Cette interprétation matricielle réexaminée dans l'espace tensoriel veut dire qu'il existe 3 sous-espace invariants (somme directe).
.
1- Celui associée à la matrice antisymétrique de dimension 3. C'est lui qui est à l'origine du produit vectoriel.
.
2- Celui associé à la matrice symétrique à trace nulle, un espace de dimension 5.
.
3- Un espace de dimension 1 (la trace d"une matrice est invariante par changement de base) qui est à l'origine du produit scalaire.

.
En résumé lorque l'on fait un produit tensoriel d'espace, après avoir fait un premier changement de base on obtiend 3 sous-espaces invariants par changement de bas de dimensions 3 + 5 + 1 = 9
.
Le produit vectoriel est donc la composante antisymétrique du tenseur V et le produit scalaire est la trace de la matrice associée au tenseur V.
.
Nota
.
1- Du point de vue axiomes de bases des espaces vectoriels le champ électrique et le champ magnétique sont l'un et l'autre des vecteurs.
.
Du point de vue tensoriel, cad vis a vis d'un changement de base, le champ électrique est un tenseur de rang 1 alors que le champ magnétique est la composante antisymétrique de rang 2. par une inversion le champ électrique se renverse (il suit le changement de base) alors que le champ magnétique reste invariant(il court 2 fois plus vite que le changement de base).
.
2- Tous les tenseurs sont des vecteurs, mais tous les vecteurs ne sont pas des tenseurs. c'est pourquoi j'insiste pour dire qu'un tenseur c'est un vecteur muni de propriété spéciales.
.
3- La décomposition de l'espace produit tensoriel en somme directe est une décomposition en composantes irréductibles selon la terminologie de la representation des groupes. C'est pourquoi cet exercice est fondamental pour acquérir un certain style de raisonnement.

[Ludwig]

Bonjour,

J'avais écris ça ce matin, entre temps Mariposa vient de dire les choses de façon trés précise. J'ai essayé d'être le plus simple possible, avec les risques que cela comporte. On me corrigera le cas échéant.

Ici je montre juste les idées générales si ça peut aider.

bonsoir tous le monde voici deux questions très bête mais qui me chagrine:

Produit vectoriel, produit scalaire

Il faut savoir que les vecteurs sont une façon commode de représenter des grandeurs physiques. Ce ne sont que des images.

Exemple:

En électricité on représente une tension ou un courant (fonctions sinusoïdales) par des vecteurs tournants.

- un produit vectorielle ^ c'est en faite comme une multiplication de vecteur ou sa na rien a voir??et quand cela s'utilise t il??

Géométriquement un produit vectoriel comme son non l'indique, consiste « à rendre perpendiculaire » entre eux deux vecteurs puis à multiplier ces deux vecteurs « perpendicularisés » entre eux. Le résultat est un vecteur se trouvant dans un plan orienté orthogonalement par rapport au plan des deux vecteurs d'origine.

Exemple:



Où est l'angle formé par les directions des vecteurs.

En clair, le produit vectoriel consiste à:

1) Rendre un des vecteur perpendiculaire par rapport à l’autre par exemple

2) Un produit entre le vecteur « perpendicularisé » et celui non « perpendicularisé »

On trouve de nombreuses applications dans le domaine de l'électromagnétisme par exemple.

Par définition on appelle ceci un produit vectoriel

- un produit scalaire qu'es ce que c'est??
je sais que F.AB (vectoriellement)= F*distance a-b*cos (angle entre F et ab))

Géométriquement le produit scalaire consiste à rendre parallèle entre eux deux vecteurs dans un plan donné, puis faire le produit de ces deux vecteurs "parallèlisés". Le résultat est un vecteur se trouvant dans le même plan que les vecteurs d'origines.


Toujours en électricité on écrira:



où est l'angle formé par les directions des vecteurs.

Par définition on appelle ceci un produit scalaire

Ici le résultat est une puissance notée P


En clair, le produit scalaire consiste à faire:

1) Rendre palèlle un vecteur par rapport à l’autre par exemple

2) Un produit entre le vecteur "paralèlisé" et celui non "paralèlisé".


Evidement on peut maintenant généraliser tous ceci en introduisant la notion d’espace vectoriel ainsi que les tenseurs comme le fait Mariposa.

Mais quand utilise t on le produit scalaire et pourquoi??
(Même question en faite pour le produit vectorielle)

Je ne sais s'il existe une réponse simple sous forme de recette de cuisine. C'est la nature du problème qui le dira.




Cordialement

Ludwig

[invite40f82214]

merci tous le monde pour vos reponse c super gentil je pense avoir un peu mieu compris,bon week end!

[ClairEsprit]

La réponse de ClairEsprit est très mathématique. D'autres réponses existent en physique

Effectivement, ma réponse est très mathématique. Mais un produit scalaire et un produit vectoriel sont des opérations mathématiques. Ta réponse porte plutôt sur l'interprétation que la physique peut faire d'un produit scalaire ou d'un produit vectoriel, dans quel domaine on peut les appliquer, comment la physique se sert de ces outils pour mettre en relation des concepts issus de l'expérience sensible. Il faut la conjonction des deux. On doit en premier lieu me semble-t-il connaître la définition mathématique exacte avant de pouvoir se permettre d'appliquer les outils obtenus sur des concepts. Ensuite, la seconde démarche est nécessaire, puisqu'on parle tout de même de physique. Mariposa parle de façon très technique, d'une façon incompréhensible pour le profane, mais ne parle pas d'autres choses que moi : une matrice est la représentation d'une application linéaire, un tenseur du point de vue algébrique n'est pas autre chose qu'une application p+q linéaire d'un ensemble de départ produit composé de p fois le dual d'un module sur un anneau K et n fois ce module, sur un esemble d'arrivée qui n'est autre que l'anneau de base K. Ludwig, lui, préfère une présentation très "manuelle" et qui oblitère un peut trop selon moi l'aspect mathématique des choses : on ne peut pas définir un produit scalaire uniquement à partir de concept physiques; c'est avant tout un être mathématique et il convient de ne pas l'oublier.

Bref... cela me ramène à des discussions que j'avais ouvertes, et qui mettent certainement en lumière une certaine position épistémologique intuitive qui est la mienne. Elle s'explique sans doute dans une ligne bien connue mais j'avoue que j'ai découvert il y a peu seulement que ce champ d'étude avait déjà été ouvert depuis bien longtemps. Peut-être mes positions sont-elles donc dépassées et montrées inconsistantes avant que j'ai pu même commencer à y penser.

Tout de même, il y a selon moi une démarche qui doit être celle-ci : poser et définir des entités mathématiques, les axiomes et le fonctionnement de la logique. Ensuite on peut faire n'importe quoi dans ce champ mais cela reste des mathématiques. Pour passer à la physique, il doit y avoir une étape de conceptualisation et de réification de l'entité mathématique dans un concept physique. C'est là pour moi l'essence de la physique; j'ai souvent l'impression que cette étape n'est jamais vraiment bien comprise ni bien délimitée par le physicien professionnel (j'ose le dire, mais je ne suis pas professionnel de la physique moi-même; pour autant j'ai reçu un enseignement de physique et ai été à leur contact).

