produit scalaire et autre truc bizarre des vecteurs

[mariposa]

- J'ai mieux compris les tenseurs quand j'ai distingué un tenseur en tant que tel de ses composantes;

.
Cela signifie donc bien que tu n'avais par remarquer que d'abord et avant tout un tenseur c'est un vecteur. Et comme il ne faut pas confondre un vecteur et ses representations dans une base, les composantes, il ne faut pas confondre le tenseur et ses composantes dans une base.

- Dire qu'un tenseur est un vecteur est aussi illuminant pour moi que de dire qu'un polynôme est un vecteur: c'est vrai, cela m'indique que je peux appliquer une addition interne et une multiplication externe, mais strictement rien d'autre, et certainement pas ce qu'est un tenseur (ou un polynôme!)

;
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Non faux et archi-faux. J'ai expliqué à plusieurs reprises qu'un tenseur est un vecteur munis de propriétés spéciales. Ces propriétés spéciales sont relatives aux changement de base dans l'espace vectoriel de référence. La trace visible de ce comportement sont justement les indices.

- La signification de la dualité (au sens utilisé dans ce fil) en physique m'intrigue; je passe du temps à essayer de comprendre les "bonnes" positions des indices, celles qui ont un sens physique. C'est peut-être vain, tu as peut-être raison que c'est sans importance, mais ça me semble un préjugé.

.
Justement j'ai essayer de dire que tu peux fabriquer des tenseurs de tous ordres à partir d'un espace vectoriel orthonormé (donc sans dualité et sans notion de covariance et de contravariance) et il te reste toute la mécanique des indices qui sont là pour te dire comment fabriquer des tenseurs par produits de tenseurs d'ordre inférieurs ou par contraction de tenseurs d'ordre supérieur. La mécanique des indices sont là pour te contraindre à respecter les comportements de celui-ci dans un changement de base.
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Je vais de prendre un contre-exemple pour sentir la problématique. Suppose que quelqu'un te donne un tenseur de rang 2. Tu décides de lui faire subir un changement de base au tirant hasard les éléments de matrice. Et bien tu as détruit le tenseur car tu n'a pas respecter la règle du changement de base qui définit le tenseur! Cela veut bien dire qu'un vecteur n'est pas mécaniquement un tenseur, il faut montrer carte blanche cad vérifier le critère de tensorialité.
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PS: Ex-collègues à Lannion? (J'ai passé du temps à Issy-les-Mx, et ai toujours pas mal de contacts avec ce milieu!)

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Oui collègues à Lannion, Bagneux et Grenoble. Il n'y avait pas de physiciens à Issy-les-Mx, ni à Caen. J'ai travaillé sur les réseaux en fin de carrière et j'ai eu des contacts avec ceux d'Issy qui faisaient des simulations de traffic sur les réseaux téléphoniques.
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[ClairEsprit]

Si je dis que le courant dans ce matériau a une composante proportionnelle au champ électrique plus une composante proportionnelle au carré du champ électrique. C'est quoi selon toi? Pour moi c'est de la physique dite dans le langage mathématique.

Pour moi c'est un mélange physico mathématique utilisant des entités mathématiques en les réifiant dans des concepts physiques, manquant totalement de précision et véhiculant un énorme cortège d'ambiguité propre à faire faillir toute tentative de communication :

Le courant ... a des composantes : D'une part le courant, d'autre part les composantes. Le courant, entité physique, est dit avoir des composantes, entités mathématiques. C'est déjà un mélange imbuvable hors de tout préalable définissant les entités et les frontières physico/mathématiques. Disons plutôt : le courant, du côté physique du pont, peut être modélisé à l'aide d'une entité mathématique de cet autre côté du pont, disons un vecteur, qui au sens de la définition mathématique suivante, etc..., est donc un élement de tel ensemble, etc, etc...

Ensuite, un examen plus approfondi de la notion de composantes de cette entité, à la lumière de la théorie quantique, me fera prendre plus de précautions car je serai obligé de considérer non plus une entité aussi simple que ce vecteur là de cet espace vectoriel là mais plutôt un opérateur dont je calculerai les éléments de matrice. Donc, finalement, la phrase précédente devra être précisée par exemple comme ceci :
le courant, en physique, peut être modélisé dans le contexte de telle théorie - disons classique - à l'aide d'une entité mathématique appelée un vecteur, etc...

Et bien tu as tords puisque je l'ai démontré.

Pardon mais je n'ai rien vu de démontré, la notion de vecteur n'ayant même pas été définie rigoureusement dans tes posts alors que j'ai au moins pris la peine de le faire de mon côté.

En fait tu as perdu de vue que 95% des mathématiques importantes (celles mises au point au XIX ième siècle) ont leurs racines dans la physique.

Je ne l'ai pas perdu de vue; j'avais même pris la précaution dans mon post précédent de préciser que peut importait l'origine du concept mathématique, qu'il fusse issu de ce côté ci ou de ce côté là du pont. La paternité de l'entité mathématique n'a rien à voir avec la rigueur avec laquelle on doit l'utiliser.

[mariposa]

Pour moi c'est un mélange physico mathématique utilisant des entités mathématiques en les réifiant dans des concepts physiques, manquant totalement de précision et véhiculant un énorme cortège d'ambiguité propre à faire faillir toute tentative de communication

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Quand un physicien fait une modélisation d'un phénomène physique et se lance dans des prédictions vérifiées par une autre équipe, penses-tu qu'il y un "énorme cortège d'ambiguité ". Alors si le cas il faut te résigner a savoir que la physique c'est comme çà que çà marche depuis 4 siècles et je près suis a m'aventurer à dire que cela ne changera jamais!!

Le courant ... a des composantes : D'une part le courant, d'autre part les composantes. Le courant, entité physique, est dit avoir des composantes, entités mathématiques. C'est déjà un mélange imbuvable hors de tout préalable définissant les entités et les frontières physico/mathématiques. Disons plutôt : le courant, du côté physique du pont, peut être modélisé à l'aide d'une entité mathématique de cet autre côté du pont, disons un vecteur, qui au sens de la définition mathématique suivante, etc..., est donc un élement de tel ensemble, etc, etc...

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Crois-tu qu'un ingénieur électronicien peut comprendre ce que tu dis là?

Ensuite, un examen plus approfondi de la notion de composantes de cette entité, à la lumière de la théorie quantique, me fera prendre plus de précautions car je serai obligé de considérer non plus une entité aussi simple que ce vecteur là de cet espace vectoriel là mais plutôt un opérateur dont je calculerai les éléments de matrice...

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La MQ n'apporte aucun éclairage particulier, pas plus que l'hydrodynamique ou tout autre chose.

Pour ta culture, en MQ les opérateurs sont souvent eux-mêmes des vecteurs et mieux des tenseurs, Par exempli l'opérateur moment cinétique L est non seulement un vecteur mais un tenseur de rang 1.

Pardon mais je n'ai rien vu de démontré, la notion de vecteur n'ayant même pas été définie rigoureusement dans tes posts alors que j'ai au moins pris la peine de le faire de mon côté.

