Fractal = autosimilarité ?

[philname]

Voilà ce que dis wikipédia :

Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :

* il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
* il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
* il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. C'est une métonymie d'une partie pour le tout ;


Mes questions :

1)Un objet fractal est-il toujours autosimilaire ? C'est à dire répétition du même motif dans l'infiniment petit et grand ?

2)L'Univers, l'infiniment grand et petit. Les galaxies, les planètes, nous, les fourmis, les atomes... Peut-on aussi parler de fractal ? dans ce cas, ce n'est pas un même motif qui se répète, mais plusieurs motifs, l'univers n'est pas autosimilaire à différentes échelles ! On peut zoomer (peut-être indéfiniment, où jusqu'à l'échelle de Planck), on retrouvera toujours un motif différent.

3)Quelqu'un peut m'expliquer ceci :
il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. C'est une métonymie d'une partie pour le tout ;

[humanino]

Bonjour,

un objet fractal n'est pas necessairement auto-similaire. C'est grossierement ce qu'indique la caracteristique numero 2. Disons que d'une facon generale, un objet fractal n'a pas une dimension entiere, sa dimension est "fractionnaire", meme si elle n'est pas necessairement rationnelle. En fait, cette definition n'est meme pas strictement satisfaisante en toute rigueur. D'ailleurs wikipedia le dit bien, mais tu l'as ommis La seule definition vraiment satisfaisante est donnee en 4 ! :
sa dimension de Hausdorff est plus grande que sa dimension topologique.
En fait, cette derniere definition est une facon plus rigoureuse d'exprimer la proposition 2.

La proposition 3 au sujet de l'auto-similarite distingue 2 cas : dans le cas de l'eponge de Menger, l'auto-similarite est exacte. D'ailleurs cet objet est explicitement construit par transformations successives similaires. Dans le cas fameux de la fractale de Mandelbrot, l'auto-similarite n'est pas exacte : une transformation d'echelle ne permet pas de reconstruire exactement le meme objet. Neanmoins, n'importe quelle partie de l'objet contient l'objet lui-meme. Il est donc statistiquement auto-similaire.

[humanino]

J'ai ommis de repondre a cette partie du message original

L'Univers, l'infiniment grand et petit. Les galaxies, les planètes, nous, les fourmis, les atomes... Peut-on aussi parler de fractal ? dans ce cas, ce n'est pas un même motif qui se répète, mais plusieurs motifs, l'univers n'est pas autosimilaire à différentes échelles ! On peut zoomer (peut-être indéfiniment, où jusqu'à l'échelle de Planck), on retrouvera toujours un motif différent.

La question n'est pas tres clairement formulee. Certainement, la geometrie fractale est pertinente pour decrire la Nature, au moins a un certain degre d'approximation (meilleure que l'approximation qui consiste a negliger le caractere fractal des objets). Notamment, et Mandelbrot le decrit bien dans son livre, la plupart des objets ordinaires montrent un caractere fractal a une certaine echelle d'observation. Un fameux exemple est celui de la cote de Bretagne, dont la longueur depend de la regle avec laquelle on la mesure. Une regle de 10 km donne un resultat plus petit qu'une regle de 1 km, qui elle meme donne un resultat plus petit qu'une regle de 100 m... parce que de plus en plus de details sont reveles lorsque la regle diminue (lorsqu'on "zoome" ou lorsqu'on affine l'echelle d'observation) et finalement, la raison est que cette cote de Bretagne n'est pas "reguliere" ou "lisse". Les fractales precisent ces idees de facon rigoureuses.

Je te conseille de lire l'original dans le texte, a savoir "les objets fractals" de Mandelbrot

[Jeanpaul]

Un fractal est un objet mathématique qui peut donner une bonne idée d'un objet réel mais dans la nature aucun objet n'est rigoureusement fractal, justement à cause de l'existence des atomes. Si on zoome 10 fois un chou-fleur, on ne réduit pas ses atomes d'un facteur 10.
Ceci dit, les fractals sont des concepts très intéressants avec plein d'applications, notamment en synthèse d'images. Mais pour un physicien ce n'est qu'un modèle qui colle plus ou moins à la réalité.