Je sais que lisant ceci le sang de mariposa ne fait qu'un tour mais je ne fais pas non plus de généralité; c'est seulement le constat d'une certaine déficience dans l'enseignement de la physique et qui se traduit aujourd'hui par la diversité des réponses obtenues à la question finalement très simple de miketyson42.

[invité576543]

Il faut la conjonction des deux.

Bien sûr! Mais tu avais donné la version mathématique, nul besoin avais-je de la répéter!

On doit en premier lieu me semble-t-il connaître la définition mathématique exacte avant de pouvoir se permettre d'appliquer les outils obtenus sur des concepts.

Le "en premier lieu" est discutable. Les mathématiciens ne choisissent pas les concepts et les définitions mathématiques au hasard. Il y a un choix, et ce choix précède les définitions exactes. Personnellement, je pense qu'une grande partie de ces choix sont guidés par la réalité du monde, par nos perceptions du monde, donc d'une certaine manière par la physique.

Il est frappant que l'on apprend les notions de vecteurs d'abord par la géométrie, par les figures, les dessins, qui sont des représentations physiques. Or la notion d'espace vectoriel est bien plus large que la géométrie, et le produit scalaire de même.

Si on veut parler de définition mathématique exacte il faudrait pour bien faire passer l'abstraction et donc la compréhension du concept présenter des exemples qui ne sont pas géométriques du tout, comme par exemple le produit scalaire entre polynômes formels (et ce n'est pas ce qu'il y a de plus exotique...).

Je pense que la bonne approche est plutôt

a) compréhension du concept dans des cas "intuitifs", extraits de l'expérience courante (et donc d'une certaine manière de la physique)

b) définition mathématiques exacte

c) applications du concept à des cas éloignés de l'expérience courante

Tout de même, il y a selon moi une démarche qui doit être celle-ci : poser et définir des entités mathématiques, les axiomes et le fonctionnement de la logique. Ensuite on peut faire n'importe quoi dans ce champ mais cela reste des mathématiques.

Le problème de cette approche est qu'elle n'explique pas, et ne permet pas de comprendre, le choix de ces entités mathématiques. Le champ des mathématiques est bien plus grand que ce qu'on étudie. Il y a des choix. Pourquoi présente-t-on si rarement les nombres p-adiques, qui sont pourtant une généralisation très intéressante (mathématiquement) des nombres décimaux (ou autre base), alors que l'on présente si souvent les nombres complexes? La raison est à chercher dans l'utilité pratique de ces concepts. Je connais plein d'applications des complexes en physique, aucune des nombres p-adiques...

Pour passer à la physique, il doit y avoir une étape de conceptualisation et de réification de l'entité mathématique dans un concept physique.

Tout à fait, mais il y a aussi l'étape inverse, et elle est bien plus importante. La mathématisation du monde précède son écriture formelle. Notre cerveau modélise le monde et fait donc inconsciemment des mathématiques. Du coup, les concepts mathématiques que l'on choisit de formaliser sont dirigés, triés, sélectionnés à l'avance par cette modélisation du monde qui la précède.

C'est là pour moi l'essence de la physique; j'ai souvent l'impression que cette étape n'est jamais vraiment bien comprise ni bien délimitée par le physicien professionnel (j'ose le dire, mais je ne suis pas professionnel de la physique moi-même; pour autant j'ai reçu un enseignement de physique et ai été à leur contact).

Pas très clair, l'essence de la physique est plutôt le passage réalité -> mathématique que l'inverse (l'inverse est une approche très récente, la théorie des cordes en étant le meilleur exemple). On peut éventuellement critiquer les physiciens comme voyant les objets mathématiques uniquement comme quelque chose d'utile pour modéliser le réel, mais je ne suis pas sûr que c'est ce que tu veux dire.

Je sais que lisant ceci le sang de mariposa ne fait qu'un tour mais je ne fais pas non plus de généralité; c'est seulement le constat d'une certaine déficience dans l'enseignement de la physique et qui se traduit aujourd'hui par la diversité des réponses obtenues à la question finalement très simple de miketyson42.

La question n'est pas simple du tout. Tu as répondu à la partie la moins importante, ce que sont ces produits. Pour cela répéter les définitions, donner les formules suffit. Mais la question contient aussi des "quand utilise-t-on", et à cela il n'y a pas de réponse facile, et, excuses-moi, mais il n'y a pas beaucoup d'éléments de réponse à cela dans ton texte.

Cordialement,

[ClairEsprit]

Le "en premier lieu" est discutable. Les mathématiciens ne choisissent pas les concepts et les définitions mathématiques au hasard. Il y a un choix, et ce choix précède les définitions exactes.

C'est vrai; il y a interaction constante entre physique et mathématique. J'ai dans mon message précédent choisi un seul sens, je ne pense par pour autant que les mathématiques soient premiers et la physique seconde.

Je pense que la bonne approche est plutôt

a) compréhension du concept dans des cas "intuitifs", extraits de l'expérience courante (et donc d'une certaine manière de la physique)

b) définition mathématiques exacte

c) applications du concept à des cas éloignés de l'expérience courante

Oui, c'est une bonne approche. L'essentiel de ma remarque consistait à pointer le doigt sur les ponts entre mathématique et physique, qu'on les emprunte dans un sens ou dans l'autre.

Tout à fait, mais il y a aussi l'étape inverse, et elle est bien plus importante.

Elle ne m'avait pas échappé; je connais les apports de la réflexion physique sur certaines branches mathématique. Qu'elle soit bien plus importante, je ne sais pas; les ponts sont utiles dans les deux sens, chacun habitant de son côté se trouve certainement aussi important que l'autre !

La question n'est pas simple du tout. Tu as répondu à la partie la moins importante, ce que sont ces produits. Pour cela répéter les définitions, donner les formules suffit. Mais la question contient aussi des "quand utilise-t-on", et à cela il n'y a pas de réponse facile, et, excuses-moi, mais il n'y a pas beaucoup d'éléments de réponse à cela dans ton texte.

Je n'ai pas répondu au coeur de la question de miketyson42, car je trouve que cette question est une question pour le moment très personnelle en physique. J'ai communiqué les références vers les outils permettant à miketyson42 de se former une opinion personnelle de ce qu'est un produit vectoriel ou un produit scalaire; car la physique ne l'enseigne pas formellement (peut-être le produit scalaire ou vectoriel sont-ils des mauvais exemples mais il y en a d'autres plus raffinés); c'est à chacun de s'approprier sa propre représentation interne à partir de ça : on l'a vu dans les réponses, chacun a ses propres références mnémotechniques. C'est ce que je déplore un peu dans l'enseignement de la physique : je n'ai pas pu donner de réponse claire à notre ami miketyson42 car on ne me l'a pas enseignée. Je n'ai que des images à faire partager, des impressions vagues; je n'aurais fait qu'ajouter ma perception personnelle à un concert de notes diverses plus ou moins bien accordées entre elles.