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C'est quoi la définition rigoureuse d'un vecteur qui soit autre chose que ce que l'on trouve dans tous les livres de maths que j'ai pu voir?

Tu remarqueras que personne n'as pu expliquer ici ce qu'est à la fois un produit vectoriel et un produit scalaire.
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J'attends donc des propositions alternatives.

[invité576543]

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Cela signifie donc bien que tu n'avais par remarquer que d'abord et avant tout un tenseur c'est un vecteur. Et comme il ne faut pas confondre un vecteur et ses representations dans une base, les composantes, il ne faut pas confondre le tenseur et ses composantes dans une base.

Je n'arrive pas à te suivre dans ton vocabulaire. Les présentations usuelles partent des composantes, ce qui est pour moi d'une part une confusion entre objet et représentation, et d'autre part justement mettre l'accent sur l'aspect vectoriel (qu'est-ce qu'une représentation en composantes si ce n'est mettre en avant une décomposition linéaire sur une base particulière?). C'est donc bien, dans mon vocabulaire, la distanciation de la vision "vecteur" qui m'a permis de concevoir les tenseurs comme des objets en tant que tels (dont en particulier leur nature d'application évoquée par ClairEsprit). C'est pour moi tout l'inverse que tu décris: il m'a fallu un effort pour virer l'idée qu'un tenseur est "avant tout un vecteur". Mais peut-être tout cela n'est qu'un problème de mot, de signification que l'on met derrière le mot "vecteur", mais, comme l'exprime ClairEsprit, s'il y a ambiguïté sur les mots, il y a un symptome d'échec de communication.

Que ce soit en physique ou en math, pour moi un objet est défini par ses relations avec d'autres objets, par toutes ses relations. Réduire la notion de tenseur (ou de polynôme pour reprendre cet exemple) aux relations évoquées par le terme "vecteur" consiste pour moi à donner un éclairage très fort sur une toute petite partie des relations en laissant toutes les autres dans l'ombre profonde.

Non faux et archi-faux

Tu as lu la phrase? Comment peux-tu te permettre de traiter de "faux et archi-faux" une phrase qui exprime ce qui se passe dans ma tête?

J'ai expliqué à plusieurs reprises qu'un tenseur est un vecteur munis de
propriétés spéciales.

Soit. Un polynôme est un vecteur muni de propriétés spéciales. Et alors? Ce sont clairement les propriétés spéciales qui importent dans le cas des polynômes, c'est bien pour cela qu'on les présentent usuellement avant de parler de leur nature vectorielle.

La mécanique des indices sont là pour te contraindre à respecter les comportements de celui-ci dans un changement de base.

Je le perçois différemment. Pour moi la mécanique des indices est là pour indiquer les relations entre tenseurs dans des expressions. Ma perception actuelle est d'oublier complètement la notion de changement de base, et de voir les indices comme indiquant la nature de l'opération dans un produit de tenseurs ou une contraction. C'est de la même "nature" que les unités (les grandeurs dimensionnelles), les indices (nombre, position) indique la classe du tenseur (et c'est à la classe que va se rattacher le sens physique), et les identités entre indices l'opération effectuée; ils perdent totalement toute valeur d'indexation de composante. La notion de changement de base passe en arrière plan, c'est un acquis, quelque chose qui marche automatiquement par la simple sémantique des symbôles utilisés, quelque chose dont on n'a pas à se préoccuper, que l'on peut oublier.

Mais j'accepte que ta vision soit efficace pour ton cheminement mental ou dans le cheminement mental de tas d'autres personnes. Je ne parle que de ma manière de voir, sans considérer celle des autres comme fausse et archi-fausse.

Cordialement,

[invité576543]

Tu remarqueras que personne n'as pu expliquer ici ce qu'est à la fois un produit vectoriel et un produit scalaire

Tu reviens souvent là-dessus. D'une part j'ai du mal à en voir l'importance, d'autre part ta description n'atteint pas le but, tu est obligé de parler de trace pour le produit scalaire. L'explication que tu donne est parfaite pour montrer le produit vectoriel comme la partie anti-symétrique du produit direct, mais malheureusement le produit scalaire n'est pas la partie diagonale, mais la trace de la partie diagonale. L'intervention de la trace ruine la présentation, à mes yeux, ce qui n'a pas grande valeur, n'est-ce pas?

Cordialement,

[hterrolle]

Bonjour Mariposa,

Que dirait tu de nous faire un petit dessin sous une forme matriciel(un example en quelque sorte) plutot que de nous parler sous la forme de théorème.

En tout cas pour moi ce serait plus simple. Je reconnais que cela demande un peut de boulot. Mais je suis sur que beaucoup de gens t'en seront reconnaissant.

Moi le premier parce que j'en suis juste au changement de base et au vecteur de coordonnées. et en tant qu'autodidacte. C'est pas toujours tres clair les théoreme alors que les example c'est clair.

Donc comment a partir d'une example ont peut represente un produit vectoriel, scalaire et tensoriel.

Cordialement

[mariposa]

Je n'arrive pas à te suivre dans ton vocabulaire. Les présentations usuelles partent des composantes, ce qui est pour moi d'une part une confusion entre objet et représentation, et d'autre part justement mettre l'accent sur l'aspect vectoriel (qu'est-ce qu'une représentation en composantes si ce n'est mettre en avant une décomposition linéaire sur une base particulière?).

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Je reviens sur le point de départ. Je prends un livre très haut de gamme de mathématiques qui s'appelle le "users' guide to mathématics d'Oxford".
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Page 650 en introduction de l'algébre multilinéaire:
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Soient X,Y et Z trois espaces vectoriels sur un corps K. L'algébre multilinéaire étudie les produits u.v
Avec u € X, v € Y et u.v €Z


Après quoi il donne trois exemples:

Le produit tensoriel
Le produit extérieur.
Le produit interne (multiplication de Clifford)
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Après quoi il dit que tous les produits peuvent se ramener aux seuls produits tensoriels.
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Remarques:

1- En toutes généralités il parle de vecteurs et non de composantes.
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2- Tu regarderas ma démonstration, je défini le produit tensoriel de 2 espaces rigoureusement de la même façon. J'introduit seulement les composantes pour montrer que l'espace produit Z peut se décomposer en somme directe (sous-espaces invariants).

Il n'y a donc aucune différence entre ce livre et moi en ce qui concerne la démarche et le vocabulaire.Nous sommes en harmonie totale.
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3- A contrario le Bass(livre qui fût le référence de ma jeunesse pour préparer l'agrégation de math) introduit les tenseurs par la définition d'une forme bilinéaire sur un corps K (raisonnement qui est la copie d'une forme linéaire sur un corps K) autrement dit en termes de composantes. Et j'ai montré que cette approche n'est pas la plus efficace.

C'est donc bien, dans mon vocabulaire, la distanciation de la vision "vecteur" qui m'a permis de concevoir les tenseurs comme des objets en tant que tels (dont en particulier leur nature d'application évoquée par ClairEsprit).