[philname]

Bonjour,

un objet fractal n'est pas necessairement auto-similaire. C'est grossierement ce qu'indique la caracteristique numero 2. Disons que d'une facon generale, un objet fractal n'a pas une dimension entiere, sa dimension est "fractionnaire", meme si elle n'est pas necessairement rationnelle. En fait, cette definition n'est meme pas strictement satisfaisante en toute rigueur. D'ailleurs wikipedia le dit bien, mais tu l'as ommis La seule definition vraiment satisfaisante est donnee en 4 ! :
sa dimension de Hausdorff est plus grande que sa dimension topologique.
En fait, cette derniere definition est une facon plus rigoureuse d'exprimer la proposition 2.

La proposition 3 au sujet de l'auto-similarite distingue 2 cas : dans le cas de l'eponge de Menger, l'auto-similarite est exacte. D'ailleurs cet objet est explicitement construit par transformations successives similaires. Dans le cas fameux de la fractale de Mandelbrot, l'auto-similarite n'est pas exacte : une transformation d'echelle ne permet pas de reconstruire exactement le meme objet.Neanmoins, n'importe quelle partie de l'objet contient l'objet lui-meme. Il est donc statistiquement auto-similaire.

Un truc me vient à l'esprit à propos de la musique c'est le contrepoint :

En musique, le contrepoint rigoureux (souvent appellé contrepoint) est une discipline d'écriture musicale classique qui a pour objet la superposition organisée de lignes mélodiques distinctes.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Contrepoint_rigoureux

On peux écrire du contrepoint avec 2 voies 4 voies ou plus.
Si l'on garde simplement une ligne mélodique (donc une voie), est-ce que l'on peut dire ce que tu as cité: n'importe quelle partie de l'objet contient l'objet lui-meme. Il est donc statistiquement auto-similaire.
Cette voie est-elle statiquement autosimilaire , elle serait simplement une partie de l'oeuvre.

[jobherzt]

Pour complétéer ce qui a été dit : moralement, ce qui caracetrise une fractale c'est surtout le fait d'etre irrégulier a toutes les échelles.

si tu imagines une courbe "habituelle", meme un peu tordue, et que tu zommes sur un de ses points. meme si elle apparaissait toute tordue, aforce de zoomer tu verras un truc qui ressemble a une droite.

ce n'est pas le cas avec une fractale : tu puex zoomer tant que tu veux, tu verras toujours quelque chose de tres irregulier. si on dit que la cote de bretagne est fracatle, c'est dans ce sens, elle apparait irreguliere meme a des echelles tres differentes.

[rivrain]

Voilà ce que dis wikipédia :

Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :

* il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
* il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
* il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. C'est une métonymie d'une partie pour le tout ;


Mes questions :

1)Un objet fractal est-il toujours autosimilaire ? C'est à dire répétition du même motif dans l'infiniment petit et grand ?

2)L'Univers, l'infiniment grand et petit. Les galaxies, les planètes, nous, les fourmis, les atomes... Peut-on aussi parler de fractal ? dans ce cas, ce n'est pas un même motif qui se répète, mais plusieurs motifs, l'univers n'est pas autosimilaire à différentes échelles ! On peut zoomer (peut-être indéfiniment, où jusqu'à l'échelle de Planck), on retrouvera toujours un motif différent.

3)Quelqu'un peut m'expliquer ceci :
il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. C'est une métonymie d'une partie pour le tout ;

bonjour,
"Figure de rhétorique par laquelle on désigne la cause pour l'effet, l'effet pour la cause, le contenant pour le contenu, la partie pour le tout, etc."
personnellement, à travers plusieurs "composition fractales", il est possible d'intégrer en quelque sorte "plusieurs chemins" permettant de passer ou de traverser plusieurs modes visuels... la traduction ou la définition dite "de similitude" je crois, ne s'applique qu'à une forme de consultation de principes figés, mais dans le cas d'une application réelle (temps) animée, rien ne présuppose que "l'évolution" du schéma fractal reste dans un principe similaire(!)
pour les adeptes de la nomographie, serait il inconvenant d'aborder la trame de fond d'un schéma fractal en évolution, avec une description monographique "fractale"??

[Cosentino]

Mario Cosentino
Professeur de Mathématiques & Physique
Formation Universitaire Astronomie et Astrophysique

Bonjour,

à philname et par extenssion à tous les lecteurs de ce forum.