[mariposa]

Je reprends mon exposé (en améliorant les notations et la qualité du texte) précedent en ayant 4 objectifs:
.
1- Coller au plus près de la question posée par Miketyson42. Je résume ainsi sa question: Quel est le rapport entre des produits de vecteurs comme le produit scalaire et le produit vectoriel? Je montre que certaines situations expérimentales du physicien amène inévitablement le concept de produit tensoriel.
.
2- J'essaie de monter sur un cas particulier comment s'articule la pensée du physicien et celle du mathématicien. J'insiste sur ce cas particulier là car les ouvrages de mathématiques sont tellement généraux et détachés de toute réalités qu'il est difficile d'en tirer des conclusions pratiques pour le phycisien. A contrario les livres de physique sont souvent exagéremment imprècis sur cette question parce que trop éloignés des mathématiques. Mon exposé se veut donc un juste milieu, un compromis entre rigueur et efficacité.
.
3- Cet exposé qui part du question simple: c'est quoi un produit vectoriel? est organisé non seulement pour répondre à la question mais en introduisant la notion de produit tensoriel (qui n'a pas besoin d'espace dual) je voudrait préparer a des mécanismes de pensée plus généraux tels ceux utilisés en théorie de représentations des groupes. Et là il s'agit d'une lacune énorme de l'enseignement surtout pour vraiment comprendre la MQ.
.
4- En fonction des réactions je l'améliorerai. Bon but est qu'il serve de références (pour mes propres posts) pour la compréhension des tenseurs, spineurs ainsi que la théorie de représentations des groupes ou et/ou des algébres.


Pourquoi le PRODUIT SCALAIRE et le PRODUIT VECTORIEL amènent le PRODUIT TENSORIEL


En physique on a souvent une grandeur qui est proportionnelle à 2 autres grandeurs. En toute généralité on a donc :

A= B*C

Mais que se passe-t-il si B et C sont eux-mêmes des vecteurs ? Il va falloir introduire les composantes des vecteurs B et de C.

Si l’on suppose que à vecteur C constant A est proportionnel à chacune des composantes de B et que à B constant A est proportionnel à chacune des composantes de C alors on peut écrire :
;
A= Bi*Cj en sommant sur les 2 indices ce qui fait 9 termes.

Ceci est vrai dans une base déterminée. Si on change de base pour représenter les vecteurs B et C on aura :

A= Bn*Cm

En effet A est un résultat physique et donc ne peut pas dépendre de la base pour représenter les vecteurs B et C. Toutefois il y a une ambiguïté, car on suppose ici qu’implicitement A est un nombre et pourquoi pas un vecteur? Et bien non c’est impossible, c’est pourquoi il faut étudier sérieusement cette multiplication de vecteurs. Cette multiplication de vecteurs amène le concept mathématique de tenseur et d’espace tensoriel.

Le produit scalaire et le produit vectoriel sont 2 notions qui émergent de la notion de produit tensoriel.

Note : Par la suite les notations du paragraphe précédent et du paragraphe suivant n’ont aucun rapport.
.

1- Espace produit tensoriel.

Supposons que l’on a un espace vectoriel E de dimension N où les {Xi} forment une base (pour les exemples on prendra N=3). On peut former tous les couples produits {Xi*Yj}qui forment une base d’un nouvel espace vectoriel de dimension 9: C'est l'espace produit tensoriel noté E*E. Cet espace peut -être manipulé comme tout espace vectoriel (addition de vecteur, multiplication par un nombre, changement de bases etc...) Un vecteur V quelconque de cet espace s’appelle un tenseur et ses composantes sont {Aij}dans la base des {Xi*Yj}. Bien entendu si l’on effectue un changement de base dans E celui-ci induit un changement de base dans E*E et donc modifie les composantes du tenseur V.

Nous allons voir que le vecteur V est appelé tenseur V possède quelques propriétés spéciales qui découlent du mode de construction de l’espace E*E.
.
2- Représentation d'un tenseur V {Aij}par une matrice [Aij].
.
Soit V un tenseur quelconque de cet espace tensoriel de composantes {Aij} (soient 9 composantes). On va représenter celui-ci sous forme d'une matrice carré [Aij] de dimension 3.
La raison de cette démarche est qu’il est facile d’utiliser les propriétés élémentaires des matrices et en tirer en retour les conclusions sur le tenseur V.
.
3- Décomposition de la matrice [Aij]

Décomposons cette matrice en une somme de 3 matrices en utilisant la propriété:

Aij = 1/2 (Aij + Aji) + 1/2 (Aij-Aji) pour tous les 9 composantes. (1)
.
Ainsi la matrice est décomposée en une matrice antisymétrique (donc avec des zéros sur la diagonale) et une matrice symétrique. On peut ensuite décomposer la matrice symétrique en deux autres matrices symétriques: l'une purement diagonale (les trois Aii), l'autre symétrique avec des zéros sur la diagonale.

Quelle est la signification de la décomposition matricielle pour le vecteur V ? La lecture de l’expression (1) montre qu’il s’agit simplement d’un changement de base particulier dans E*E. Dans cette nouvelle base particulière le tenseur V a pour composante {Bij}
.
4- Changement de base quelconque dans E*E.
.
Supposons que l'on effectue un nouveau changement de base mais quelconque dans l'espace vectoriel à 9 dimensions. le même tenseur V sera représenté dans la nouvelle base par ses nouvelles composantes {Cij}.

Les composantes {Cij}de V pourront être représentées comme précédemment par une nouvelle matrice [Cij]. Cette même matrice pourra être également décomposée en somme de 3 matrices.
.
A l’évidence les matrices {Bij} et {Cij} se décomposerons de façon universelle en :

Une matrice antisymétrique.
Une matrice symétrique avec des zéros sur la diagonale.
Une matrice purement diagonale.
.
Cette propriété matricielle réinterprétée dans l'espace tensoriel signifie qu'il existe 3 sous-espace invariants (somme directe). Par exemple les 3 composantes associées à la matrice antisymétrique deviennent après changement de base 3 nouvelles composantes. C’est bien l’existence d’un sous-espace invariant par changement de base.

1- Le sous-espace invariant associé à la matrice antisymétrique de dimension 3 est celui qui est à l'origine du produit vectoriel.
.
2- Le sous-espace invariant associé à la matrice symétrique avec des zéros sur la diagonale est un espace de dimension 5.
.
3- Le sous-espace associé à la matrice purement diagonale (On exploite le fait que la trace d"une matrice est invariante par changement de base) qui est une espace de dimension 1 est celui à l'origine du produit scalaire.