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C'est plus simple que ça. Les applications formant un espace vectoriel signifie qu'une application c'est un vecteur que l'on appelle tenseur parcequ'ils s'agit d'applications particulières cad celles qui associent aux couples (u,v) le produit uv.
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Donc dans ce contexte:

Application=vecteur=tenseur
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Pour marquer le particularisme de la construction on retiens le mot tenseur qui est une famille de vecteurs particuliers.

C'est pour moi tout l'inverse que tu décris: il m'a fallu un effort pour virer l'idée qu'un tenseur est "avant tout un vecteur".

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Justement il faudrait revenir en arrière et donc avancer..
http://forums.futura-sciences.com/im...ies/icon10.gif

Mais peut-être tout cela n'est qu'un problème de mot, de signification que l'on met derrière le mot "vecteur", mais, comme l'exprime ClairEsprit, s'il y a ambiguïté sur les mots, il y a un symptome d'échec de communication.

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La notion de vecteur est claire et universelle en mathématiques

Que ce soit en physique ou en math, pour moi un objet est défini par ses relations avec d'autres objets, par toutes ses relations.

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Oui en mathématiques les objets sont les éléments d'un ensemble et les relations entre objets sont les traditionnelles structures élélentaires que sont dans l'ordre de richesse croissante; groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels et algébres;

Réduire la notion de tenseur (ou de polynôme pour reprendre cet exemple) aux relations évoquées par le terme "vecteur" consiste pour moi à donner un éclairage très fort sur une toute petite partie des relations en laissant toutes les autres dans l'ombre profonde.

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Encore une fois un tenseur c'est un vecteur munis de propriétés spéciales.

Tu as lu la phrase? Comment peux-tu te permettre de traiter de "faux et archi-faux" une phrase qui exprime ce qui se passe dans ma tête?

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Je ne peux pas lire dans ta tête, je me contente de lire ce que tu as écrits, en pensant qu'il doit y avoir un rapport. Je te cites à nouveau:


-" Dire qu'un tenseur est un vecteur est aussi illuminant pour moi que de dire qu'un polynôme est un vecteur: c'est vrai, cela m'indique que je peux appliquer une addition interne et une multiplication externe, mais strictement rien d'autre, et certainement pas ce qu'est un tenseur (ou un polynôme!)"
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J'ai écrit au moins 20 fois qu'un tenseur était un vecteur munis de propriétés spéciales. autrement dit en tant que vecteur il y a l'addition interne et la multilication externe (par rapport à 1 élément d'un corpsK) , cà c'est le smig. Mais il faut en plus une opération interne multiplicative cad entre 2 vecteurs de l'espace de référence (le produit noté UV ci-dessus).

c'est ca la propriétés spéciales, la multiplication interne qui me permet de montrer que l'espace résultant peut être décomposé en sous-espace invariants (somme directe).
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D'ailleurs le bouquin d'Oxford se contente d'affirmer que le produit exterieur (cad le produit vectoriel) est un cas particulier du produit tensoriel alors que pour ma part je le démontre rigoureusement ainsi que l'existence du produit scalaire.

Je le perçois différemment. Pour moi la mécanique des indices est là pour indiquer les relations entre tenseurs dans des expressions. Ma perception actuelle est d'oublier complètement la notion de changement de base, et de voir les indices comme indiquant la nature de l'opération dans un produit de tenseurs ou une contraction. C'est de la même "nature" que les unités (les grandeurs dimensionnelles), les indices (nombre, position) indique la classe du tenseur (et c'est à la classe que va se rattacher le sens physique), et les identités entre indices l'opération effectuée; ils perdent totalement toute valeur d'indexation de composante. La notion de changement de base passe en arrière plan, c'est un acquis, quelque chose qui marche automatiquement par la simple sémantique des symbôles utilisés, quelque chose dont on n'a pas à se préoccuper, que l'on peut oublier.

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C'est exacte. Avec la restriction d'être sûr d'évoluer dans un monde tensoriel. Gare aux indices!
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Unn exemple une algébre de Lie en MQ est par construction un univers tensoriel. donc les constantes de structures forment un tenseur du Troisième ordre.
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Un contre-exemple: Le symbole de Cristoffel par construction n'est pas un tenseur et pourtant il a trois indices.

Mais j'accepte que ta vision soit efficace pour ton cheminement mental ou dans le cheminement mental de tas d'autres personnes. Je ne parle que de ma manière de voir, sans considérer celle des autres comme fausse et archi-fausse.

Cordialement,

Autant je reconnais que chacun doit suivre son cheminement mental et donc s'approprier les choses à sa façon et à son rythme, autant le point d'arrivée et le langage doit être unique pour tout le monde. C'est la raison pour laquelle j'insiste pour dire qu'un tenseur c'est un vecteur munis de propriétés spéciales. Pour reprendre ton vocabulaire:
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Il faut donc un espace vectoriel (addition + multiplication externe) + une loi multiplicative interne (produit de 2 vecteurs).
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A noter que la loi multiplicative est noté multiplicativement ce peut être la multiplication classique ou n'importe quoi. Pour l'algébre de lie c'est un commutateur: [u,v]
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Quand au corps K ce peut-être un corps non commutatif comme le corps des quaternions.
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Plus rigolo l'approche originale de Clifford pour ces fameux algébres ce n'est pas ce que l'on trouve usuellement dans les livres de maths mais défini comme les produits tensoriels en nombre paire du corps des quaternions! Encore un nouveau monde de vecteurs munis de propriétés très très spéciales. http://forums.futura-sciences.com/im...ies/icon10.gif


Très cordialement

[mariposa]

Tu reviens souvent là-dessus. D'une part j'ai du mal à en voir l'importance, d'autre part ta description n'atteint pas le but, tu est obligé de parler de trace pour le produit scalaire. L'explication que tu donne est parfaite pour montrer le produit vectoriel comme la partie anti-symétrique du produit direct, mais malheureusement le produit scalaire n'est pas la partie diagonale, mais la trace de la partie diagonale. L'intervention de la trace ruine la présentation, à mes yeux, ce qui n'a pas grande valeur, n'est-ce pas?

Cordialement,

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Je n'ai pas dit du tout que le produit scalaire c'était la partie diagonale de la matrice, ce qui serait complétement idiot dans la mesure où cela ne veut rien dire.

Par contre j'ai dit que l'invariance de la trace d'une matrice par changement de base (sur les matrices) signifie pour l'espace tensoriel l'existence d'un sous-espace invariant de dimension 1.
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Autrement dit pour bien comprendre il faut réfléchir au rapport entre l'invariance de la trace et un certain changement de base. Pour être très clair et pédagogique il faudrait dessiner des matrices, hélas je suis nul en Latex.
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Il faut bien manipuler l'isomorphisme entre l'espace des matrices et l'espace produit tensoriel. il y a un travail personnel à accomplir.

[mariposa]

Bonjour Mariposa,

Que dirait tu de nous faire un petit dessin sous une forme matriciel(un example en quelque sorte) plutot que de nous parler sous la forme de théorème.

En tout cas pour moi ce serait plus simple. Je reconnais que cela demande un peut de boulot. Mais je suis sur que beaucoup de gens t'en seront reconnaissant.

