Equations d'Einstein

[bschaeffer]

Les équations d'Einstein sont généralement présentées avec des formules très générales, mais elles peuvent être simplifiées grâce aux coordonnées normales de Riemann qui sont pratiquement les coordonnées cartésiennes habituelles, sauf que le référentiel varie d'un point à un autre.
L'expression générales des équations d'Einstein dans le vide, c'est-à-dire sans second membre est:

Autrement dit, le tenseur de Ricci est nul. En deux dimensions, cela revient à écrire que le tenseur de Riemann est nul:


En coordonnées de Riemann, le tenseur de Riemann est égal à la courbure de Gauss K. En deux dimensions, l'équation d'Einstein s'écrit alors


En comparant avec la métrique d'un paraboloïde, on obtient deux équations de Laplace où en remplaçant une des coordonnées par ict, on obtient les équations des ondes gravitationnelles planes:



En passant à trois dimensions d'espace, on a l'équation de Laplace en coordonnées sphériques radiales:

dont la solution est le potentiel gravitationnel en i/r.
C'est relativement simple.
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[obi76]

C'est une question, une affirmation, une démonstration, un cours ?

[bschaeffer]

C'est une question, une affirmation, une démonstration, un cours ?

Une mise en bouche, juste pour voir si quelqu'un est intéressé.

[invite7458c2b9]

Moi ça m'intéresse, mais en fait je vois pas trop ou tu veux en venir...
Et aussi si tu pouvais développer ce que sont les coordonées de Riemann.
(STP)

[A voir en vidéo sur Futura]

[bschaeffer]

Moi ça m'intéresse, mais en fait je vois pas trop ou tu veux en venir...
Et aussi si tu pouvais développer ce que sont les coordonées de Riemann.
(STP)

Les coordonnées de Riemann c'est comme nos coordonnées cartésiennes, avec x et y horizontales et z verticales, par exemple à Paris. A Valparaiso, ces coordonnées sont inutilisables car la verticale n'est plus la même. Ce sont des coordonnées de Riemann car on est obligé de changer de référentiel. Le théorème de Pythagore est valable à Paris et à Valparaiso, mais seulement si les triangles ne sont pas trop grands.
Si, par contre, on utilise les coordonnées sphériques avec la colatitude et la longitude , ce sont des coordonnées curvilignes ou coordonnées de Gauss.
La courbure de Gauss de la sphère est le produit des courbures dans deux directions perpendiculaires, elle vaut



Le tenseur de Riemann Rxyxy vaut pareil, mais seulement en coordonnées de Riemann. En coordonnées de Gauss, il s'écrit



La formule est donc plus compliquée en coordonnées de Gauss. On pourrait aussi utiliser des coordonnées cartésiennes habituelles pour représenter la sphère d'équation:

Mais l'expression du tenseur de Riemann devient très compliquée car on a le même référentiel pour toute la sphère. C'est comme si tu voulais calculer les coordonnées du rez-de-chaussée et su dernier étage d'un immeuble à Valparaiso avec un référentiel situé à Paris. D'où l'intérêt des coordonnées de Riemann.
Le but de ce calcul est de l'appliquer non pas à la sphère mais à l'espace courbe de la relativité générale. En deux dimensions, la résolution des équations d'Einstein est relativement simple en donnant les formule de mon message précédent. En quatre dimensions, si on veut résoudre les équations d'Einstein pour trouver la métrique de Schwarzschild, les calculs sont bien plus compliqués, d'autant qu'on ne peut pas utiliser les coordonnées de Riemann.