En résumé :
.
En résumé lorsque l'on fait un produit tensoriel d'espace, après avoir fait un premier changement de base particulier on met en évidence :

3 sous-espaces invariants de dimensions 3 + 5 + 1 = 9
.
Le produit vectoriel est donc la composante antisymétrique du tenseur V et le produit scalaire est la trace de la matrice associée au tenseur V.
.
Remarques :
.
1- Du point de vue axiomes de bases des espaces vectoriels le champ électrique et le champ magnétique sont l'un et l'autre des vecteurs.
.
Du point de vue des propriétés tensorielles, cad vis a vis du comportement dans un changement de base, le champ électrique est un tenseur de rang 1 (parce qu’il appartient à E) alors que le champ magnétique est la composante antisymétrique d’un tenseur de rang 2 (il appartient à E*E). Par une inversion (x,y,z donne x,y,-z) les composantes du champ électrique se renverse (Ex,Ey,Ez donne Ex, Ey,-Ez), il suit le changement de base, alors que la composante du champ magnétique Ez donne Ez , « il court 2 fois plus vite » que le changement de base).
.
2- Tous les tenseurs sont des vecteurs, mais tous les vecteurs ne sont pas des tenseurs. c'est pourquoi j'insiste pour dire qu'un tenseur c'est un vecteur muni de propriété spéciales.

Il ne pas confondre la notion de vecteur et la notion de tenseur de rang 1. Par exemple (voir ci-dessus) le champ magnétique est bien un vecteur mais n’est pas un tenseur de rang 1 puisque c’est une composante antisymétrique d’un tenseur de rang 2.

Le produit scalaire est la composante d’un vecteur invariant d’un espace à 1 dimension. Pour cette raison on dit que le produit scalaire est un tenseur de rang 0. L’erreur est de penser que le produit scalaire est associé à la dimension zéro. C’est totalement faux, le produit scalaire est associé à la dimension 1. Il ne confondre la dimension d’un espace et le comportement des composantes d’un vecteur lors d’un changement de base.
.
3- On notera que dans l’espace E*E le tenseur de rang 2 se décompose en 3 composantes dont une composante est un tenseur de rang zéro (le produit scalaire). Il n’y a pas de tenseur de rang 1 dans cette décomposition. Cela n’est pas général par exemple on peut vérifier que dans la décomposition E*E*E il y a un tenseur de rang 1 cad qu’il y a un sous-espace invariant dont les composantes se transforment comme un vecteur (tenseur de rang 1) de l’espace E.
.
4- Selon la terminologie de la représentation des groupes, la décomposition de l'espace produit tensoriel ci-dessus en somme directe d’espace (sous-espace invariant) est une décomposition en ses composantes irréductibles. C'est pourquoi l’exemple traité ci-dessus constitue une mise en jambe de la théorie des représentations des groupes qui est une généralisation.

[ClairEsprit]

Bonjour,

déjà, sans entrer dans le détail de l'exposé, j'ai quelques remarques. En tout cas, bravo pour l'intention louable. Je précise encore que je ne suis pas professionnel et que la pratique du calcul me manque; mais je veux bien faire l'effort si cela devient nécessaire (je suis en vacances ). Tout ça pour dire que mes questions ne sont pas des objections gratuites mais des questions formulées pour bien comprendre.

Si l’on suppose que à vecteur C constant A est proportionnel à chacune des composantes de B et que à B constant A est proportionnel à chacune des composantes de C alors on peut écrire :
;
A= Bi*Cj en sommant sur les 2 indices ce qui fait 9 termes.

Je ne comprends pas bien cet exemple et pourquoi vous introduisez ces suppositions. Qu'est-ce que représentent ces vecteurs physiquement ? Pourquoi ces suppositions sur la proportionalité des composantes ? Pourquoi ensuite sommer sur les composantes produit ?
C'est-à-dire, je comprends les suppositions, mais je ne comprends pas comment naturellement vous êtes amené à les introduire.

Supposons que l’on a un espace vectoriel E de dimension N où les {Xi} forment une base (pour les exemples on prendra N=3). On peut former tous les couples produits {Xi*Yj}qui forment une base d’un nouvel espace vectoriel de dimension 9: C'est l'espace produit tensoriel noté E*E.

D'où viennent ces Xi et Yi ? Si Xi est une base de E³ bon, je vois, mais les Yi d'où sortent-ils ?

Un vecteur V quelconque de cet espace s’appelle un tenseur et ses composantes sont {Aij}dans la base des {Xi*Yj}.

Alors là je vous arrête tout de suite; un tenseur pour moi (enfin, pour ce que je comprends de mon bouquin d'algèbre) c'est une application linéaire d'un ensemble de départ sur un ensemble d'arrivée; je ne vois pas comment vous pouvez identifier un tenseur avec un vecteur de l'ensemble de départ alors que ce vecteur n'est qu'un élément que le tenseur transforme. Un tenseur, d'après la définition de mon bouquin, c'est une application linéaire.

[mariposa]

Au final, on verra un vecteur ou un scalaire comme un élément d'un ensemble muni de certaines lois de composition et de certaines relations; mais en fait il n'y a pas de distinction mathématique claire entre vecteur et scalaire; un scalaire est un vecteur particulier.

.
Ben si la distinction est claire, c'est le but précisemment de mon exposé. le fond de la question sont des propriétés invariantes par changement de base.

A ce moment là, le produit scalaire ou le produit vectoriel ne sont que des cas particuliers d'applications linéaires.

Oui mais ce sont justement les particularités qui définissent les produits en question.

Si tu veux vraiment comprendre je t'encourage vivement à étudier l'algèbre : théorie des groupes (de base : la définition d'un groupe suffit), des anneaux, des modules sur un anneaux, les applications linéaires, les applications linéaires anti-symétiques (le produit vectoriel en est un exemple).

Non pas tout çà! Ma démonstration nécessite uniquement de savoir:

1- Ce qu'est un espace vectoriel.
2- Le changement de base dans un espace vectoriel.
3- L'addition des matrices.
4- La trace d'une matrice est invariante par changement de base.

Autrement dit ce qui s'apprend dès le premier trimestre de la premier année universitaire

[ClairEsprit]

Puisqu'il y a eu croisement je ne vais pas être trop long mais juste pour dire :

.
Non pas tout çà! Ma démonstration nécessite uniquement de savoir:

1- Ce qu'est un espace vectoriel.
2- Le changement de base dans un espace vectoriel.
3- L'addition des matrices.
4- La trace d'une matrice est invariante par changement de base.

=> un ev est un module sur un anneau particulier qui est un corps
=> une matrice est une application linéaire

c'est donc exactement ce dont je parlais.

[mariposa]

Bonjour,

déjà, sans entrer dans le détail de l'exposé, j'ai quelques remarques. En tout cas, bravo pour l'intention louable. Je précise encore que je ne suis pas professionnel et que la pratique du calcul me manque; mais je veux bien faire l'effort si cela devient nécessaire (je suis en vacances ). Tout ça pour dire que mes questions ne sont pas des objections gratuites mais des questions formulées pour bien comprendre.

.
Merci pour tes encouragements.