Moi le premier parce que j'en suis juste au changement de base et au vecteur de coordonnées. et en tant qu'autodidacte. C'est pas toujours tres clair les théoreme alors que les example c'est clair.

Donc comment a partir d'une example ont peut represente un produit vectoriel, scalaire et tensoriel.

Cordialement

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Si tu es en train d'apprendre en autodidacte ce qu'est un vecteur representé par ses coordonnées dans une base et les changements de base, il serait judicieux que tu ouvres un fil spécialisé. Je crois que beaucoup de gens pourrons d'aider et faire des dessins que je ne sais pas faire.
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La discussion ici qui tourne sur les tenseurs nécessitent un minimun de connaissance d'algébre linéaire que tu n'as peut-être pas mais que tu vas certainement acquerir bientôt si tu travailles.
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Ma réponse n'est pas pour buter en touche, mais assurer la continuité de la discussion de ce fil qui tourne autour de la notion de tenseurs.

[ClairEsprit]

Franchement je me demande si vous prenez la peine d'écouter les arguments ou d'essayer de lire entre les lignes de vos correspondants. Vous témoignez d'une arrogance et d'une obstination rare. Vous détournez les arguments que l'on vous oppose en les sortant de leur contexte et vous vous permettez des jugements sur la valeur de la réflexion d'autrui. C'est assez insupportable.

Un exemple :

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un examen plus approfondi de la notion de composantes de cette entité, à la lumière de la théorie quantique, me fera prendre plus de précautions car je serai obligé de considérer non plus une entité aussi simple que ce vecteur là de cet espace vectoriel là mais plutôt un opérateur dont je calculerai les éléments de matrice

.Pour ta culture, en MQ les opérateurs sont souvent eux-mêmes des vecteurs et mieux des tenseurs, Par exempli l'opérateur moment cinétique L est non seulement un vecteur mais un tenseur de rang 1.

Bravo, vraiment, pour la qualité et la courtoisie de vos réponses. Je me contentais d'opposer la vision vectorielle du courant que vous aviez proposée à celle plutôt matricielle d'une observable en MQ pour montrer l'importance du contexte théorique dans le choix des entités mathématiques afin de mettre l'accent sur les précautions à apporter au langage scientifique; mais tout ce que vous en retenez c'est que selon vous je suis manifestement inculte car les opérateurs peuvent être vus comme des vecteurs, voire des tenseurs. La belle affaire. J'avais pourant pris la précaution de dire "ce vecteur là de cet espace vectoriel là ", mais non, le message n'est sans doute pas passé....

Maintenant, si un vecteur de R³ et un opérateur dans un espace de Hilbert sont deux objets identiques, et que cela n'est pas la peine de préciser si l'on va utiliser l'un ou l'autre, je comprends votre obstination et vous présente mes excuses.

[invité576543]

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Je n'ai pas dit du tout que le produit scalaire c'était la partie diagonale de la matrice, ce qui serait complétement idiot dans la mesure où cela ne veut rien dire.

Non, tu as dit que le produit tensoriel (de deux vecteurs au sens étroit de tenseur de rang 1) se décomposait comme la somme d'un terme antisymétrique, d'un terme symétrique à diagonale nulle, et d'un terme diagonal.

Tu as plus ou moins expliqué que cette décomposition était invariante par changement de base (?), et dis que le produit vectoriel correspondait au terme antisymétrique et le produit scalaire à la trace du terme diagonal.

Que la décomposition en une somme d'un terme antisymétrique et d'un terme symétrique soit invariante par changement de base est simple à voir puisque les deux termes sont les résultats d'opérations tensorielles bona fide, à savoir (VⁱW^j-V^jWⁱ)/2 et (VⁱW^j+V^jWⁱ)/2

Que la notion de produit vectoriel vienne de là ne pose pas de problème. Mais il reste un chemin bien moins simple pour arriver au produit scalaire. D'où ma réflexion que le but consistant à "expliquer ici ce qu'est à la fois un produit vectoriel et un produit scalaire" (et je comprend cela comme en expliquer les similarités, ou montrer un schéma constructif amenant aux deux naturellement) n'est pas atteint.

Ca m'intéressait d'ailleurs de comprendre la trace du terme symétrique comme une projection... J'imagine que ça pourrait donner un éclairage intéressant à la notion de métrique. (Parce que c'est là l'os! La notion de partie anti-symétrique et donc de produit vectoriel est intrinsèque, non métrique, alors que la notion de produit scalaire nécessite un choix, celui d'un opérateur symétrique, ou d'un isomorphisme particulier entre l'espace des vecteurs (au sens étroit) et de l'espace dual, ce qui est pareil. Et il n'y a pas d'isomorphisme "canonique" entre les deux espaces, à ce que je comprend.)

Cordialement,

[invité576543]

C'est assez insupportable.(...) selon vous je suis manifestement inculte (...)

On s'habitue... après deux ou trois discussions avec les mêmes personnes on s'habitue au style, et on arrive à supporter de se faire traiter d'inculte dès que l'on exprime une divergence. Je trouve les discussions sur un forum un excellent exercice pour progresser vers un certain détachement...

Cordialement,

[mariposa]

Bravo, vraiment, pour la qualité et la courtoisie de vos réponses. Je me contentais d'opposer la vision vectorielle du courant que vous aviez proposée à celle plutôt matricielle d'une observable en MQ pour montrer l'importance du contexte théorique dans le choix des entités mathématiques afin de mettre l'accent sur les précautions à apporter au langage scientifique; mais tout ce que vous en retenez c'est que selon vous je suis manifestement inculte car les opérateurs peuvent être vus comme des vecteurs, voire des tenseurs. La belle affaire. J'avais pourant pris la précaution de dire "ce vecteur là de cet espace vectoriel là ", mais non, le message n'est sans doute pas passé...

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J'espère qu'il s'agit de défaut de communication et rien d'autre.

Je prends un exemple simple issu de l'électricité pour expliquer simplement quelquechose et tu fais référence à la MQ que visiblement tu ne maîtrises pas (ne prends pas çà pour une insulte). J'avoue que cela est agaçant et ce d'autant plus que la MQ c'est mon métier. Pourquoi pas aller chercher des exemples dans la théorie des cordes. Tout çà manque de beaucoup de simplicité. Personellement j'aime bien les exemples concrets et d'utiliser le minimum de bagage mathématique pour expliquer le maximun de choses. C'est un art que je cherche à cultiver. Je suis arrivé à animer un post sur une question extrèmement difficile qu'est l'origine du spin et ce sans aucun calcul et ce n'est pas facile d'expliquer que le spin n'est ni d'origine quantique ni d'origine relativiste comme beaucoup de gens le croit, malheureusement.
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S'il te plait un peu de simplicité et évite de m'expliquer ce qu'est un physicien, c'est vraiment très très agaçant.
;
Maintenant si on revenait à nos moutons. mmy a repris ma démonstration avec des objections auxquelles j'ai répondu. Pourrais-t-on continuer dans cette voie? J'ai tout à gagner en raffinant mes explications.
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Très cordialement.
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[mariposa]

Non, tu as dit que le produit tensoriel (de deux vecteurs au sens étroit de tenseur de rang 1) se décomposait comme la somme d'un terme antisymétrique, d'un terme symétrique à diagonale nulle, et d'un terme diagonal.