Philname parle de l' "ÉPONGE DE MENGER" . Or il se trouve que, au moins, 5 observables semblent aller dans le sens que notre Univers aurait la dimension fractale D = 2,726 8... de l' "EPONGE DE MENGER-SIERPINSKI".
Pour connaître l'équation qui relie la température de notre Univers T = 2,726 K avec la dimension fractale D= 2,726 8... allez s.v.p. dans

1. Google et mettre: Soleil et ondes de Kotov
ainsi que sur mon

2. "blog mario cosentino"
Bravo pour avoir choisi ce thème de conversation car les fractales semblent nous ouvrir une porte pour une meilleure connaissance de notre Univers...

Vos commentaires sont les bienvenus...

Bien cordialement

[stefjm]

Pour connaître l'équation qui relie la température de notre Univers T = 2,726 K avec la dimension fractale D= 2,726 8... allez s.v.p. dans

Une question : Considérez-vous que le kelvin est une unité naturelle sans dimension pour associer cette grandeur physique à un nombre pur?

[Cosentino]

Mario Cosentino à

stefjm

Contrairement à la dimension de l' ÉPONGE DE MENGER" le degré Kelvin est une unité qui à une dimension de température. Elle ne constitue
pas néanmoins une unité naturelle car justement elle a une dimension. Les unités naturelles sont justement celles qui sont sans dimension comme par exemple la constante de structure fine a, qo ou nuo ( dans mon équation).
C'est qui est très remarquable dans mon équation c'est le fait que 4 constantes fondamentales de la physique et 2 paramètres cosmologiques
nous donnent 1K !!!
En physique une telle valeur a beaucoup d'importance.
Associés à la dimension fractale D = 2,726 8... de l' "ÉPONGE DE MENGER" il est facile de faire l'hypothèse qu'il pourrait y avoir une relation de cause à effet entre ces 2 valeurs( et autres ) qui sont des OBSERVABLES indiscutables.

Merci de l'intérêt de votre question.

Bien cordialement

[stefjm]

Contrairement à la dimension de l' ÉPONGE DE MENGER" le degré Kelvin est une unité qui à une dimension de température. Elle ne constitue
pas néanmoins une unité naturelle car justement elle a une dimension. Les unités naturelles sont justement celles qui sont sans dimension comme par exemple la constante de structure fine a, qo ou nuo ( dans mon équation).

Dans ce cas, je ne comprend pas l'identification entre une grandeur physique dimensionnée (K) et un nombre pur (dimension fractale).

[stefjm]

C'est qui est très remarquable dans mon équation c'est le fait que 4 constantes fondamentales de la physique et 2 paramètres cosmologiques
nous donnent 1K !!!

C'est quelle relation?

[Cosentino]

Mario Cosentino à

Stefjm

Bonjour,

Pour la relation il faut aller dans Google et mettre: Soleil et ondes de Kotov

qui se trouve dans une des pages du site de Bernard Lempel

Cordialement

Vos commentaires sont les bienvenus.

[stefjm]

Bonsoir,
Je n'avais pas vu que Bernard avait intégré vos trouvailles à sa page Kotov.

Comment estimez-vous le rayon de courbure de l'univers?

Concernant votre relation :
La longueur d'onde Compton de l'électron est et le rayon de Bohr est , d'où la possibilité de simplification.

Par contre, je ne comprend toujours pas la pertinence de ce 1K!

Cordialement.

[Tryss]

Sinon êtes vous réellement Professeur? Vous vous présentez (dans d'autres documents de votre cru trouvé sur internet) comme ayant une licence et une "formation universitaire" en astrophysique ainsi qu'une formation en animateur de planétarium. Visiblement vous n'avez donc pas le titre universitaire de professeur (et quand quelqu'un se dit professeur et parle d'astrophysique, on peut penser qu'il parle de ce titre là), donc j'ose espérer que vous enseignez en primaire/collège/lycée, et non que vous usurpez un titre, ce qui serrait fort malhonnête (et accessoirement borderline niveau légalité cf article 433-17 du code pénal).

Sinon il me semble que la première règle en physique est qu'il ne faut jamais comparer deux choses qui n'ont pas la même dimension ou les mêmes unités ^^

Parce que moi sinon je mesure la température en Tryss, c'est pratique, le zéro absolu est à 0 Tr, le CMB à 1 Tr, l'eau gèle à 100,02 Tr (jolie coïncidence ) et bout à 136,88 Tr