Je ne comprends pas bien cet exemple et pourquoi vous introduisez ces suppositions. Qu'est-ce que représentent ces vecteurs physiquement ? Pourquoi ces suppositions sur la proportionalité des composantes ? Pourquoi ensuite sommer sur les composantes produit ?
C'est-à-dire, je comprends les suppositions, mais je ne comprends pas comment naturellement vous êtes amené à les introduire.

.
Je ne suis pas content du tout de cette introduction. Aussi je vais me donner le temps pour prendre des exemples concrets qui soient très familiers pour partir sur de bonnes bases. En gros comment à partir d'un problème physique et réinventer les tenseurs.

D'où viennent ces Xi et Yi ? Si Xi est une base de E³ bon, je vois, mais les Yi d'où sortent-ils ?

C'est Yj et non Yi qui est la même base de E mais avec un indice muet différent.
.
par exemple avec une base x,y,z ça veut dire tous les produits:
x.x, x.y, x.z, y.x, y.y, y.z etc... il y en a 9!

Alors là je vous arrête tout de suite; un tenseur pour moi (enfin, pour ce que je comprends de mon bouquin d'algèbre) c'est une application linéaire d'un ensemble de départ sur un ensemble d'arrivée; je ne vois pas comment vous pouvez identifier un tenseur avec un vecteur de l'ensemble de départ alors que ce vecteur n'est qu'un élément que le tenseur transforme. Un tenseur, d'après la définition de mon bouquin, c'est une application linéaire.

.
C'est justement une faute pédagogique (au moins pour les physiciens) que d'aborder les tenseurs par ce bout.
.
On peut définir effectivement un tenseur comme une forme bilinéaire (cad une application dans un corps) sur un espace vectoriel T.Soit T*T dans K
.

Mais l'ensemble de ces applications forment nouvel un espace vectoriel. Autrement dit un tenseur c'est bien un vecteur. En fait j'ai définit ainsi un tenseur du second ordre 2 fois covariants.
.
Remarque: il faut bien distinguer:
.
L'espace T*T
L'espace dual de T*T qui est l'espace des formes bilinéaires
La valeur de la forme d'un couple de T*T qui est une valeur sur le corps K.
.
C'est démarche est la plus haute mathématiquement mais c'est le pire moyen pour voir d'où vient le produit vectoriel. Mon approche des tenseurs est beaucoup concrète et pratique car elle met rapidement en évidence des propriétés invariantes très loin des généralités sur les tenseurs. il n'en reste pas moins vrai que d'une manière universelle un tenseur c'est un vecteur.
.
PS: Je vais m'absenter ce soir, mais j'espère que l'on continuera. A bientôt Claire.

[ClairEsprit]

.PS: Je vais m'absenter ce soir, mais j'espère que l'on continuera. A bientôt Claire.

Alors celle-là elle est bonne : à cause de votre pseudo je vous ai toujours pris pour une femme; mais dans votre prose ne voyant jamais d'accord féminin je suis revenu sur ma position. Maintenant j'ai l'impression que vous me prenez pour quelqu'un du sexe féminin à cause de la casse de mon pseudo mais je vous garantis qu'il n'en est rien ! ClaireEsprit c'est Clair-Esprit...

On va quand-même essayer de se comprendre

[invité576543]

Bonsoir,

C'est justement une faute pédagogique (au moins pour les physiciens) que d'aborder les tenseurs par ce bout.

Autant je trouve l'entreprise louable, autant je trouve ce genre de jugement un peu fort. Il y a différentes approches pédagogiques, qui marchent plus ou moins bien pour différentes personnes.

Personnellement, je pense que les concepts se comprennent mieux avec plusieurs éclairages distincts, venant de différentes directions, comme une statue que l'on ne peut pas "comprendre" avec une seule photo. Toujours de mon point de vue, un cas où je pourrais parler de "faute pédagogique" est une présentation monolithique, ne présentant un éclairage unique et trop fort, sans nuances, ce qui en général amène des ombres profondes...

Sinon, je suis avec intérêt ta présentation et les réactions à ladite!

Cordialement,

[mariposa]

Bonsoir,

Autant je trouve l'entreprise louable, autant je trouve ce genre de jugement un peu fort. Il y a différentes approches pédagogiques, qui marchent plus ou moins bien pour différentes personnes.

Bonsoir,
.
Certes, il y a en général différentes approches pédagogiques d'un problème. Néanmoins une première approche trop formelle est un obstacle à la compréhension de quoi que ce soit. C'est d'ailleurs un des principaux défauts de l'enseignement en France.

Néanmoins en ce qui concerne les tenseurs ce que j'ai expliqué est fondé sur ma propre et "longue" expérience, c'est pourquoi j'ai la forte conviction que c'est une bonne méthode de compromis entre physique et mathématiques. L'idée est que je peux me passer totalement d'espace dual.

Personnellement, je pense que les concepts se comprennent mieux avec plusieurs éclairages distincts, venant de différentes directions, comme une statue que l'on ne peut pas "comprendre" avec une seule photo. Toujours de mon point de vue, un cas où je pourrais parler de "faute pédagogique" est une présentation monolithique, ne présentant un éclairage unique et trop fort, sans nuances, ce qui en général amène des ombres profondes...

Je suis entièrement d'accord sur les principes avec ce que tu as écrit. S'agissant des tenseurs c'est bien l'approche monolithique que je critique. J'observe que les tenseurs (en fait des champs de tenseurs) présentés dans les livres de RG sont difficilement compréhensibles si on n'a pas abordé le problème préalablement sous un angle plus simple. Encore une fois il faut monter progressivement dans l'abstraction et seulement quand cela est nécessaire (pour le physicien). Bref ne pas bruler les étapes.

[mariposa]

Alors celle-là elle est bonne : à cause de votre pseudo je vous ai toujours pris pour une femme; mais dans votre prose ne voyant jamais d'accord féminin je suis revenu sur ma position. Maintenant j'ai l'impression que vous me prenez pour quelqu'un du sexe féminin à cause de la casse de mon pseudo mais je vous garantis qu'il n'en est rien ! ClaireEsprit c'est Clair-Esprit...

On va quand-même essayer de se comprendre

.
Oui c'est drôle, certains pensent que je suis une femme. J'ai choisi ce pseudo parce que c'est mot préféré en espagnol. en fait je suis bien un homme.
.
Bonsoir ClairEsprit

[invité576543]

Néanmoins en ce qui concerne les tenseurs ce que j'ai expliqué est fondé sur ma propre et "longue" expérience

Hors sujet, mais propre et longue expérience est celle de quelqu'un qui n'a pas appris les tenseurs à l'école, mais en autodidacte en prenant divers bouquins et sites et en collant tous les bouts ensemble par soi-même. Je pense bien comprendre maintenant (c'est pas bien compliqué, en fait...), mais aucun de ces bouquins ou sites seuls ne m'aurait suffit. Ce sont les différents éclairages des différentes approches, et leur comparaison, qui m'a donné ce que je cherchais, en me permettant de me faire mon propre "chemin mental".