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Non pas du tout. Je reprends les principes de la méthode.

1- Définition d'une application bijective.

Aux 9 composantes du tenseur j'associe une matrice carré de dimension 3. C'est une application bijective entre les tenseurs vecteurs d'un espace de dimension 9 et un sous-espace des matrices carrés de dimension 3.
.
2- Opérations sur les matrices.

A partir de là j'effectue des opérations sur les matrices (décomposition d'une matrice en trois autres matrices)
.
3- Retour sur l'espace des tenseurs.

La petite difficulté est dans l'étape 3. Comme tu l'as souligné traduire la séparation entre matrice symétrique et matrice antysymétrique en changement de base dans E*E c'est facile. Par contre éclater la matrice symétrique en 2 et exploiter l'invariance de la trace de la matrice en sous-espace invariant de E*E c'est plus difficile.
.
Je vais essayer d'esquisser la solution malgré mon imcompétence en Latex.
;
Le changement de base dans E*E induit par l'invariance de la trace des matrices 3*3 a la bobine suivante:



[A11 + A22 +A33] = 1 1 1 0 0 0 ... A11
[ ...... ] * * * * * * ... A22
.............................. .........................A33

Ce tableau est censé représenter le produit d'une matrice 9*9 par un vecteur colonne à 9 composantes (a droite) pour donner un vecteur colonne à 9 composantes (à gauche).
.
seule la première ligne de la matrice 9*9 est importante car elle indique le changement de base induit par l'invariance de la trace de la matrice 3*3.

On a A11 + A22 +A33 = constante
.
Cad qu'une fois ce travail préparatoire effectué tout nouveau changement de base quelconque dans la base E*E définis par les vecteurs colonnes de gauche laisse la valeur de la première composante in changée.
.
On aura:A11 + A22 +A33 = B11 + B22 +B33

Voilà l'origine du sous-espace invariant de dimension 1 qui est le pendant de l'invariance d'un sous-espace de dimension 3 qui définit le produit vectoriel.

[invité576543]

.
Non pas du tout.

Hmmm... Je ne vois pas trop la différence, au détail prés que je m'encombre pas d'aller-retour avec Rn via la bijection, en particulier parce que cette bijection est un choix conventionnel, il n'y en a pas de canonique.

La petite difficulté est dans l'étape 3. Comme tu l'as souligné traduire la séparation entre matrice symétrique et matrice antysymétrique en changement de base dans E*E c'est facile.

Pour moi, ce n'est pas un changement de base, mais une projection. Le sous-espace antisymétrique existe par lui-même, indépendamment de toute base (en tant qu'image de l'antisymétrisation). On peut donc définir tout ce qui est nécessaire sans s'occuper des bases.

Je vais essayer d'esquisser la solution

Pas le temps de regarder, mais je suis sceptique, parce que si ça peut se faire pour l'opérateur symétrique de composantes , ça peut se faire pour n'importe quel opérateur symétrique. Il y a nécessairement le choix de l'opérateur quelque part... Faudra que je le trouve...

Cordialement,

[ClairEsprit]

Je trouve les discussions sur un forum un excellent exercice pour progresser vers un certain détachement...

[mariposa]

Pas le temps de regarder, mais je suis sceptique, parce que si ça peut se faire pour l'opérateur symétrique de composantes , ça peut se faire pour n'importe quel opérateur symétrique. Il y a nécessairement le choix de l'opérateur quelque part... Faudra que je le trouve...

Cordialement,

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Comme tu as l'air de douter de la véracité, je vais faire un détour vers une pratique usuel de MQ. Ca ne sera pas une démonstration alternative puisque je n'explique rien, j'applique.
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En MQ on explique le couplage des moments cinétiques J1 et J2 en disant que l'on obtient des moments cinétiques qui varie de J1+ J2 à valeur absolue de J1-J2.
La dimension d'un moment cinétique J c'est 2.J +1
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Si on prend 2 moments cinétiques L=1 çà donne:
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1 + 1= 2 soit dimension = 5
1 + 0 = 1 soit dimension = 3
1 - 1 = 0 soit dimension = 1

On a donc pour le moment cinétique

L=1*L=1 donne= L=2 + L=1 + L=0

En dimension d'espace:

3*3 = 5 + 3 + 1 =9

On retrouve la même décomposition qui comprend notamment la dimension 1 correspondant à un état physique de dimension 1 correspondant à 1 moment cinétique nul.
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Bien sur ce n'est pas le hasard, c'est en fait le même problème vu sous un angle très différent.
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Je te donne cet exemple hyperconnu en MQ pour te montrer la décomposition d'un produit en ses sous-espaces invariants.
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Note:

Un hamiltonien de couplage spin-orbite entre L et S s'écrit automatiquement:

H = L.S

car H est opéateur invariant, c'est donc tensoriellement un scalaire. celui ne peut être que le produit des opérateurs L et S.
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C'est dire que l'existence des sous-espace invariants à 1 dimension c'est le nerf de la guerre pour écrire des hamiltoniens ou lagrangien

[mariposa]

Hmmm... Je ne vois pas trop la différence, au détail prés que je m'encombre pas d'aller-retour avec Rn via la bijection, en particulier parce que cette bijection est un choix conventionnel, il n'y en a pas de canonique.

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Le coeur de la démonstration c'est justement le passage d'un espace à l'autre. Je choisis cette bijection parce que c'est celle-ci qui m'arrange pour faire la démonstration, de la même façon que je choisirais un système de coordonnées polaires parce que çà m'arrange, c'est le fondement de toute démonstration mathématique que de faire des choix judicieux de stratégie.
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On pourrait imaginer que quelqu'un utilise l'algébre des quaternions pour obtenir le même résultat. L'inconvénient serait d'apprendre l'algébre des quaternions!

Pour moi, ce n'est pas un changement de base, mais une projection. Le sous-espace antisymétrique existe par lui-même, indépendamment de toute base (en tant qu'image de l'antisymétrisation). On peut donc définir tout ce qui est nécessaire sans s'occuper des bases

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Bien sur que oui l'espace antisymétrique existe en lui-même. Le but du jeu ce n'est pas de l'inventer mais de le trouver.

Si tu as un cylindre où il y a un sous-espace invariant de dimension 2 et que tu part avec une base complètement de traviol, il faut trouver le bon changement de base qui t'aménera à 2 vecteurs (et non trois) qui sous-tendent le plan de base du cylindre. C'est excatement ce que je fais avec l'intermédiaire des matrices que j'arrive à trouver 3 sous-espaces invariants dont le plus important en physique est celui de dimension 1.

Pas le temps de regarder, mais je suis sceptique, parce que si ça peut se faire pour l'opérateur symétrique de composantes , ça peut se faire pour n'importe quel opérateur symétrique. Il y a nécessairement le choix de l'opérateur quelque part... Faudra que je le trouve...

