Moment cinétique

[brunop]

Bonjour,
Dans un exercice, on me donne : le moment d'inertie par rapport à son axe d'un cylindre plein de masse M et de rayon R est I<delta> = 1/2(MR²). (1)
Dans la suite de l'exercice, on remplace le cylindre plein par un cylindre creux de même masse et de même rayon, ou toute la masse est repartie sur la surface.
Dans ce cas I<delta> = MR². (2)
Je ne parviens pas à trouver ni (1) ni (2) en partant des définitions. Voici mon raisonnement :
I<delta> = ro(int)v(r²dV) ro désignant la masse volumique et int l'intégrale.
I<delta> = ro[1/3R^3]v = 1/3(ro.V^3)
On pose ro = M/V et donc I<delta> = 1/3MV² qui est différent de 1/2(MR²) (1).
En bloquant sur (1) il ne m'est pas possible de trouver (2).
Merci pour l'aide.
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[deep_turtle]

La définition de Delta c'est

Delta = int r² rho 2 pi r dr dz

où j'ai écris l'élément de volume dV = 2 pi r dr dz
Tu intègres sur une hauteur L sur z, et sur le rayon r ce qui te donne

Delta = 2 pi rho L R⁴ /4

Or, la masse vaut M=int rho 2 pi r dr dz = rho pi R² L.

Si tu mets les deux ensemble ça donne bien Delta = M R² /2.

[isozv]

Voir les quelques propriétés du cylindre (dont les moments d'inertie) :

http://www.sciences.ch/htmlfr/geomet...1.php#cylindre

(soit patient pour le chargement de la page... est la pas petite...)

[brunop]

Concernant (2)

Delta = int r2 rho dS
Delta = int r2 rho 2 pi dr dz

où j'ai écris l'élément de volume dS = 2 pi dr dz
Tu intègres sur une hauteur L sur z, et sur le rayon r ce qui te donne

Delta = 2 pi rho L R^3 /3

Or, la masse vaut M=int rho 2 pi dr dz = rho 2pi R L.

Si tu mets les deux ensemble ça donne Delta = (M R²)2/3 et non MR² comme indiqué sur le bouquin .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gaétan]

Je pense que pour des raison de symétrie, on peut simplement calculer respectivement les moments cinétiques d'un disque plein et d'un cercle. D'ailleurs, c'est les mêmes formules.
C'est plus simple, non ?

[brunop]

Concernant (2)
En fait en me promenant sur le site nommé précedement, j'ai concidéré le volume à traité comme le volume de rayon Rext - le volume de rayon Rint. Dans la démo on arrive à la solution Delta = MR² supposant que Rint est proche de Rext.
int : intèrieur ext : extérieur.
Y a t'il une autre solution qui n'oblige pas faire une approximation sur R autre que celle ou je travaillais avec dS (voir message précédent) puisque je n'arrive pas au résultat.
Merci,

[deep_turtle]

Dans le cas (2) c'est un peu différent, car le distribution de masse selon r est une fonction singulière. Si tu voulais traiter ce cas comme l'autre, il faudrait écrire que

rho = delta(r-R) M/2 pi R L

ou delta(r-R) est la distribution de Dirac.

Ca donne le résultat cherché, mais c'est s'embeter pour rien, il vaut mieux écrire que

Delta = int r² dM

où on intègre sur la masse et remarquer que tous les éléments de masse dM se trouve au même rayon r=R, si bien que la fonction r(M) est une constante (elle vaut R) et sort de l'integrale. Tu as alors

Delta = R² int dM = M R²

Sinon en effet, comme dit Gaëtan, tu peux faire le calcul avec des disques (mais la difficulté ici n'était pas selon l'axe z, n'est-ce pas ?).

[zoup1]

Hola !!!

pas de panique...

Le moment d'inertie par rapport à un axe delta est la somme sur tout les élements de masses dm (infinitésimaux) multiplié par le carré de la distance à l'axe.

Sous forme intégrale, si on appelle r la distance à l'axe,
On a I

Pour un cylindre creux et c'est le cas le plus simple
I_Delta= Int rho*dV*r²
en effet, dm = rho*dV... et rho est la masse volumique...

si la masse volumique est constante (homogène) on peut la sortir de l'intégrale et
I_Delta= rho*Int *r² dV

Le cas le plus simple est celui du cylindre creux : Toute la masse est à la même distance de l'axe de rotation donc r est constant dans l'intégrale. On peut donc sortir égale r de l'intégrale qui devient un R, rayon du cylindre
donc _Delta= rho*R*Int ² dV
Il reste simplement à intégrer dV sur le volume du cylindre creux. Cela n'a pas forcement beaucoup de sens car la paroi d'un cylindre creux est infiniment mince du coup son volume est infiniment petit... mais cela n'a que peu d'importance la quantité physique dans cette affaire c'est rho*V c'est à dire la masse totale du cylindre soit M. On obtient donc

I_Delta= M*R²

Comme dans le livre, c'est magique...
On aurait pu ne pas faire de calcul du tout. Comme toute la masse est à la même distance de l'axe de rotation chaque bout joue le même rôle. I_Delta= M*R²

Pour le cylindre plein c'est un peu plus compliqué, il faut faire une intégrale quoi, un vrai...

On peut voir le cylindre plein comme une succession de cylindre creux les uns dans les autres chacun avec un masse dm et un rayon r avec une épaisseur dr. Le volume du cylindre creux est
dV = 2*pi*r*dr*h, où h est la hauteur du cylindre (qui n'intervient pas vraiment dans le probleme posé).
Comme le cylindre est homogène l'un masse d'un cylindre creux de rayon r est
dm=M*2*r*dr/R²
- Il faut un peu réfléchir pour voir cela mais c'est juste le produit de la masse par le rapport entre les volume du cylindre plein (de rayon R) et du cylindre creux de rayon r avec une épaisseur dr...

à parir de là,

I_Delta= rho*Int *r² dV =Int r² dm = Int r²*M*2*r*dr/R²
I_Delta= 2*M/R² * Int r³dr = M*R²/2

Et c'est encore une fois comme dans le livre...
Merveille des merveilles...

[brunop]

Merci, c'est trés clair