Mais, par exemple, cela m'amène à ne pas être d'accord avec cette idée de se passer de l'espace dual (ça m'a pas mal aidé!). Mais je considère cela comme une opinion personnelle (je parle de la mienne), sans aucune valeur d'absolu et d'applicabilité à tout le monde.

Cordialement,

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Juste pour mettre mon grain de sel...

Je n'ai pas suivi la discussion depuis le début (mais j'ai bien lu tous les posts). Maintenant je sais qu'il faut prendre les sections du fibré tensoriel tangent, ce n'est pas beaucoup plus clair mais c'est formellement correct.

En fait j'ai appris les tenseurs "à la Bourbaki", càd comme quotient de l'algèbre formelle par les relations de bilinéarité du produit tensoriel... et du coup il m'a fallu pas mal de temps pour me mettre aux conventions d'Einstein et repérer que les indices en haut étaient des numéros de ligne, ceux en bas des numéros de colonne.

Je ne crois pas que j'aurais compris beaucoup plus vite avec une autre présentation, mais ça montre à quel point le cheminement mental personnel a son importance.

-- françois

[mariposa]

Hors sujet, mais propre et longue expérience est celle de quelqu'un qui n'a pas appris les tenseurs à l'école, mais en autodidacte en prenant divers bouquins et sites et en collant tous les bouts ensemble par soi-même. Je pense bien comprendre maintenant (c'est pas bien compliqué, en fait...), mais aucun de ces bouquins ou sites seuls ne m'aurait suffit. Ce sont les différents éclairages des différentes approches, et leur comparaison, qui m'a donné ce que je cherchais, en me permettant de me faire mon propre "chemin mental".

.
Bonjour,

Excuse moi, je me suis très mal exprimé, il ne s'agit pas de mon expérience personnelle, mais de celles de mon entourage. Il s'agissait de la connaissance et perception de mes élèves (de DEA et d'écoles d'ingénieurs) et de mes ex-collègues d'un centre de recherche (CNET) très connu qui s'est évaporé avec la privatisation de FT.
.
1- Une première idée très répandue et fausse à combattre est: un tenseur c'est une matrice. Non un tenseur c'est un vecteur.
.
Nota:

A- Dans ma démonstration je represente les tenseurs par des matrices, ce qui ne change rien au fait que des tenseurs soient des vecteurs. Il s'agit seulement de représentation.
.
B- On peut effectivement dans certains cas comprendre les tenseurs comme des opérateurs et donc comme des matrices. Par exemple si l'on a le produit d'un tenseur mixte du second ordre par un tenseur du premier ordre, la contraction d'indice est strictement synonyme de produit d'une matrice par un vecteur colonne. Il n'empèche que fondamentalement un tenseur c'est un vecteur. Si l'on a pas ça dans la tête on ne peux pas manipuler d'une manière autonome les tenseurs.
.
2- J'ai souvent posé la question suivante: Qu'est-ce qui est plus général, les vecteurs ou les tenseurs et pourquoi? La réponse systématique est que ce sont les tenseurs qui sont une généralisation des vecteurs parcequ'il y a beaucoup d'indices!. Et bien non. Les tenseurs sont une classe particulière de vecteurs. Tous les tenseurs sont des vecteurs, mais tous les vecteurs ne sont pas des tenseurs.
.
3- Je note que ClairEsprit qui est intervenu pour m'objecter qu'un tenseur ce n'est pas un vecteur mais une application. Il ne lui est donc venu à l'esprit qu'une application pouvait-être un vecteur dès lors que les axiomes des espaces vectoriels sont vrais. Cela représente une illustration qu'une approche "mathématicienne" est inefficace.
.
4- J'observe également que tu n'as pas pu répondre à la question posée de l'origine commune du produit scalaire et du produit vectoriel. Ce n'est pas toi qui est en cause, c'est encore une fois plus l'inefficacité redoutable de l'approche "mathématicienne" dont nous avons tous été victimes à un moment ou à un autre.
.
5-Le premier prof de math agrégé qui passe chez moi, je lui pose la question:Ca vient d'où le produit scalaire et le produit vectoriel? je m'atttends a aucune réponse!

Mais, par exemple, cela m'amène à ne pas être d'accord avec cette idée de se passer de l'espace dual (ça m'a pas mal aidé!). Mais je considère cela comme une opinion personnelle (je parle de la mienne), sans aucune valeur d'absolu et d'applicabilité à tout le monde.
Cordialement,

.
Je ne rejette pas le concept de dualité pour les tenseurs, mais ce n'est en rien un concept central, je dirais donc que c'est secondaire voire inutile dans la plupart des cas.
.
D'ailleurs tous ceux qui s'initient à la MQ apprennent très tôt à faire le produit tensoriel d'espace de Hilbert selon le schéma que j'ai développé ci-dessus, ce qui montre indirectement l'universalité et l'efficacité de ma méthode.
.
La dualité permet de mettre en évidence 2 catégories de tenseurs de rang 1: les tenseurs covariants et les tenseurs contravariants qui vivent chacun dans des espaces différents.Dès lors que l'on introduit une métrique sur l'espace alors les 2 tenseurs deviennent un tenseur unique avec un double jeu de composantes (covariantes et contravariantes). La dualité s'est évaporé avec l'introduction de la métrique.

D'ailleurs certains ouvrages abordent la théorie des tenseurs à ce niveau sans dualité.
.
Inversement si l'on veut étudier des espaces topologiques comme les variétés sans introduire de notion métrique il devient indispensable d'introduire la dualité. C'est pourquoi dans les ouvrages modernes de RG on introduit la géométrie différentielle en exploitant au maximun les propriétés invariantes de métrique ce qui implique mécaniquement la dualité.

[ClairEsprit]

une première approche trop formelle est un obstacle à la compréhension de quoi que ce soit..

Je ne suis pas de cet avis. Ne pas formaliser nuit à la compréhension. L'abstraction permet la généralisation et donc la simplification du concept. Par exemple, si vous me dites qu'un tenseur peut être considéré comme un vecteur d'un espace vectoriel sur un corps K, alors cela apporte un éclairage particulièrement parlant et me permettra ensuite d'appliquer la théorie des espaces vectoriels à mon tenseur en sachant ce que je fais, sans répeter des formules toutes faites apprises par coeur. Il vous aura suffit de me fournir les ensemble concernés et les loi de compositions utilisées; autrement dit, de poser le problème dans sa généralité.

Encore une fois il faut monter progressivement dans l'abstraction et seulement quand cela est nécessaire (pour le physicien). Bref ne pas bruler les étapes.

Je ne suis pas non plus d'accord. C'est justement brûler les étapes que de faire l'économie de la présentation formelle, en ne donnant que des coup de projecteurs ici ou là sur une scène plus vaste. Je préfère que l'on allume la lumière tout de suite de façon à ce que je puisse me faire une vision d'ensemble globale. Ce n'est pas toujouts facile, je veux bien le reconnaître. Mais le physicien est aussi un mathématicien, pourquoi ne pas lui reconnaître ce mérite.