Là je ne suis pas sur de comprendre ce que tu dis. De quels opérateurs s'agit-il? dans ma démonstration il n'y a pas d'opérateurs, seulement des changement de base pour découvrir des régularités.

Cordialement.

[invité576543]

Là je ne suis pas sur de comprendre ce que tu dis. De quels opérateurs s'agit-il? dans ma démonstration il n'y a pas d'opérateurs, seulement des changement de base pour découvrir des régularités.

Bonjour,

De la manière dont je le comprend, le produit vectoriel se définit directement par l'antisymétrisation. Mais il n'y a pas de définition "canonique" du produit scalaire. Mais ma compréhension est basée sur une distinction forte entre les tenseurs (1,0) et les tenseurs (0,1), les vecteurs (sens étroit) et les éléments de l'espace dual, les 1-formes. Il y a une opération "canonique" qui ressemble au produit scalaire, mais qui n'est pas le produit scalaire, qui est l'application d'une 1-forme sur un vecteur (au sens étroit), . Cette opération est définie aussi directement que le produit vectoriel, sans choix arbitraire. C'est une opération "de base" dans l'algèbre tensorielle (la contraction en dérive). L'approche tensorielle permet de définir immédiatement le produit vectoriel et le produit "naturel", 1-forme par vecteur.

Dans cette approche, un produit scalaire est un opérateur bilinéaire symétrique, un tenseur d'ordre 2, . La définition d'un produit scalaire demande un choix, le choix arbitraire de cet opérateur.

C'est équivalent au choix d'un isomorphisme entre l'espace des vecteurs (sens étroit) et l'espace dual, isomorphisme qui est , le produit scalaire apparaissant alors comme une combinaison de cet isomorphisme et du produit naturel entre vecteur et 1-forme.

C'est évidemment une autre manière de parler de la métrique. Le point est simplement que l'on peut définir le produit vectoriel (et le produit naturel) sans supposer de métrique; donc, si on veut partir de la même structure, si on veut présenter de manière parallèle le produit vectoriel et le produit scalaire, il faut parler du choix de "métrique", ou de l'opérateur bilinéaire symétrique, ou de l'isomorphisme avec le dual, tout cela étant la même chose.

Mais dans tes textes tu dis plus ou moins te passer de la notion d'espace dual. Moi, ça me gêne, parce que crois voir une différence fondamentale, très profonde, entre l'opération et l'opération que je comprends comme avec l'idée que le choix de est arbitraire, et remplaçable par tout (ou presque) opérateur bilinéaire symétrique.

Cordialement,

[mariposa]

Bonjour,

De la manière dont je le comprend, le produit vectoriel se définit directement par l'antisymétrisation.

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Oui on peut introduire le produit vectoriel comme une définition, ce qui se fait fait très souvent. L'avantage de ma démarche est justement démontrer celui-ci comme existence d'un sous-espace invariant d'un produit tensoriel d'espace. Je recouvre la définition en même temps que sa propriété essentielle.

Mais il n'y a pas de définition "canonique" du produit scalaire.

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Pourtant si, c'est toi même qui le définit très bien plus bas.
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C'est une forme bilinéaire sur E*E

Mais ma compréhension est basée sur une distinction forte entre les tenseurs (1,0) et les tenseurs (0,1), les vecteurs (sens étroit) et les éléments de l'espace dual, les 1-formes. Il y a une opération "canonique" qui ressemble au produit scalaire, mais qui n'est pas le produit scalaire, qui est l'application d'une 1-forme sur un vecteur (au sens étroit), . Cette opération est définie aussi directement que le produit vectoriel, sans choix arbitraire. C'est une opération "de base" dans l'algèbre tensorielle (la contraction en dérive). L'approche tensorielle permet de définir immédiatement le produit vectoriel et le produit "naturel", 1-forme par vecteur.

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Là, il y a quelquechose qui m'échappe. Tant que tu travaille avec l'espace E et sont dual E* tu manipules des vecteurs de E et des 1- formes de E* mais tu n'as pas encore de notion de tenseurs.
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Pour introduire les tenseurs il faut définir un produit d'espace soit E.E* soit E.E soit E*.E*

Dans cette approche, un produit scalaire est un opérateur bilinéaire symétrique, un tenseur d'ordre 2, . La définition d'un produit scalaire demande un choix, le choix arbitraire de cet opérateur.

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D'accord. (précision: au point de vue vocabulaire une application sur un corps s'appelle une forme plutôt qu'un opérateur).

C'est équivalent au choix d'un isomorphisme entre l'espace des vecteurs (sens étroit) et l'espace dual, isomorphisme qui est , le produit scalaire apparaissant alors comme une combinaison de cet isomorphisme et du produit naturel entre vecteur et 1-forme

C'est évidemment une autre manière de parler de la métrique.

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Justement c'est l'introduction d'une métrique qui crée l'isomorphisme entre un vecteur contravariant de E et un covariant vecteur de E*.

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C'est aussi l'introduction de la métrique qui permet d'effacer l'espace dual. En effet l'usage est de dire en raison de l'isomorphisme entre E et E* il n'existe plus qu'un seul vecteur, celui de E, mais que ce vecteur possède 2 jeux de composantes: les composantes contravariantes et les composantes covariantes, celles héritées de E*.
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Le point est simplement que l'on peut définir le produit vectoriel (et le produit naturel) sans supposer de métrique; donc, si on veut partir de la même structure, si on veut présenter de manière parallèle le produit vectoriel et le produit scalaire, il faut parler du choix de "métrique", ou de l'opérateur bilinéaire symétrique, ou de l'isomorphisme avec le dual, tout cela étant la même chose.

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C'est tout l'intéret de ma méthode, je part directement avec un seul espace (implicitement c'est E*) et donc sans notion de dual et je sors tout de mon chapeau (espace vectoriel et produit scalaire). Le prix a payé est que je ne peux pas faire de géométrie différentielle.

cordialement

[invité576543]

C'est tout l'intéret de ma méthode, je part directement avec un seul espace (implicitement c'est E*) et donc sans notion de dual et je sors tout de mon chapeau (espace vectoriel et produit scalaire).

Je pense que c'est un dialogue de sourds. Une seule phrase: selon ma manière de voir, par ta méthode, tu introduis naturellent le produit vectoriel, et tu sors d'un chapeau le produit scalaire; le tour de passe-passe est équivalent à l'introduction subreptice d'une métrique dont le choix n'est pas explicité.

Cordialement,

PS: Je parle d'opérateur et non de forme par choix délibéré, simplement parce que ma vision est dominée par une vue d'objets (tenseurs) et d'opérations ("produits") sur ces objets. Juste de l'arbitraire dans le choix des mots. J'ai tendance à réserver "forme" aux antisymétriques...

[mariposa]

Je pense que c'est un dialogue de sourds. Une seule phrase: selon ma manière de voir, par ta méthode, tu introduis naturellent le produit vectoriel, et tu sors d'un chapeau le produit scalaire; le tour de passe-passe est équivalent à l'introduction subreptice d'une métrique dont le choix n'est pas explicité.

