Métrique de Minkowski

neutrino éléctronique · 30/06/2007 - 02h00

Salut à tous,
dans l'expression de la métrique de Minkowski: $\eta_{\mu\nu} = \[ \array{-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \]$ et dans $\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$
j'ai un peu de mal à me représenter ce que sont les " $\mu\nu$ ", j'ai lu qu'ils étaient des indices d'espace-temps mais pourriez vous me donner plus de précisions ?
Merci d'avance

Gwyddon · 30/06/2007 - 02h07

Ce sont les indices des coefficients de ta matrice.

Souvent, $x^{\nu} = (ct, x, y, z)$ ce qui signifie donc que $x^0 = c t, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z$ . On reprend la même convention d'ordre pour les matrices décrivant les tenseurs d'ordre 2 (ce qu'est la métrique), sachant quand dans $\mu \nu$ , $\mu$ est l'indice de ligne, $\nu$ est l'indice de colonne.

Calvert · 30/06/2007 - 12h01

Pour compléter Gwiddon, il est utile de préciser que l'on applique systématiquement en relativité la "convention de sommation d'Einstein"; c'est-à-dire, un indice répété "une fois en haut et une fois en bas" implique un somme sur les 4 coordonnées.

neutrino éléctronique · 30/06/2007 - 12h33

OK, merci à vous deux

neutrino éléctronique · 30/06/2007 - 23h55

Bonsoir,
je viens de voir dans un livre la métrique de Minkowski sous cette forme:
$\array{+1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1$

alors qu'elle est comme ceci sur wikipédia: $\array{-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1$

Pourriez vous m'expliquer ?

Gwyddon · 01/07/2007 - 00h36

C'est une histoire de convention, et les deux que tu présentent sont utilisées très souvent.

Ce qui compte c'est que le temps soit particularisé, que ce soit en + - - - ou en - + + +

neutrino éléctronique · 01/07/2007 - 00h46

OK, merci Gwyddon

Seirios · 01/07/2007 - 13h57

Un petit complément : en relativité restreinte, on peut écrire la métrique de l'espace-temps de Minkowski de deux manières différentes ; soit $ds^2=c.dt^2 - d \sigma^2=c.dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2$ , soit $ds^2=-c.dt^2+d \sigma^2=-c.dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ . On voit donc bien l'équivalence des deux expressions du tenseur métrique noté sous forme matricielle.

alovesupreme · 01/07/2007 - 16h44

Envoyé par Phys2

Un petit complément : en relativité restreinte, on peut écrire la métrique de l'espace-temps de Minkowski de deux manières différentes ; soit $ds^2=c.dt^2 - d \sigma^2=c.dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2$ ,

Salut Phys2,
une petite correction sur une erreur de frappe
il faut lire
$ds^2=c^2.dt^2 - d \sigma^2=c^2.dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2$

Cet élément de métrique en RR correspond d'ailleurs au vieillissement le long de la courbe d'espace temps (temps propre) et me semble-t-il clot parfaitement le soit disant paradoxe des jumeaux en RR.
voir par exemple la définition:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Temps_propre

Seirios · 01/07/2007 - 20h19

Oui effectivement j'ai oublié de mettre le c au carré...Merci d'avoir corrigé

neutrino éléctronique · 01/07/2007 - 20h26

Envoyé par Phys2

Un petit complément : en relativité restreinte, on peut écrire la métrique de l'espace-temps de Minkowski de deux manières différentes ; soit $ds^2.dt^2 - d \sigma^2=c^2.dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2$ , soit $ds^2=-c.dt^2+d \sigma^2=-c.dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ . On voit donc bien l'équivalence des deux expressions du tenseur métrique noté sous forme matricielle.

Effectivement, merci Phys2

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