[ClairEsprit]

.
3- Je note que ClairEsprit qui est intervenu pour m'objecter qu'un tenseur ce n'est pas un vecteur mais une application. Il ne lui est donc venu à l'esprit qu'une application pouvait-être un vecteur dès lors que les axiomes des espaces vectoriels sont vrais. Cela représente une illustration qu'une approche "mathématicienne" est inefficace.

J'ai tout à fait à l'esprit qu'une application peut être un vecteur; je l'avais avant que tu fasses ta présentation des tenseurs. Il se trouve seulement que ta présentation des tenseurs n'était pas formellement rigoureuse et que pour que je puisse considérer tes tenseurs comme des vecteurs il aurait fallu que tu me présentes l'espace vectoriel sous-jacent, que tu le définisses; chose que tu n'as pas faite. T'étant contenté de parler de matrices je me suis tout naturellement restreint à la notion d'application linéaire.

Ceci est une sorte de démonstration par l'expérience pour corroborer le fait qu'une présentation générale est nécessaire : si je n'ai pas pu faire le lien entre tenseur et vecteur, alors que je connaissais préalablement la possibilité pour une application d'être considérée comme un vecteur, c'est parce que tu ne m'as pas permis de l'établir (ou alors je suis moins doué que la moyenne mais bon...)

[mariposa]

Je ne suis pas de cet avis. Ne pas formaliser nuit à la compréhension. L'abstraction permet la généralisation et donc la simplification du concept.

Je n'ai jamais dit le contraire. Il est effectivement très important de formaliser et de monter dans l'abstraction. Mais il y a différents niveaux d'abstraction et il faut à un moment donné se situer au bon niveau: Pas besoin d'un marteau pour tuer une mouche. Trop d'abstractions tuent l'abstraction qui se transforme d'ailleurs assez rapidement en baratin et çà se voie.
.
J'ai expliqué dans un post précedent l'interet limité du concept de dualité lié à l'absence de métrique définie. En pratique dans la plupart des cas il y a une métrique définie et mieux même des bases orthonormées cad même plus de composantes covariantes et contravariantes.
.
D'ailleurs cela montre que le concept de dualité pour les tenseurs joue sur un plan pédagogique un role de diversion. Ce qui est important dans les tenseurs ce sont les comportements de leurs composantes dans un changement de base et cela n'a rien à voir avec la dualité ni même avec les composantes covariantes et contravariantes.
.
En écrivant ces lignes je comprends de mieux en mieux les difficultés qu'ont les gens a comprendre les tenseurs.

Par exemple, si vous me dites qu'un tenseur peut être considéré comme un vecteur d'un espace vectoriel sur un corps K, alors cela apporte un éclairage particulièrement parlant et me permettra ensuite d'appliquer la théorie des espaces vectoriels à mon tenseur en sachant ce que je fais, sans répeter des formules toutes faites apprises par coeur.

.
Attention: Je dis qu'un tenseur c'est un vecteur (et non peut-être considérés comme un vecteur....). En plus je le démontre comme issus de la nécessité expérimentale, c'est toute la différence entre le point de vue mathématicien et le point de vue physicien. Les 2 points de vue sont d'ailleurs identiquement respectables. Tout dépend ce que l'on veut faire.

Je ne suis pas non plus d'accord. C'est justement brûler les étapes que de faire l'économie de la présentation formelle, en ne donnant que des coup de projecteurs ici ou là sur une scène plus vaste. Je préfère que l'on allume la lumière tout de suite de façon à ce que je puisse me faire une vision d'ensemble globale.

.
Au risque de me répeter il y a une gradation dans toute chose y compris dans la formalisation des chose.

Ce n'est pas toujouts facile, je veux bien le reconnaître. Mais le physicien est aussi un mathématicien, pourquoi ne pas lui reconnaître ce mérite.

Pas du tout d'accord. Autant je revendique mon statut de physicien, autant je me sens étranger aux vrais mathématiques. Ce serait irrespectueux de ma part. D'ailleurs essaie de dire à Pierre Gilles De Gennes que c'est un mathématicien et tu recevras une loghorrée d'insultes!!!

[invité576543]

En écrivant ces lignes je comprends de mieux en mieux les difficultés qu'ont les gens a comprendre les tenseurs.

Bonjour,

Je peux te dire que très peu de choses dans tes présentations m'aurait aidé quand je cherchais à comprendre les tenseurs. Mais comme je disais, ce qui marche pour les uns ne marche pas pour les autres, et j'imagine être une exception.

Je ne pense pas que grand chose puisse ébranler tes certitudes, et cela m'enlève toute raison de me lancer dans de grandes explications. Juste quelques points, qui ne reflètent que des positions personnelles, sans aucune volonté prosélyte:

- J'ai mieux compris les tenseurs quand j'ai distingué un tenseur en tant que tel de ses composantes;

- Dire qu'un tenseur est un vecteur est aussi illuminant pour moi que de dire qu'un polynôme est un vecteur: c'est vrai, cela m'indique que je peux appliquer une addition interne et une multiplication externe, mais strictement rien d'autre, et certainement pas ce qu'est un tenseur (ou un polynôme!);

- La signification de la dualité (au sens utilisé dans ce fil) en physique m'intrigue; je passe du temps à essayer de comprendre les "bonnes" positions des indices, celles qui ont un sens physique. C'est peut-être vain, tu as peut-être raison que c'est sans importance, mais ça me semble un préjugé.

Cordialement,

PS: Ex-collègues à Lannion? (J'ai passé du temps à Issy-les-Mx, et ai toujours pas mal de contacts avec ce milieu!)

[mariposa]

J'ai tout à fait à l'esprit qu'une application peut être un vecteur; je l'avais avant que tu fasses ta présentation des tenseurs. Il se trouve seulement que ta présentation des tenseurs n'était pas formellement rigoureuse et que pour que je puisse considérer tes tenseurs comme des vecteurs il aurait fallu que tu me présentes l'espace vectoriel sous-jacent, que tu le définisses; chose que tu n'as pas faite.

.
.
Ma présentation est tout aussi rigoureuse que les présentations classiques. Je m'explique:
.
Une présentation mathématique standard, en fait la plus courante (voir Bass Tome 1) consiste à définir un tenseur du second ordre covariant à partir d"une forme bilinéaire B sur un espace produit E*E (En rappelant qu'en mathématiques formes ou fonctionnelles sont des synonymes de applications sur un corps K).
.
On a donc:
.
B(X,Y) = a(i,j).Xi.Xj

Avec la somme usuelle sur les indices répétés.
.
Les Xi et Xj sont les composantes d'un vecteur de E (qui plus tard seront renommés sous l'appelation tenseur de rang 1).
.
Les a(i,j) définissent la forme bilinéaire relativement à la base choisie dans E.
.
B(X,Y) est la valeur de la forme au "point" (au sens mathématique) de coordonnées X,Y
.
Je te laisse de loin de vérifier que:

1- c'est l'introduction standard que l'on retrouve le plus souvent dans les livres mathématiques d'introduction aux tenseurs.
.
2- Je te laisse vérifier par toi-même que ma présentation est presque identique. La différence est que je n'ai pas besoin de définir une forme bilinéaire mais seulement le produit E*E.
.
L'avantage de ma démonstration est qu'elle permet non seulement d'en déduire le concept de produit scalaire qui correspond à la définition de la forme bilinéaire mais plus encore d'introduire 2 autres sous-espaces invariants. Ma méthode infiniment proche de la méthode "officielle" non seument permet de recouvrir la définition du scalaire mais de tirer des conclusions (à l'économie) très générales sur les invariants.Y a pas photos. Dans un math de tennis c'est 3 sets à zéro à mon avantage.