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Oui c'est vrai le choix n'est pas explicité. Je précise:
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je partais avec des composantes Aij pour mon tenseur les vecteurs de base avaient été implicitement choisis tel que:

(ei,ej) =1
.
Maintenant pour induire une autre métrique je choisis selon l'usage et avec les mêmes notations:


(ei,ej) = gij
.
Avec ce nouveau choix je recommence toute ma démonstration avec des produits Aij.gij et je trouve mon sous-espace invariant de dimension 1 dont l'unique composante vaut:

...A11.g11 + A22.g22 + A33.g33

Heureusement je retrouve quelquechose de bien connu!
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Pour revenir sur le coeur du problème, il n'y a pas d'espace dual dans "ma" méthode parceque il existe une métrique de fait. Mais bien entendu je garde toujours le choix de ma métrique.
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Je te remercie de ta critique qui m'a aider à préciser ce point

[invité576543]

Pour revenir sur le coeur du problème, il n'y a pas d'espace dual dans "ma" méthode parceque il existe une métrique de fait. Mais bien entendu je garde toujours le choix de ma métrique.

Bonjour,

Ce qui m'intéresse dans ton approche, c'est qu'elle renforce une idée qui me turlupine, qui est la relation justement entre la métrique et l'espace dual. On peut effectivement se baser sur l'un et en dériver l'autre, ou partir de l'un et se passer de l'autre. Plus exactement, c'est entre la métrique et l'isomorphisme entre les deux espaces.

Les présentations usuelles de la physique privilégient la métrique (et pas qu'un peu!). Ta présentation suit cette ligne, mais je suis plus "attiré" par la dualité.

Un exemple parmi tant d'autres; j'ai mis du temps à comprendre pourquoi dans les torseurs on appelait "couple" ceux de résultante nulle; une conséquence en est que le torseur cinétique est appelé "couple" quand il décrit un mouvement de translation (et "glisseur" pour une rotation ). Je trouvais cela bizarre, le mot "couple" évoquant pour moi plutôt la rotation. Jusqu'à ce que je comprenne que le torseur de force était un dual du torseur de vitesse, ce qui "permute" résultante et moment. Cette "permutation" est visible dans le "produit scalaire" (comoment, M_1P.R₂ + M_2P.R₁) que j'interprète en fait comme le produit naturel. Avec la dualité tout est devenu parfaitement clair.

Encore plus intéressant, dans ce cas on ne parle jamais du "produit scalaire" entre deux torseurs cinétiques, qui est pourtant définissable à partir d'un isomorphisme entre les espaces duaux, isomorphisme dont le tenseur d'inertie est l'exemple immédiat au sens mathématique, mais certainement pas au sens physique (le résultat de l'application à un torseur cinétique n'est pas un torseur cinétique, suffit de regarder les unités).

D'où (entre autres) cette interrogation sur cette propension à présenter la métrique au détriment du dual, et la confusion que je crois constater entre le produit scalaire et ce que j'appelle le "produit naturel".

Cordialement,

[mariposa]

Bonjour,

Ce qui m'intéresse dans ton approche, c'est qu'elle renforce une idée qui me turlupine, qui est la relation justement entre la métrique et l'espace dual. On peut effectivement se baser sur l'un et en dériver l'autre, ou partir de l'un et se passer de l'autre. Plus exactement, c'est entre la métrique et l'isomorphisme entre les deux espaces.

Je crois percevoir ce qui te turlupines et je partage ta turlupinerie.
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Voilà ce que je crois comprendre:
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Lorsque l'on définit une 1 forme FI c'est une application linéaire de E dans K qui s'écrit:
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....FI(X) = a(i).x(i)........sommation sur indices.

x(i) sont les composantes de X et les a(i) définissent la forme de FI.

C'est vrai que déjà cela a l'aspect d'un produit scalaire. Et çà m'embête beaucoup. Car:

1- le Bass ne fait aucune référence au produit scalaire dans ce contexte.
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2- Avec les notations de MQ c'est excatement l'action d'un bra sur un ket qui donne un nombre (amplitude de probabilité). Et là pour moi c'est évident que c'est un produit scalaire car les a(i) se transforment comme les x(i) par changement de base.
.

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3- Le Bass semble définir un produit scalaire comme le produit de 2 vecteurs du même espace . Hors X et Fi n'appartiennent pas au même espace puisqu'il s'agit d'un vecteur de E et d'un vecteur de E*.

4- Le Bass introduit la notion de métrique à partir d'une forme bilinéaire:

(X,Y) = g(i,j).x(i).y(j)

où X et Y appartient au même espace.

Cette expression me convient car g(i,j) se transforme comme le produit x(i).y(j) ce qui garantit que c'est bien un scalaire.
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Pour moi je voie 2 définitions d'un produit scalaire. Celui définit à partir de la 1 forme correspond a ce que l'on fait en MQ basique. La deuxième est utilisée en relativité mais également en MQ avec g(i,j) =1. dans ce cas les 2 formules sont équivalentes pour la MQ. Néanmoins sur le plan purement mathématique cela me met mal à l'aise.
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A réfléchir.

pour les torseurs je ne connais pas la question.

[Ludwig]

Bonjour, réponses suite à ton message au cas où ça peut aider quelqu’un d’autre.

message de miketyson42

Bonsoir Ludwig,
tout d'abord merci de ta réponse sur le sujet que j'avais posté sur les produits vectoriel et scalaire.

Je t'écris un message privé pour, si cela ne te dérange pas, que tu complètes légèrement ton explication car c’est la seule qui ma parue clair.

Le produit vectoriel me pose plus vraiment de problème grâce à tes explications.

Ce qui me dérange vraiment c le produit scalaire, déjà je ne comprends pas ce qu'est un scalaire (je sais ça crains!), d’après ce que tu ma dit, le produit vectoriel c’est compréhensible que si on cherche un mouvement perpendiculaire un applique le produit vectorielle.

Un scalaire c’est tout bêtement un nombre attaché à certaines grandeurs physiques, ces grandeurs physiques n’ont pas de directions particulière. En fait le mot scalaire est issu du mot latin scala, échelle.

Par exemple pour désigner la puissance électrique d’une ampoule, nous écrivons 100 watts. C.a.d. un nombre auquel nous attachons une grandeur physique, les watts. Le nombre 100 est un scalaire, le fait de rajouter l’unité (Watts) fera qu’il appartient à l’échelle des puissances.

Pour désigner la hauteur d’un mur, je vais écrire sur un morceau de papier hauteur du mur = 3 mètres par exemple. Pour désigner la hauteur du Mont-Cervin je vais écrire 4478 mètres.

Encore une fois un nombre, auquel nous attachons une grandeur physique, les mètres. Les nombres 3 et 4478 sont des scalaires faisant partie de l’échelle des hauteurs.

Tu pourras maintenant faire l’inventaire de toutes les grandeurs physiques représentables par un scalaire. C'est-à-dire un nombre auquel on attache une grandeur (unité) physique. Ultérieurement tu apprendras qu’un scalaire c’est un tenseur d’ordre zéro. Pour l’instant, ne t’embarrasse pas l’esprit avec ça.


Au risque de me répéter, le mécanisme est fort simple, nous avons un nombre, nous lui attachons une grandeur physique et nous obtenons un scalaire.

Les instruments de mesure indiquant une valeur sur une échelle, produisent des scalaires.


Par exemple le tachymètre de ta voiture indique une vitesse, par contre, il ne te dit pas dans quelle direction tu roules. Si tu veux connaître la direction, tu dois prendre une carte routière et indiquer la direction sur celle-ci.

Ce faisant, tu viens de fabriquer un vecteur. Pour noter cela tu dois écrire:


En clair, pour représenter un vecteur il faut toujours un morceau de papier, mais en plus, il faut un repère sur ce morceau de papier (les points cardinaux sur la carte routière).
En clair, si nous prenons un scalaire et que nous lui associons une direction, nous obtenons un vecteur.
Il est évident que la notion de direction ne peut s’exprimer que relativement par rapport à un repère orienté. Donc qui dit vecteur, sous entend implicitement repère orienté, comme par exemple le repère cartésien. Evidement ici tu vas devoir apprendre toutes les définitions liées à la notion de vecteur comme par exemple :
l'intensité, ou la norme, etc.. le sens, la direction, l'origine etc.…
Egalement plus tard, tu apprendras qu’un vecteur est un tenseur d’ordre un. Pour l’instant, ne t’embarrasse pas non plus l’esprit avec ça.

Mais comment savoir quand on utilise ce fameux produit scalaire?

La question n’est pas de savoir quand il faut utiliser le produit scalaire, mais plutôt quel est le résultat obtenu.

= 100 Watts par exemple ici le résultat est un scalaire il me semble ?

Un produit vectoriel est utilisé lorsqu’on veut étudier une notion de perpendicularité mais un produit scalaire c’est lorsque que l'on étudie quoi?

Pas tout à fait, le produit vectoriel comme le produit scalaire, retourne un résultat.
Dans le cas du produit vectoriel le résultat est un vecteur se trouvant dans un plan perpendiculaire par rapport au plan contenant les deux vecteurs de départ.




J'espère ne pas avoir raconté trop d'aneries, le cas échéant on me corrigera. Merci

Cordialement


Ludwig

[invité576543]

2- Avec les notations de MQ c'est exactement l'action d'un bra sur un ket qui donne un nombre (amplitude de probabilité). Et là pour moi c'est évident que c'est un produit scalaire car les a(i) se transforment comme les x(i) par changement de base.

J'interprète plutôt l'action d'un bra sur un ket comme le "produit naturel". L'argument du changement de base n'est pas trop visible en MQ, où en se place en général en euclidien 3+1, et alors les vecteurs et formes se transforment pareil.

C'est d'une certaine manière la raison pour laquelle la dualité n'est pas introduite rapidement, il n'y a qu'en RG et un peu en RR que ça pourrait importer, et on dispose alors des mécanismes explicites de montée et descente d'indice. La notion de "bonne" position des indices n'a pas beaucoup de conséquences pratiques!

Cordialement,

[mariposa]

J'interprète plutôt l'action d'un bra sur un ket comme le "produit naturel". L'argument du changement de base n'est pas trop visible en MQ, où en se place en général en euclidien 3+1, et alors les vecteurs et formes se transforment pareil.

Ca y est j'ai résolu le problème. l'action d'un bra sur un ket qui donne un scalaire c'est bien la trancription dans le langage mathématique de l'action d'une 1-forme sur un vecteur qui donne un bien un scalaire (que tu appelles produit naturel).
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Maintenant la stratégie qui consiste à introduire la notion de métrique par l'intermédiaire d'une forme bilinéaire sur un espace E.E n'est pas du tout générale.
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Par exemple je peux définir celui-ci sur E.E*.
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Si tu prends ma démarche je prends un espace E et je forme l'espace dual E* comme usuel. Après je fais le produit tensoriel de ces 2 espaces avec (ei,ek) = 1 quand i=k sinon zéro. J'obtiend un sous-espace invariant de dimension 1 dont la composante vaut excatement la valeur de la 1 forme de E* au point de E. Autrement dit le produit scalaire standard de la MQ. Ouf!
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Ce produit scalaire est différent de celui-ci que l'on utilise pour former des hamiltoniens. Dans ce cas les produits tensoriels d'opérateurs contiend un sous-espace invariant de dimension 1 qui est l'hamiltonien. La métrique est implicite mais on s'en moque puisque cela consiste à multiplier le produit scalaire par un nombre, ce qui n'a aucun effet sur la structure de l'opérateur et qui correspond au concept d'élément de matrice réduit en représentation des groupes.
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En bref, je constate que ma méthode est à la fois moins générale que l'introduction traditionnelle (qui se passe de métrique) et à la fois plus générale puisque par simple produit tensoriel j'obtiend 3 sous-espace invariants universels et une méthode pour fabriquer des métriques à volonté comme conséquence de mon sous-espace invariant à 1 dimension. L'approche traditionnelle est comparativement lourde et incapable de mettre en relation les formes antisymétriques et le produit scalaire.
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Qui plus est ma méthode n'est que l'application à 1 cas particulier de la décomposition d'un espace en des sous-espaces irréductibles dans le cadre de la représentation des groupes. La différence est que je ne peux pas garantir le caractère irreductible de la décomposition. en fait c'est vrai uniquement pour N=3. Sinon on peut N>3 on peut décomposer celles-ci. Cela peut se vérifier et ce faire dans à l'aide de l'algébre des moments cinétiques bien connu ern physique atomique.
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Ma méthode est vraiment générral car rien n'empèche de former un produit tensoriel de 2 espaces de dimension différentes. Ceci est usuel en MQ. par exemple un spin de dimension 2 avec un moment orbital de dimension 5. La décomposition en sous-espace invariant est un exercice qui relève d'une généralisation propre à la théorie de représentation des groupes. Dans ce cas il n'y a pas nécessairement une composante scalaire, mais un sous-espace antisymétrique. Celui-ci est le seul qui soit physique lié au fait que l'hamiltonien doit commuter avec l'opérateur permutation. On ne peut donc pas en général induire une métrique, alors que la composante antisymétrique est garantie.
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Plus tard je vais réecrire (en manuscrit) complètement la théorie des tenseurs en la comparant à l'approche traditionnelle et monter en quoi "ma" méthode se prolonge dans la théorie des groupes (discrets et continus-de Lie).
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Encore merci pour tes interventions qui m'ont obligé à réfléchir sur des outils que j'utilise couramment mais surlesquels je ne m'était jamais penché. Je fonctionne comme çà. Je me sers des outils et je réfléchit après: L'efficacité d'abord.

[invité576543]

monter en quoi "ma" méthode se prolonge dans la théorie des groupes (discrets et continus-de Lie).

Bonjour,

Je "sens" confusément un rapport étroit entre ton approche et la théorie des représentations, ici appliquées à E*E vu comme groupe de Lie produit des groupes géométriques correspondant à E. L'application à la 4D doit être intéressant, parce qu'il y a clairement une relation entre la métrique (le produit scalaire, donc) et la distinction temps/espace.

Cordialement,