T'étant contenté de parler de matrices je me suis tout naturellement restreint à la notion d'application linéaire.

.
L'utilisation des matrices dont je fais usage est un isomorphisme entre tenseurs et matrices qui me permet de démontrer d'une manière économique et élégante la décomposition d"un espace tensoriel en sous-espaces invariants et qui me permet de monter que l' introduction de la définition standard par les mathématiciens (voir livres de Bass) n'est qu'un seul sous-espace invariant alors qu'il y en a 2 autres. Donc mon point de vue est à la fois plus général et opérationnel pour les physiciens. il me permet par exemple d'affirmer la notion de produit vectoriel et donc d'introduitre des notations indépendantes des composantes.

[ClairEsprit]

Je dis qu'un tenseur c'est un vecteur (et non peut-être considérés comme un vecteur....). En plus je le démontre comme issus de la nécessité expérimentale, c'est toute la différence entre le point de vue mathématicien et le point de vue physicien.

Nous avons visiblement deux conceptions différentes de la physique. Pour moi, le physicien doit toujours revenir à l'entité mathématique dans sa nudité implacable et inhumaine, peut importe quel chemin a été utilisé pour l'inventer. Pour revenir aux ponts jetés entre physique et mathématique évoqués avec mmy, peu importe depuis quel côté du pont on est passé; à partir du moment où on utilise l'entité mathématique pour faire des calculs on se doit de rester du côté mathématique. Evidemment, il convient de garder à l'esprit les ponts jetés entre mathématique et physique dans la problématique particulière étudiée, mais il faut toujours savoir de quel côté on travaille et dire par quel pont on est passé à chaque instant.

Ainsi, je ne peux pas être d'accord avec le fait que l'on puisse démontrer expérimentalement qu'un tenseur puisse être un vecteur ! Ou alors, on ne parle pas de la même chose. Vous êtes passé de l'autre côté du pont sans me l'avoir dit; mais pour moi, l'emploi du mot vecteur implique que je passe du côté mathématique, et je le comprends alors dans sa généralité la plus vaste connue pour moi en ce moment, à savoir un élément d'un ensemble M muni d'une loi de composition telle que le couple formé de M et de cette loi soit un groupe commutatif, dans le contexte où je travaille également avec un anneau de base K en considérant une application de KxM dans M vérifiant certaines propriétés. Les éléments de K, dans ce contexte, sont appelés les scalaires et ceux de M les vecteurs. A ce propos, si je prends un M particulier comme étant Kⁿ, on voit que dans le cas particulier n=1 un scalaire peut également être vu comme un vecteur. Il n'y a donc pas de distinction claire entre les deux.

Nous sommes donc au coeur du problème que j'évoquais : le physicien utilise des concepts mathématiques à sa convenance, se les approprie sans les utiliser de façon rigoureuse et en omettant de définir les ponts entre les deux visions. Il n'y a pas selon moi de bonne façon de travailler avec les entités mathématiques du côté physique du pont; si l'on veut faire des calculs il faut le faire du côté mathématique et à ce moment là c'est une ineptie de dire qu'on peut montrer expérimentalement qu'un tenseur soit un vecteur.

Maintenant je ne doute pas que vous puissiez arriver à une telle sorte de démonstration du côté physique en utilisant les concepts que vous avez en tête; mais votre travail de communication est en quelque sorte baclé et incompréhensible car vous avez omis de me montrer les ponts que vous avez empruntés. Quand vous utilisez le mot vecteur, je suis du côté mathématique alors que manifestement vous êtes resté côté physique. Dites moi donc comment vous avez fait pour faire passer les entités mathématiques du côté physique, c'est cela qui m'intéresse, c'est cela faire de la physique pour moi !

[mariposa]

Nous avons visiblement deux conceptions différentes de la physique. Pour moi, le physicien doit toujours revenir à l'entité mathématique dans sa nudité implacable et inhumaine, peut importe quel chemin a été utilisé pour l'inventer.

.
Etant physicien professionnel et ayant vécu toute ma vie professionnel avec d'autres physiciens je puis t'assurer que nous avons tous la même vision de notre métier. Notre but est d'expliquer une partie de la réalité en découvrant des lois et en expliquant des phénomènes physiques. dans ce sens nous ne sommes pas des biologistes qui est un autre pan de la réalité. Pour expliquer ces lois et ces phénomènes nous utilisons un langage spécialisé que l'on appelle langage mathématiques.. Bien sur tout ceci indépendamment de toutes considérations métaphysiques, philosophique et épistémologiques.
.
Je laisse aux mathématiciens de définir ce que sont les mathématiques.

Pour revenir aux ponts jetés entre physique et mathématique évoqués avec mmy, peu importe depuis quel côté du pont on est passé; à partir du moment où on utilise l'entité mathématique pour faire des calculs on se doit de rester du côté mathématique. Evidemment, il convient de garder à l'esprit les ponts jetés entre mathématique et physique dans la problématique particulière étudiée, mais il faut toujours savoir de quel côté on travaille et dire par quel pont on est passé à chaque instant.

.
Pour moi ce genre de discours manque de simplicité. Si je dis que le courant dans ce matériau a une composante proportionnelle au champ électrique plus une composante proportionnelle au carré du champ électrique. C'est quoi selon toi? Pour moi c'est de la physique dite dans le langage mathématique. on pourrait prendre n'importe quoi en MQ ou en RG ce serait la même chose.

Ainsi, je ne peux pas être d'accord avec le fait que l'on puisse démontrer expérimentalement qu'un tenseur puisse être un vecteur !

Et bien tu as tords puisque je l'ai démontré. En fait tu as perdu de vue que 95% des mathématiques importantes (celles mises au point au XIX ième siècle) ont leurs racines dans la physique. Le reste provenant des jeux. hélas l'enseignement a complètement perdu le plus souvent l'origine des concepts. Par exemple contrairement a ce que les gens croient Einstein et Poincaré ont élaboré la problématique du temps dans des pays où le problème pratique de synchronisation des horloges se posait en rapport avec le développement du chemin de fer à la fin du XIXieme siécle. Cela n'a rien à voir avec des cerveaux exceptionnels qui masturbent des concepts. hélas tous les livres avec des références "historiques" se recopient les uns des autres, c'est du plagiat déguisé et en plus c'est complètement faux.